Este documento describe diferentes técnicas de integración, incluido el cambio de variable. Explica que cuando no es posible integrar directamente debido a que faltan o sobran variables en el diferencial, se pueden aplicar técnicas como el cambio de variable para convertir la integral en una forma que pueda resolverse usando fórmulas básicas. Proporciona un ejemplo detallado mostrando cómo aplicar un cambio de variable para resolver una integral.

1. න 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑇𝑒𝑐ℎ𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒𝑠
Métodos y Técnicas
de integración
G. Edgar Mata Ortiz

2. Contenido
Introducción
Las técnicas de
integración permiten
resolver problemas
que no pueden ser
abordados mediante
las fórmulas
directas.
Ejemplo 1
En el primer
ejemplo
encontramos que no
existe una fórmula
que pueda aplicarse
al problema
Ejercicio 1
La elección del
cambio de variable
es una habilidad
que se desarrolla
con la práctica, por
ello, es necesario
resolver más de un
ejemplo para
aprender la técnica

3. Las técnicas de
integración
Son un conjunto de
artificios matemáticos que
se aplican cuando no es
posible realizar una
integración directamente,
ya sea porque al
diferencial le faltan
variables o le sobran.

4. Cambio de
variable
Es un técnica que,
mediante una sustitución
adecuada, convierte una
integral para la que no
disponemos de fórmulas,
en uno que puede
integrarse directamente

5. En primer lugar, podemos observar que no
existe ninguna fórmula que pueda aplicarse,
directamente, a esta integración.
Ejemplo:
න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 =

6. Vamos a utilizar la técnica de cambio de
variable, estableciendo que:
Ejemplo:
න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥 − 4

7. Después de elegir el cambio de variable, se despeja equis
y se calcula el diferencial de equis derivando respecto a la
nueva variable (se deriva x respecto a u).
Ejemplo:
න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥 − 4 ∴ 𝑥 = 𝑢 + 4
𝑑𝑥
𝑑𝑢
= 1 ∴ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢

8. Sustituimos, en la integral original, los valores obtenidos.
Ejemplo:
න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥 − 4 ∴ 𝑥 = 𝑢 + 4
𝑑𝑥
𝑑𝑢
= 1 ∴ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
න(𝑢 + 4) 𝑢 + 4 − 4 𝑑𝑢 =

9. Sustituimos, en la integral original, los valores obtenidos.
Ejemplo:
න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 =
න(𝑢 + 4) 𝑢 + 4 − 4 𝑑𝑢 =
න(𝑢 + 4) 𝑢 𝑑𝑢 =

10. Efectuando operaciones
Solución:
න(𝑢 + 4) 𝑢 𝑑𝑢 =
න(𝑢 + 4)𝑢
1
2 𝑑𝑢 = න 𝑢
3
2 + 4𝑢
1
2 𝑑𝑢
= න 𝑢
3
2 𝑑𝑢 + න 4𝑢
1
2 𝑑𝑢
Al realizar el
cambio de variable
y efectuar algunas
operaciones
algebraicas hemos
obtenido una
integral que puede
resolverse
mediante las
fórmulas básicas.

11. Solución:
= න 𝑢
3
2 𝑑𝑢 + න 4𝑢
1
2 𝑑𝑢
=
𝑢
5
2
5
2
+ 4
𝑢
3
2
3
2
+ 𝐶
න(𝑢 + 4)𝑢
1
2 𝑑𝑢 = න 𝑢
3
2 + 4𝑢
1
2 𝑑𝑢

12. Solución:
= න 𝑢
3
2 𝑑𝑢 + න 4𝑢
1
2 𝑑𝑢
=
2
5
𝑢
5
2 +
8
3
𝑢
3
2 + 𝐶
න(𝑢 + 4)𝑢
1
2 𝑑𝑢 = න 𝑢
3
2 + 4𝑢
1
2 𝑑𝑢

13. Variable original:
න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 =
2
5
𝑥 − 4
5
2 +
8
3
𝑥 − 4
3
2 + 𝐶
=
2
5
𝑥 − 4
4
2 𝑥 − 4
1
2 +
8
3
𝑥 − 4
2
2 𝑥 − 4
1
2 + 𝐶
=
2
5
𝑥 − 4 2
𝑥 − 4 +
8
3
𝑥 − 4 1
𝑥 − 4 + 𝐶
=
2
5
𝑥 − 4 2
𝑥 − 4 +
8
3
𝑥 − 4 𝑥 − 4 + 𝐶

14. Solución del problema:
න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 =
2
5
𝑥 − 4 2
𝑥 − 4 +
8
3
𝑥 − 4 𝑥 − 4 + 𝐶
La solución debe expresarse en términos de la variable original (x), para que
tenga sentido; no olvidemos que el cambio de variable que se realiza es
arbitrario, un artificio matemático para poder resolver el problema.

15. Ejercicio 1:
En este ejercicio
podemos observar
que, al igual que
en el ejemplo, no
es posible integrar
mediante las
fórmulas directas.
Se aplica la técnica
de Cambio de
variable de modo
que la raíz cúbica
se elimine.
No existe ninguna fórmula que pueda aplicarse
directamente.
න
𝑥2
3
1 + 2𝑥
𝑑𝑥 =

16. GraciasPor su atención