1. Probability Distributions
G. Edgar Mata Ortiz
Bernoulli
1

2. Contenido
Media aritmética, varianza y desviación estándar
Conceptos fundamentales
Distribuciones de probabilidad
La distribución de probabilidad Bernoulli
𝒑
𝟏 − 𝒑
𝒑

3. Conceptos fundamentales
“Plans based on average assumptions are wrong on
average.”
Sam L. Savage
“Los planes basados en suposiciones promedio están, en promedio, equivocados.”

4. Conceptos Fundamentales
Una variable aleatoria es el resultado de un
experimento probabilístico que puede ser medido o
contado, generalmente se representa con una letra
mayúscula del final del alfabeto: X, Y o Z.
El resultado de un experimento aleatorio no siempre
es un número: puede ser águila o sol si se trata del
lanzamiento de una moneda; o rojo, azul o verde si
se refiere al color de una esfera que se extrae de
una urna.
Cuando el resultado de un experimento aleatorio no es cuantitativo, se le asigna
un número arbitrariamente: rojo = 1, verde = 2, azul = 3, y así sucesivamente.

5. Conceptos Fundamentales
Cuando un experimento probabilístico produce
resultados cualitativos, es necesario codificarlos
numéricamente.
Al asignar valores numéricos a los resultados de
un experimento probabilístico obtenemos los
valores de una variable aleatoria, es decir, los
resultados águila o sol no son valores para
variables aleatorias, ya que no han sido
cuantificados.
Aunque los posibles resultados de un experimento aleatorio se conocen, no
podemos predecir con certeza cuál de dichos valores tomará la variable aleatoria.
1 2

6. Conceptos Fundamentales
Cada posible resultado de un experimento
aleatorio tiene una probabilidad de ocurrir. Los
resultados posibles deben ser mutuamente
excluyentes y exhaustivos; el listado con los
posibles resultados debe incluirlos a todos, y
no es posible que ocurran dos o más de ellos
simultáneamente.
De esta forma, la suma de las probabilidades
de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio debe ser igual a uno.
𝑝 𝑋 = 1 = 0.5
𝑝 𝑋 = 2 = 0.5
𝑆𝑢𝑚𝑎 = 0.5 + 0.5 = 1

7. Conceptos Fundamentales
Existen dos tipos de variables aleatorias:
discretas y continuas.
Las variables aleatorias discretas se obtienen,
generalmente, a partir de un conteo, aunque en
ocasiones, como en el caso del lanzamiento de
una moneda, sus valores numéricos pueden
ser asignados arbitrariamente.
Las variables aleatorias continuas se obtienen,
generalmente, mediante la medición y, en lugar
de un conjunto de valores posibles se cuenta
con un intervalo en los números reales.
Variables
aleatorias
Discretas
Conjunto de
valores
Conteo
Asignación
arbitraria
Continuas
Intervalo en
números
reales
Medición

8. Conceptos Fundamentales
Los números aleatorios son
tan necesarios que se han
diseñado dispositivos para
producirlos.
QUANTUM RANDOM NUMBER GENERATOR
High quality genuine
cryptographic entropy

9. Distribuciones de probabilidad
A probability distribution is a function that describes
all the possible values and likelihoods that a random
variable can take within a given range.

10. Distribuciones de probabilidad
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria
discreta es una lista de todos los resultados posibles y sus
probabilidades correspondientes. También se le llama
función de probabilidad o función de masa de probabilidad.
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria
continua no puede contener todos los resultados posibles,
ya que son infinitos, en su lugar se define como el área
bajo la curva (integral) dentro de un intervalos dado. Esta
curva recibe el nombre de función de densidad de
probabilidad.

11. Distribuciones de probabilidad
Un ejemplo de la generación de una distribución de probabilidad discreta es
el lanzamiento de dos dados y tomar como valor de la variable aleatoria la
suma de las dos caras que caen hacia arriba.
Los resultados posibles son los números del
dos al doce, y sus probabilidades pueden
determinarse mediante probabilidad frecuencial
o clásica.
Si el número de lanzamientos es
suficientemente grande las frecuencias
relativas de los resultados obtenidos estarán
muy cercanos a las probabilidades calculadas
según la definición clásica de probabilidad.

