El documento presenta las fórmulas básicas de integración. Explica las seis fórmulas principales de integración y cómo se aplican juntas para resolver integrales con términos algebraicos. También incluye ejemplos para ilustrar el uso correcto de las fórmulas.

1. Integral Calculus
Formulae
G. Edgar Mata Ortiz

2. Integral Calculus
Formulae
G. Edgar Mata Ortiz

3. Fórmulas de
Integración
La integración es mucho más que la simple aplicación de fórmulas. Sin
embargo, la operatividad es una parte importante del aprendizaje, por ello, se
presenta este material destinado exclusivamente al aprendizaje de las formulas
básicas de integración y su forma de empleo.

4. Fórmulas de
Integración
Al iniciar el aprendizaje de la
integración, es recomendable recurrir a
un formulario que nos facilite la
resolución de las integrales sin
necesidad de memorizar las fórmulas
básicas.
EL formulario que de la derecha puede
encontrarse en la dirección que se
muestra en la parte inferior de esta
diapositiva.
https://licmata-formulae.blogspot.com/2019/06/basic-mathematics-formulae.html

5. Fórmulas básicas de Integración
Fórmula número 1
න 𝒅𝒗 = 𝒗 + 𝑪
Fórmula número 2
න 𝒙 𝒏 𝒅𝒙 =
𝒙 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪 , 𝒏 ≠ −𝟏
න 𝒅𝒖 + 𝒅𝒗 − 𝒅𝒘 = න 𝒅𝒖 + න 𝒅𝒗 − න 𝒅𝒘
Fórmula número 3
න 𝒂𝒅𝒗 = 𝒂 න 𝒅𝒗
Fórmula número 4
න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
Fórmula número 5 Fórmula número 6
න
𝒅𝒗
𝒗
= 𝒍𝒏 𝒗 + 𝑪
Es conveniente
observar que estas
fórmulas son
exactamente las
inversas de las
fórmulas de
derivación 1 a la 5.
La fórmula de
derivación número
uno está implícita en
todas las fórmulas
de integración; se
agrega la constante
de integración: + C.

6. Fórmulas 1 a la 4
Las primeras cuatro formulas de integración suelen emplearse juntas, ya que las expresiones
algebraicas contienen términos cuyo proceso de integración requiere de todas ellas.
Fórmula número 1
න 𝒅𝒗 = 𝒗 + 𝑪
Fórmula número 2
න 𝒙 𝒏 𝒅𝒙 =
𝒙 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪 , 𝒏 ≠ −𝟏
න 𝒂𝒅𝒗 = 𝒂 න 𝒅𝒗
Fórmula número 4
න 𝒅𝒖 + 𝒅𝒗 − 𝒅𝒘 = න 𝒅𝒖 + න 𝒅𝒗 − න 𝒅𝒘
Fórmula número 3
A continuación se
revisarán estas
cuatro fórmulas
individualmente y,
posteriormente, se
mostrará la forma
en que
generalmente se
emplean; en
conjunto.

7. Fórmula número 1
La integral del diferencial de una variable es igual a la
variable, más la constante de integración.
La variable puede estar representada con cualquier literal o símbolo.
න 𝒅𝒗 = 𝒗 + 𝑪
න 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑪 න 𝒅𝒚 = 𝒚 + 𝑪 න 𝒅𝜷 = 𝜷 + 𝑪

8. Fórmula número 3
La integral del diferencial de u, más el diferencial
de v, menos el diferencial de w, es igual a la
integral del diferencial de u, más la integral del
diferencial de v, menos la integral del diferencial
de w.
Esta fórmula sencillamente indica que al integrar una función con varios términos, estos
términos pueden ser integrados uno a uno, por separado.
න 𝒅𝒖 + 𝒅𝒗 − 𝒅𝒘 = න 𝒅𝒖 + න 𝒅𝒗 − න 𝒅𝒘

9. Fórmula número 4
La integral de una constante 𝒂 por el diferencial
de una variable 𝒅𝒗, es igual a la constante 𝒂 por
la integral del diferencial de la variable 𝒅𝒗.
Esta fórmula sencillamente indica que al integrar una función en la que aparece una
constante, dicha constante no se integra, se deja fuera del signo de integración.
න 𝒂𝒅𝒗 = 𝒂 න 𝒅𝒗
න 𝟐𝒅𝒗 = 𝟐 න 𝒅𝒗 න 𝟓𝒅𝒙 = 𝟓 න 𝒅𝒙 න
𝟐
𝟑
𝒅𝒚 =
𝟐
𝟑
න 𝒅𝒚

10. Fórmula número 2
La integral de equis a la ene, es igual a equis a la
ene más uno, entre ene más uno más la
constante de integración.
Y solamente puede aplicarse si el exponente es
diferente de menos uno.
Es una fórmula sencilla de utilizar, solamente se suma un entero al exponente y este
resultado se escribe en el denominador. Es importante asegurarnos de que el exponente
de la equis no sea igual a menos uno.
න 𝒙 𝒏
𝒅𝒙 =
𝒙 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪 , 𝒏 ≠ −𝟏

