Sistemas de Ecuaciones Lineales

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
REGLA DE CRAMER Y ALGORITMO DE GAUSS
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
MOTIVACI ´ON
En la parte dos, determinados el valor de x que satisface una ´unica ecuaci´on,
f(x) = 0. Ahora, nos ocuparemos de determinar los valores x1, x2, ..., xn que
en formas simult´aneas satisfacen un sistema de ecuaciones.
Tales sistemas pueden ser linealeso no lineales. En la partes tres, trataremos
con ecuaciones algebraicas lineales, que tienen la forma general

4. ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
Donde las a son los coeficientes constantes, las b son los t´erminos independien-
tes constantes y n es el n´umero de ecuaciones. Todas las demas ecuaciones son
no lineales.

5. ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
NOTACI ´ON MATRICIAL
Una matriz consiste en un arreglo rectangular rectangular de elementos repre-
sentado por un solo s´ımbolo. Como se ilustra en la figura 1 (a)

6. ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
M´ETODO GR ´AFICO
Para dos ecuaciones se pueden obtener unas soluci´on al graficarlas en coorde-
nadas cartesianas con un eje que corresponda a x1 y el otro a x2. Debido a que
en estos sistemas lineales, cada ecuaci´on se relaciona con una l´ınea recta, lo
cual se ilustra f´acilmente mediante las ecuaciones generales
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
En ambas ecuaciones se puede depejar x2:
x2 = −
a11
a12
x1 +
b1
a12
x2 = −
a21
a22
x1 +
b2
a22
De esta manera, las ecuaciones ahora est´an en la forma de l´ıneas rectas; es
decir, x2 =(pendiente) x1+ intersecci´on.

7. ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
LA REGLA DE CRAMER
Tales l´ıneas se grafican en coordenadas cardenas con x2 con la cordenada y
x1 como la abscisa. Los valores de x1 y x2 en la intersecci´on de las l´ıneas
representa la soluci´on.
La regla de Cramer es otra t´ecnica de soluci´on adecuada para un sistema pe-
que˜no de ecuaciones. Antes de hacer una descripci´on de tal m´etodo, se men-
cionar´a en forma mas breve el concepto de determinante que se utiliza el la
regla de Cramer. Adem´as, el determinante tiene relevancia en la evaluaci´on del
mal condicionamiento de una matriz.

8. ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
ELIMINACION DE GAUSS SIMPLE
La elimincai´on para resolver un par de ecuaciones simult´aneas. El prodeci-
mieno consistio de dos pasos.
1 Las ecuaciones se manipularon para eliminar una de las incognitas de las
ecuciones. El resltado de este paso de eliminaci´on fue el de una sola
ecuaci´on con una incognita.
2 En consecuencia, esta ecuaci´on se pudo resolver directamente y el
resultado sustituirse atr´as en una de las ecuaciones originales para
encontrar la incognita restante.

9. ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
ELIMINACI ´ON
a22 −
a21
a11
a12 x2 + · · · + a2n −
a21
a11
a1n xn = b2 −
a21
a11
b1
o
a22x2 + · · · + a2nxn = b2
Eliminicaci´on hacia atras
xn =
bn−1
n
an−1
nn
Este resultado se puede sustituir hacia atras en (n − 1) y despejar xn−1 enton-
ces:
xi =
b
(i−1)
i −
n
j=i+1
a
(i+1)
ij xj
a
(i+1)
ii
Para i = n − 1, n − 2, . . . , 1

10. ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
a) DOFOR K = 1, n - 1
DOFOR i = K + 1, n
factor = a_{k.i} / a_{k.k}
DOFOR j = K + 1 to n
a_{i.j} = a_{i.j} - factor * a_{k.j}
END Do
b_i = b_i - factor *b_k
END DO
END DO
b) x_n = b_n / a_{n.n}
DOFOR i = n - 1. 1. -1
sum = b_i
DOFOR j = i + 1. n
sun = sum - a_{i.j} * x_j
END DO
x_i = sum / a_{i.j}
END DO

11. ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
EJEMPLO
EXAMPLE
Emplee la eliminacion de Gauss para resolver
3x1 − 0,1x2 − 0.x3 = 7,85
0,1x1 + 7x2 − 0,3x3 = −19,3
0,3x1 − 0,2x2 + 10x3 = 71,4
(1)
Soluci´on
x1 = 3
x2 = −2,5
x3 = 7

12. ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
PIVOTEO
Ocurren varios problemas cuando un pivote es cero, ya que el paso de nor-
matizaci´on origina una divisi´on entre cero. Tambien llegan a surgir problemas
cuando el elemento pivote es cercano a – o m´as a´un que sea exactamente igual a
– cero, debido a que si la magnitud del elemento pivote es peque˜na comparada
con los otros elementos, entonces se pueden introducir errores de redondeo.
Por lo tanto, antes de normalizar cada rengl´on, resulta conveniente determinar
el coeficiente m´as grande disponible en la columna debajo del elemento pivote.
Los renglones se pueden intercambiar de manera que el elemento m´as grande
sea el elemento pivote; esto se conoce como pivoteo parcial.

13. ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
Al procedimiento, donde tanto en las columnas como en los renglones se bus-
ca el elemento m´as grande y luego se intercambian, se le conoce como pivoteo
completo, el cual se usa en muy raras ocaciones debido a que al intercambiar
columnas se cambia el orden de las x y, en consecuencia, se agrega comple-
jidad significativa y usualmente injustificada al programa de computadora. El
siguiente ejemplo ilustra las ventajas del pivoteo parcial. Ademas de evitar la
divisi´on entre cero, el pivoteo tambien minimiza el error de redondeo. Como
tal, sirve tambien para resolver parcialmente el mal condicionamiento.