12. Distribuciones de probabilidad
La distribución de probabilidades para la
variable aleatoria que es igual a la suma
de las caras de dos dados es:
Resultados (X) Probabilidades p(X)
2 Τ𝟏 𝟑𝟔 = 𝟎. 𝟎𝟐ഥ𝟕
3 Τ𝟐 𝟑𝟔 = 𝟎. 𝟎ഥ𝟓
4 Τ𝟑 𝟑𝟔 = 𝟎. 𝟎𝟖ഥ𝟑
5 Τ𝟒 𝟑𝟔 = 𝟎. ഥ𝟏
6 Τ𝟓 𝟑𝟔 = 𝟎. 𝟏𝟑ഥ𝟖
7 Τ𝟔 𝟑𝟔 = 𝟎. 𝟏ഥ𝟔
8 Τ𝟓 𝟑𝟔 = 𝟎. 𝟏𝟑ഥ𝟖
9 Τ𝟒 𝟑𝟔 = 𝟎. ഥ𝟏
10 Τ𝟑 𝟑𝟔 = 𝟎. 𝟎𝟖ഥ𝟑
11 Τ𝟐 𝟑𝟔 = 𝟎. 𝟎ഥ𝟓
12 Τ𝟏 𝟑𝟔 = 𝟎. 𝟎𝟐ഥ𝟕
Total Τ𝟑𝟔 𝟑𝟔 = 𝟏
Los números con una línea sobre ellos significa que son
decimales periódicos, se repiten indefinidamente.

13. Distribuciones de probabilidad
La distribución de probabilidades o función de masa de probabilidad puede
representarse gráficamente

14. Distribuciones de probabilidad
Es importante recordar que una distribución de probabilidad discreta debe
cumplir tres condiciones: La probabilidad de cada resultado es mayor o igual
a cero, los resultados son mutuamente excluyentes y la suma de las
probabilidades de todos los resultados posibles es igual a uno.
𝟎 ≤ 𝒑 𝑿 ≤ 𝟏
෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒑(𝑿)𝒊 = 𝟏

15. Distribuciones de probabilidad empíricas
Los fenómenos aleatorios que podemos enfrentar son muy variados, por lo
tanto habrá una gran cantidad de distribuciones de probabilidad empíricas, es
decir, que son resultado de la experiencia, por ejemplo:
Una empresa de bienes raíces ha determinado
que el número de propiedades que puede
vender por mes se encuentra entre 0 y 5, es
decir, en un buen mes pueden lograrse ventas
hasta de 5 propiedades, pero en algunos
meses no se logra ninguna venta. Además,
mediante frecuencias relativas se ha
determinado que las probabilidades de vender
0, 1, 2, … 5 propiedades son las que se
muestran en la tabla.
Ventas (X) Probabilidades p(X)
0 0.06
1 0.14
2 0.35
3 0.25
4 0.17
5 0.03
Total 1.00

16. Distribuciones de probabilidad empíricas
Gráfica de distribución de probabilidades.

17. Distribuciones de probabilidad empíricas
Como ya se mencionó, una distribución de probabilidad discreta debe cumplir
tres condiciones: La probabilidad de cada resultado es mayor o igual a cero,
los resultados son mutuamente excluyentes y la suma de las probabilidades
de todos los resultados posibles es igual a uno.
𝟎 ≤ 𝒑 𝑿 ≤ 𝟏
෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒑(𝑿)𝒊 = 𝟏

18. Importancia de las Distribuciones de probabilidad
Cualquier intento realista de modelar matemáticamente la realidad debe
considerar la componente aleatoria de los fenómenos naturales.
Las distribuciones de probabilidad son modelos teóricos que describen el
comportamiento de fenómenos o experimentos aleatorios. Aunque no
describen exactamente los eventos azarosos del medio ambiente, pueden
emplearse con la finalidad de facilitar el análisis de la información, y siempre
teniendo en mente que es solamente un modelo matemático.

19. Distribuciones de probabilidad especiales
La distribución de probabilidad acerca de las ventas de bienes raíces es una
distribución empírica, se obtuvo de la realidad y, por ello, no se cuenta con
fórmulas o relaciones matemáticas que nos permitan estudiarla.
Si necesitamos realizar trabajo matemático con estos datos es necesario
“ajustar” dichos datos a alguna distribución teórica acerca de la cuál conocemos
sus propiedades.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1
En este material vamos a estudiar la más sencilla
de las distribuciones teóricas de probabilidad:
La distribución de Bernoulli.

20. Distribución de probabilidad
de Bernoulli
The Bernoulli distribution is a discrete
probability distribution for a Bernoulli trial, a
random experiment that has only two outcomes;
success = 1 and failure = 0.