11. Fórmula número 2 – Ejemplo 1
Resolvamos algunos ejemplos sencillos,
recordando que no importa si el
exponente de la equis es entero,
fraccionario, positivo o negativo, la
fórmula se aplica igual.
න 𝒙 𝒏
𝒅𝒙 =
𝒙 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪 , 𝒏 ≠ −𝟏
න 𝒙 𝟐
𝒅𝒙 =
𝒙 𝟐+𝟏
𝟐 + 𝟏
+ 𝑪
=
𝒙 𝟑
𝟑
+ 𝑪
=
𝟏
𝟑
𝒙 𝟑
+ 𝑪
Esta es la forma correcta de presentar el
procedimiento y resultado de una integral.
Los resultados se van acomodando en
forma vertical, con los signos de igual
alineados y al final se escribe el resultado
en su forma más simple.

12. En el siguiente ejemplo a los exponentes
fraccionarios se les aplica la misma
fórmula.
න 𝒙 𝒏
𝒅𝒙 =
𝒙 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪 , 𝒏 ≠ −𝟏
න 𝒙
𝟏
𝟐 𝒅𝒙 =
𝒙
𝟏
𝟐+𝟏
𝟏
𝟐
+ 𝟏
+ 𝑪
=
𝒙
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
+ 𝑪
=
𝟐
𝟑
𝒙 𝟑 + 𝑪
Si en el resultado de una integración
aparecen exponentes fraccionarios, deben
convertirse a las raíces correspondientes.
Pueden encontrarse las leyes de los
exponentes y radicales que se aplican en el
formulario.
𝑎 Τ𝑚 𝑛
=
𝑛
𝑥 𝑚
Fórmula número 2 – Ejemplo 2

13. En el siguiente ejemplo a los exponentes
negativos se les aplica la misma fórmula. න 𝒙 𝒏
𝒅𝒙 =
𝒙 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪 , 𝒏 ≠ −𝟏
න 𝒙−𝟑
𝒅𝒙 =
𝒙−𝟑+𝟏
−𝟑 + 𝟏
+ 𝑪
=
𝒙−𝟐
−𝟐
+ 𝑪
= −
𝟏
𝟐𝒙 𝟐
+ 𝑪
Si en el resultado de una integración
aparecen exponentes negativos, deben
convertirse a positivos aplicando las
propiedades de los exponentes.
Pueden encontrarse estas propiedades en
el formulario.
𝑎−3 =
1
𝑎3
Fórmula número 2 – Ejemplo 3

14. Uso de las cuatro primeras
fórmulas de Integración
Como ya se comentó anteriormente, las cuatro primeras fórmulas de
integración suelen emplearse en conjunto, ya que las expresiones algebraicas
en las que se emplean suelen tener términos con características similares.

15. Ejemplo número 1
න 𝟖𝒙 𝟑
− 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒙 − 𝟓 𝒅𝒙 =
න 𝟖𝒙 𝟑
− 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒙 − 𝟓 𝒅𝒙 = 𝟖 න 𝒙 𝟑
𝒅𝒙 − 𝟔 න 𝒙 𝟐
𝒅𝒙 + 𝟒 න 𝒙𝒅𝒙 − 𝟓 න 𝒅𝒙
En este primer paso se aplicaron dos fórmulas; la número tres y la número
cuatro. No se efectúa por pasos, se aplican las dos al mismo tiempo.
න 𝒅𝒖 + 𝒅𝒗 − 𝒅𝒘 = න 𝒅𝒖 + න 𝒅𝒗 − න 𝒅𝒘 න 𝒂𝒅𝒗 = 𝒂 න 𝒅𝒗
Fórmula número 3 Fórmula número 4
Resuelve la integral:

16. Ejemplo número 1
න 𝟖𝒙 𝟑
− 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒙 − 𝟓 𝒅𝒙 =
න 𝟖𝒙 𝟑
− 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒙 − 𝟓 𝒅𝒙 = 𝟖 න 𝒙 𝟑
𝒅𝒙 − 𝟔 න 𝒙 𝟐
𝒅𝒙 + 𝟒 න 𝒙𝒅𝒙 − 𝟓 න 𝒅𝒙
En este segundo paso se aplicaron dos fórmulas, la número uno y la número dos. No se
efectúa por pasos, se aplican las dos al mismo tiempo.
= 𝟖
𝑥4
4
− 𝟔
𝑥3
3
+ 𝟒
𝑥2
2
− 𝟓𝑥 + 𝐶
Fórmula número 1
න 𝒅𝒗 = 𝒗 + 𝑪
Fórmula número 2
න 𝒙 𝒏 𝒅𝒙 =
𝒙 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪 , 𝒏 ≠ −𝟏

