Aplicación de fórmula de integración para la potencia de una función.

1. 흏풚 흏풙
Fórmulas de integración
G. Edgar Mata Ortiz
풇풙풅풙
풗풏풅풗= 풗풏+ퟏ 풏+ퟏ +푪,풏≠−ퟏ

2. 흏풚 흏풙
Función elevada a un exponente constante
Esta fórmula se emplea cuando la expresión que se va a integrar es una expresión, generalmente entre paréntesis, elevada a un exponente constante.
Es necesario completar el diferencial, y el valor de n debe ser diferente de -1.
풗풏풅풗= 풗풏+ퟏ 풏+ퟏ +푪,풏≠−ퟏ

3. 흏풚 흏풙
Fórmula para el cociente de dos funciones
La fórmula se lee:
La integral de 풗a la 풏, diferencial de 풗 es igual a:
풏por 풗elevada a la 풏+ퟏ, entre 풏+ퟏ
Más la constante de integración C
Se emplean colores para identificar la función y el exponente.
풗풏풅풗= 풗풏+ퟏ 풏+ퟏ +푪,풏≠−ퟏ

4. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Resolver
La fórmula es:
Es necesario identificar claramente la función 풗, el exponente 풏y revisar si está completo el diferencial 풅풗
풙−ퟏ풅풙 풙ퟐ−ퟐ풙 =
풗풏풅풗= 풗풏+ퟏ 풏+ퟏ +푪,풏≠−ퟏ

5. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Resolver
A primera vista, la expresión algebraica no parece corresponder a la fórmula que se propone para resolver el problema, pero si se reordena como se muestra en seguida queda claro que sí es posible emplear dicha fórmula
풗풏풅풗= 풗풏+ퟏ 풏+ퟏ +푪
풙−ퟏ풅풙 풙ퟐ−ퟐ풙 =
풙−ퟏ풅풙 풙ퟐ−ퟐ풙 = 풙ퟐ−ퟐ풙 − ퟏ ퟐ풙−ퟏ풅풙

6. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 풗para calcular el 풅풗 El diferencial que se ha obtenido no es igual al diferencial que se encuentra en la integral
풗=풙ퟐ−ퟐ풙 풅풗=ퟐ풙−ퟐ풅풙
풗풏풅풗= 풗풏+ퟏ 풏+ퟏ +푪
풙−ퟏ풅풙 풙ퟐ−ퟐ풙 = 풙ퟐ−ퟐ풙 − ퟏ ퟐ풙−ퟏ풅풙

7. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 풗para calcular el 풅풗 El diferencial que se ha obtenido no es igual al diferencial que se encuentra en la integral.
Para poder integrar, el diferencial “debe estar completo”, es decir, ambos diferenciales deben ser iguales.
풗=풙ퟐ−ퟐ풙 풅풗=ퟐ풙−ퟐ풅풙
풗풏풅풗= 풗풏+ퟏ 풏+ퟏ +푪
풙−ퟏ풅풙 풙ퟐ−ퟐ풙 = 풙ퟐ−ퟐ풙 − ퟏ ퟐ풙−ퟏ풅풙

8. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 풗para calcular el 풅풗
풗=풙ퟐ−ퟐ풙 풅풗=ퟐ풙−ퟐ풅풙
A primera vista, da la impresión que no es posible completar el diferencial, sin embargo, obteniendo factor común en el diferencial obtenemos:
풅풗=ퟐ풙−ퟐ풅풙 풅풗=ퟐ풙−ퟏ풅풙
풗풏풅풗= 풗풏+ퟏ 풏+ퟏ +푪
풙−ퟏ풅풙 풙ퟐ−ퟐ풙 = 풙ퟐ−ퟐ풙 − ퟏ ퟐ풙−ퟏ풅풙

9. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 풗para calcular el 풅풗
풗=풙ퟐ−ퟐ풙 풅풗=ퟐ풙−ퟐ풅풙 풅풗=ퟐ풙−ퟏ풅풙
Se completa el diferencial agregando el dos que falta.
풗풏풅풗= 풗풏+ퟏ 풏+ퟏ +푪
풙−ퟏ풅풙 풙ퟐ−ퟐ풙 = 풙ퟐ−ퟐ풙 − ퟏ ퟐퟐ풙−ퟏ풅풙

10. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 풗para calcular el 풅풗
풗=풙ퟐ−ퟐ풙 풅풗=ퟐ풙−ퟐ풅풙 풅풗=ퟐ풙−ퟏ풅풙
El dos se agrega porque es necesario completar el diferencial, sin embargo, es evidente que modifica el valor de la expresión origina, que se multiplica por dos al agregar el dos que completa el diferencial.
Debemos “compensar”, ¿cómo hacerlo?
풗풏풅풗= 풗풏+ퟏ 풏+ퟏ +푪
풙−ퟏ풅풙 풙ퟐ−ퟐ풙 = 풙ퟐ−ퟐ풙 − ퟏ ퟐퟐ풙−ퟏ풅풙

11. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 풗para calcular el 풅풗
풗=풙ퟐ−ퟐ풙 풅풗=ퟐ풙−ퟐ풅풙 풅풗=ퟐ풙−ퟏ풅풙
Puesto que la expresión original se multiplicó por dos, podemos cancelar este efecto dividiendo entre dos, o multiplicar por un medio.
풗풏풅풗= 풗풏+ퟏ 풏+ퟏ +푪
풙−ퟏ풅풙 풙ퟐ−ퟐ풙 = ퟏ ퟐ 풙ퟐ−ퟐ풙 − ퟏ ퟐퟐ풙−ퟏ풅풙

12. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Resolver
El “un medio” que se agregó se coloca fuera de la integral, ya que las constantes no se integran.
Y entonces se aplica la fórmula de integración.
= ퟏ ퟐ 풙ퟐ−ퟐ풙 −ퟏퟐ +ퟏ − ퟏ ퟐ +ퟏ +푪
La fórmula indica “sumar uno” al exponente y dividir entre ese mismo valor.
풗풏풅풗= 풗풏+ퟏ 풏+ퟏ +푪
풙−ퟏ풅풙 풙ퟐ−ퟐ풙 = ퟏ ퟐ 풙ퟐ−ퟐ풙 − ퟏ ퟐퟐ풙−ퟏ풅풙

13. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Resolver
= ퟏ ퟐ 풙ퟐ−ퟐ풙 −ퟏퟐ +ퟏ − ퟏ ퟐ +ퟏ +푪
Se efectúan operaciones:
= ퟏ ퟐ 풙ퟐ−ퟐ풙 +ퟏ ퟐ +ퟏ ퟐ +푪
풗풏풅풗= 풗풏+ퟏ 풏+ퟏ +푪
풙−ퟏ풅풙 풙ퟐ−ퟐ풙 = ퟏ ퟐ 풙ퟐ−ퟐ풙 − ퟏ ퟐퟐ풙−ퟏ풅풙

14. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Resolver
= ퟏ ퟐ 풙ퟐ−ퟐ풙 −ퟏퟐ +ퟏ − ퟏ ퟐ +ퟏ +푪
= ퟏ ퟐ 풙ퟐ−ퟐ풙 ퟏퟐ ퟏ ퟐ +푪
Simplificando y expresando el exponente fraccionario como raíz:
=풙ퟐ−ퟐ풙+푪
풗풏풅풗= 풗풏+ퟏ 풏+ퟏ +푪
풙−ퟏ풅풙 풙ퟐ−ퟐ풙 = ퟏ ퟐ 풙ퟐ−ퟐ풙 − ퟏ ퟐퟐ풙−ퟏ풅풙
Raíz cuadrada

15. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Resolver
= ퟏ ퟐ 풙ퟐ−ퟐ풙 −ퟏퟐ +ퟏ − ퟏ ퟐ +ퟏ +푪
= ퟏ ퟐ 풙ퟐ−ퟐ풙 ퟏퟐ ퟏ ퟐ +푪
Simplificando y expresando el exponente fraccionario como raíz:
=풙ퟐ−ퟐ풙+푪
풗풏풅풗= 풗풏+ퟏ 풏+ퟏ +푪
풙−ퟏ풅풙 풙ퟐ−ퟐ풙 = ퟏ ퟐ 풙ퟐ−ퟐ풙 − ퟏ ퟐퟐ풙−ퟏ풅풙
Solución

16. 흏풚 흏풙 Graciashttp://licmata-math.blogspot.mx/ http://www.scoop.it/t/mathematics-learning/
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