Explicación detallada del proceso de solución de un problema de derivación mediante la fórmula para el producto de dos funciones.

1. 흏풚 흏풙
Fórmulas de derivación
G. Edgar Mata Ortiz

2. 흏풚 흏풙
Fórmula para el producto de dos funciones
Esta fórmula se emplea cuando la expresión que se va a derivar es un producto cuya obtención sería muy laboriosa o incluso imposible de obtener.
En lugar de efectuar la multiplicación indicada, se aplica la fórmula: 풅 풅풙 풖풗=풖 풅풗 풅풙 +풗 풅풖 풅풙

3. 흏풚 흏풙
Fórmula para el producto de dos funciones
La fórmula se lee:
La derivada de 풖por 풗es igual a:
풖por la derivada de 풗más
풗por la derivada de 풖
Se emplean colores para identificar las dos funciones y sus derivadas 풅 풅풙 풖풗=풖 풅풗 풅풙 +풗 풅풖 풅풙

4. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Derivar
푦=3푥3+1−4푥2−34
La fórmula es:
Es conveniente identificar claramente cuál de las funciones se identificará como 풖y cuál como 풗 풅 풅풙 풖풗=풖 풅풗 풅풙 +풗 풅풖 풅풙

5. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Derivar
푦=3푥3+1−4푥2−34
푢=3푥3+1 푑푢 푑푥 =9푥2 푣=−4푥2−34 푑푣 푑푥 =4−4푥2−33−8푥 푑푣 푑푥 =−32푥−4푥2−3ퟑ 풅 풅풙 풖풗=풖 풅풗 풅풙 +풗 풅풖 풅풙
La función 풖y su derivada se identifican con color rojo.
La función 풗y su derivada se identifican con color azul

6. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Las funciones y sus derivadas se sustituyen en la fórmula.
푦=3푥3+1−4푥2−34 푑푦 푑푥 =(3푥3+1)−32푥−4푥2−33+−4푥2−34(9푥2)
푢=3푥3+1 푑푢 푑푥 =9푥2 푣=−4푥2−34푑푣 푑푥 =−32푥−4푥2−33 풅 풅풙 풖풗=풖 풅풗 풅풙 +풗 풅풖 풅풙

7. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Se ordenan los factores de la derivada para facilitar el proceso algebraico (propiedad conmutativa).
푦=3푥3+1−4푥2−34 푑푦 푑푥 =−32푥(3푥3+1)−4푥2−33+−4푥2−34(9푥2) 푑푦 푑푥 =−32푥(3푥3+1)−ퟒ풙ퟐ−ퟑ ퟑ +−ퟒ풙ퟐ−ퟑ ퟒ (9푥2)
Se observa que puede tomarse factor común 풅 풅풙 풖풗=풖 풅풗 풅풙 +풗 풅풖 풅풙

8. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Se obtiene factor común.
푦=3푥3+1−4푥2−34 푑푦 푑푥 =−32푥(3푥3+1)−4푥2−33+−4푥2−34(9푥2) 푑푦 푑푥 =−32푥(3푥3+1)−ퟒ풙ퟐ−ퟑ ퟑ +−ퟒ풙ퟐ−ퟑ ퟒ (9푥2) 푑푦 푑푥 =−ퟒ풙ퟐ−ퟑ ퟑ [−32푥(3푥3+1)+−ퟒ풙ퟐ−ퟑ ퟏ (9푥2)] 풅 풅풙 풖풗=풖 풅풗 풅풙 +풗 풅풖 풅풙
El paréntesis rectangular se emplea solamente para visualizar, con mayor claridad, los factores que quedan después de extraer el factor común.

9. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Existe otro factor común.
푦=3푥3+1−4푥2−34 푑푦 푑푥 =−32푥(3푥3+1)−4푥2−33+−4푥2−34(9푥2) 푑푦 푑푥 =−32푥(3푥3+1)−ퟒ풙ퟐ−ퟑ ퟑ +−ퟒ풙ퟐ−ퟑ ퟒ (9푥2) 푑푦 푑푥 =−ퟒ풙ퟐ−ퟑ ퟑ [−32푥(3푥3+1)+−ퟒ풙ퟐ−ퟑ ퟏ (9푥2)] 푑푦 푑푥 =−4푥2−33[−32풙(3푥3+1)+−4푥2−3(9풙2)] 푑푦 푑푥 =풙−4푥2−33[−32(3푥3+1)+−4푥2−3(9풙1)] 풅 풅풙 풖풗=풖 풅풗 풅풙 +풗 풅풖 풅풙

10. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Se efectúan las multiplicaciones dentro del paréntesis rectangular.
푦=3푥3+1−4푥2−34 푑푦 푑푥 =풙−4푥2−33[−32(3푥3+1)+−4푥2−3(9풙)] 푑푦 푑푥 =푥−4푥2−33[−96푥3−32−36푥3−27푥] 풅 풅풙 풖풗=풖 풅풗 풅풙 +풗 풅풖 풅풙
La expresión algebraica dentro del paréntesis rectangular se puede simplificar reduciendo términos semejantes.

11. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Se efectúan las multiplicaciones dentro del paréntesis rectangular.
푦=3푥3+1−4푥2−34 푑푦 푑푥 =풙−4푥2−33[−32(3푥3+1)+−4푥2−3(9풙)] 푑푦 푑푥 =푥−4푥2−33−ퟗퟔ풙ퟑ−32−ퟑퟔ풙ퟑ−27푥 푑푦 푑푥 =푥−4푥2−33[−ퟏퟑퟐ풙ퟑ−27푥−32] 풅 풅풙 풖풗=풖 풅풗 풅풙 +풗 풅풖 풅풙
Esta última expresión es el resultado.

12. 흏풚 흏풙
Ejemplo
Se efectúan las multiplicaciones dentro del paréntesis rectangular.
푦=3푥3+1−4푥2−34 푑푦 푑푥 =푥−4푥2−33[−132푥3−27푥−32] 풅 풅풙 풖풗=풖 풅풗 풅풙 +풗 풅풖 풅풙
Si observamos el procedimiento podemos darnos cuenta que, en realidad, la derivada se obtiene fácilmente, el resto son operaciones algebraicas destinadas a simplificar el resultado.

13. 흏풚 흏풙 Graciashttp://licmata-math.blogspot.mx/ http://www.scoop.it/t/mathematics-learning/
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