17. Ejemplo número 1
න 𝟖𝒙 𝟑
− 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒙 − 𝟓 𝒅𝒙 =
න 𝟖𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 𝒅𝒙 = 𝟖 න 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 − 𝟔 න 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 + 𝟒 න 𝒙𝒅𝒙 − 𝟓 න 𝒅𝒙
El tercer paso ya no tiene ninguna relación con el cálculo integral, son simplificaciones algebraicas.
Es importante observar que la constante de integración aparece en cuanto se aplican las fórmulas de
integración, es decir, en cuanto se eliminan el signo de integral y el diferencial.
= 𝟖
𝑥4
4
− 𝟔
𝑥3
3
+ 𝟒
𝑥2
2
− 𝟓𝑥 + 𝐶
= 𝟐𝒙 𝟒 − 𝟐𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟓𝑥 + 𝐶

18. Ejemplo número 2
න 𝟏𝟐𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙−𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 =
න 𝟏𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙−𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟏𝟐 න 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 − 𝟑 න 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 + 𝟐 න 𝒙𝒅𝒙 − 𝟏 න 𝒅𝒙
En este primer paso se aplicaron dos fórmulas; la número tres y la número
cuatro. No se efectúa por pasos, se aplican las dos al mismo tiempo.
න 𝒅𝒖 + 𝒅𝒗 − 𝒅𝒘 = න 𝒅𝒖 + න 𝒅𝒗 − න 𝒅𝒘 න 𝒂𝒅𝒗 = 𝒂 න 𝒅𝒗
Fórmula número 3 Fórmula número 4
Resuelve la integral:

19. Ejemplo número 2
න 𝟖𝒙 𝟑
− 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒙 − 𝟓 𝒅𝒙 =
En este segundo paso se aplicaron dos fórmulas, la número uno y la número dos. No se
efectúa por pasos, se aplican las dos al mismo tiempo.
= 𝟏𝟐
𝑥3
3
− 𝟑
𝑥−1
−1
+ 𝟐
𝑥2
2
− 𝟏𝑥 + 𝐶
Fórmula número 1
න 𝒅𝒗 = 𝒗 + 𝑪
Fórmula número 2
න 𝒙 𝒏 𝒅𝒙 =
𝒙 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪 , 𝒏 ≠ −𝟏
න 𝟏𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙−𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟏𝟐 න 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 − 𝟑 න 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 + 𝟐 න 𝒙𝒅𝒙 − 𝟏 න 𝒅𝒙

20. Ejemplo número 2
න 𝟖𝒙 𝟑
− 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒙 − 𝟓 𝒅𝒙 =
= 𝟏𝟐
𝑥3
3
− 𝟑
𝑥−1
−1
+ 𝟐
𝑥2
2
− 𝟏𝑥 + 𝐶
න 𝟏𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙−𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟏𝟐 න 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 − 𝟑 න 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 + 𝟐 න 𝒙𝒅𝒙 − 𝟏 න 𝒅𝒙
El tercer y cuarto pasos ya no tienen ninguna relación con el cálculo integral, son simplificaciones
algebraicas. Observa en qué momento se escribe la constante de integración
= 𝟒𝒙 𝟑
+ 𝟑𝒙−𝟏
+ 𝒙 𝟐
− 𝑥 + 𝐶
= 𝟒𝒙 𝟑 +
𝟑
𝒙
+ 𝒙 𝟐 − 𝑥 + 𝐶

21. Ejemplo número 3
න 𝟓𝒙 𝟒
− 𝟗𝒙−𝟒
+ 𝟒𝒙
𝟏
𝟑 − 𝟐 𝒅𝒙 =
= 𝟓
𝑥5
5
− 𝟗
𝑥−3
−3
+ 𝟒
𝑥
4
3
4
3
− 𝟐𝑥 + 𝐶
න 𝟓𝒙 𝟒 − 𝟗𝒙−𝟒 + 𝟒𝒙
𝟏
𝟑 − 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟓 න 𝒙 𝟒 𝒅𝒙 − 𝟗 න 𝒙−𝟒 𝒅𝒙 + 𝟒 න 𝒙
𝟏
𝟑 𝒅𝒙 − 𝟐 න 𝒅𝒙
En esta ocasión solamente
se resuelve el ejemplo, las
explicaciones pueden
tomarse de los dos casos
anteriores.
= 𝒙 𝟓
+ 𝟑𝒙−𝟑
+ 𝟑𝒙
𝟒
𝟑 − 2𝑥 + 𝐶
= 𝒙 𝟓 +
𝟑
𝒙 𝟑
+ 𝟑
𝟑
𝒙 𝟒 − 𝟐𝑥 + 𝐶
Resuelve la integral:

22. Uso de las cuatro
primeras fórmulas
de Integración
Existen muchos otros ejemplos de aplicación de estas fórmulas, es
recomendable consultar en libros de cálculo integral los ejercicios
que recomiendan y resolverlos.

23. Gracias Por su atención
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