21. La distribución de Bernoulli
Un experimento aleatorio que solamente puede tener dos resultados se llama
“experimento de Bernoulli”.
Se supone que los dos resultados del experimento son independientes, es decir,
un resultado anterior no afecta al siguiente.
Además asumimos que la probabilidad de los dos resultados posibles es
constante.
El ejemplo más común de esta distribución es el
lanzamiento de una moneda, sólo existen dos resultados
posibles: águila o sol.
El resultado de un lanzamiento o conjunto de
lanzamientos no afecta el resultado del siguiente.
La probabilidad de cada resultado es constante.

22. La distribución de Bernoulli
Aunque el ejemplo más usual de la distribución de Bernoulli se obtiene al lanzar
una moneda, lo valioso de esta distribución son sus aplicaciones a situaciones de
la realidad:
Un producto que se obtiene de una línea de producción puede resultar
defectuoso o no defectuoso, un tratamiento médico experimental puede curar
una enfermedad o no, un producto cosmético puede provocar reacciones
alérgicas o no; en todos estos casos se presentan distribuciones de Bernoulli.

23. La distribución de Bernoulli
A uno de los dos posibles resultados del experimento se le llama éxito y al otro,
fracaso.
La probabilidad de éxito se denota mediante la letra “p” minúscula: 𝑝
La probabilidad de fracaso es 1 − 𝑝 y suele representarse con la letra: 𝑞
Para cualquier ensayo de Bernoulli se define éxito como 𝑋 = 1 y fracaso como
𝑋 = 0. Por lo tanto la variable aleatoria es discreta y su función de masa de
probabilidad queda definida por:
𝑝 0 = 𝑝 𝑋 = 0 = 1 − 𝑝
𝑝 1 = 𝑝 𝑋 = 1 = 𝑝
𝑝 𝑥 = 0 para cualquier valor de X diferente de 0 ó 1.

24. La distribución de Bernoulli
La forma en la que se expresa es: 𝑋 sigue una distribución de Bernoulli con
parámetro 𝑝. Simbólicamente se representa:
𝑋~𝐵𝑒𝑟𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖(𝑝)
Tres ejemplos de distribución Bernoulli y su representación gráfica:

25. Media y varianza de la distribución de Bernoulli
The mean of the Bernoulli Probability Distribution is equal to the probability
of success, p; and the variance is the product of probability of success (p)
times the probability of failure (1 – p).

26. Media Aritmética de la distribución Bernoulli
Calcular la media aritmética de una distribución de Bernoulli resulta
contraintuitivo, no parece tener mucho sentido que si una moneda tiene dos
posibles resultados, uno (águila) y cero (sol), podamos encontrar un punto medio
entre estos dos valores.
El sentido real de la media aritmética de una distribución de probabilidad es el de
“valor esperado” o “esperanza matemática”, y en el caso específico de la
distribución de Bernoulli el valor esperado es igual a la probabilidad de éxito.
El procedimiento para calcularlo es similar al cálculo de la media aritmética
cuando se determinan las frecuencias.
𝜇 = 𝐸 𝑥 = 0 1 − 𝑝 + 1(𝑝)
𝜇 = 𝐸 𝑥 = 𝑝

27. Varianza de la distribución Bernoulli
La varianza de la distribución Bernoulli
se calcula como sigue:
𝜎2
= 0 − 𝑝 2
1 − 𝑝 + 1 − 𝑝 2
(𝑝)
𝜎2 = 𝑝2 1 − 𝑝 + (1 − 2𝑝 + 𝑝2)(𝑝)
𝜎2 = 𝑝2 − 𝑝3 + 𝑝 − 2𝑝2 + 𝑝3
𝜎2 = 𝑝 − 𝑝2
𝜎2 = 𝑝(1 − 𝑝)
Este procedimiento sólo lo
efectuamos para mostrar
cómo se obtiene, pero
podemos sintetizar el
resultado y emplearlo como
una fórmula:
𝝈 𝟐 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)

28. Desviación estándar de la distribución
Bernoulli
La desviación estándar es, sencillamente, la raíz cuadrada de la varianza:
𝝈 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)

29. Ejemplo: Determinar la media, varianza y desviación
estándar de la distribución Bernoulli del problema:
Diez porciento de los componentes fabricados en una línea de producción resultan
defectuosos. Debido a que dicha línea se está sometiendo a prueba por el departamento
de ingeniería se requiere analizar la distribución de Bernoulli.
𝒑 = 𝟎. 𝟏
𝟏 − 𝒑 = 𝟎. 𝟗
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1
𝑋~𝐵𝑒𝑟𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖(0.1)
𝑬 𝒙 = 𝝁 = 𝟎. 𝟏
𝝈 𝟐
= 𝟎. 𝟎𝟗
𝝈 = 𝟎. 𝟑
Gráfica Probabilidades Media, varianza y
desviación estándar

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