Trabajo monográfico Teorema de Norton.

1. FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y MECÁNICA
CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
“TEOREMA DE NORTON”
Curso - Sección:
Electrónica industrial - 4212
Profesor:
Ing. Dionicio Augusto Valdivia Garate
Alumno(s) - Código:
Huanca Escalante, Lizbeth – 1512695
Huamani Romero, Oscar Rolando – 1512580
Ciclo:
V
Turno:
Noche
Arequipa, 15 de febrero de 2017

2. ÍNDICE
Introducción............................................................................................................................3
Objetivos.................................................................................................................................4
1. Objetivo general...........................................................................................................4
2. Objetivos específicos ...................................................................................................4
Capítulo I ................................................................................................................................5
1. Introducción histórica ..................................................................................................5
1.1 Edward Lawry Norton...............................................................................................5
2. Descripción teórica ......................................................................................................9
3. Experimentos realizados............................................................................................11
Capítulo II.............................................................................................................................17
1. Aplicaciones ..............................................................................................................17
Referencias bibliográficas ....................................................................................................22

3. Introducción
Un circuito eléctrico, es la interconexión de dos o más componentes que contiene una
trayectoria cerrada, entonces si observamos nuestro mundo actual vemos que los circuitos
eléctricos son utilizados en cada uno de los aparatos eléctricos que se usamos a diario,
muchos de estos circuitos son muy complejos y disponen de una gran variedad de
elementos que en conjunto, en teoría sería bastante complicado poder resolverlo si la ayuda
de dos teoremas como son Thevenin y Norton.
El teorema de Norton que lleva ese nombre en memoria de su creador Edward Larry
Norton y nos permitirá simplificar un circuito comprendido entre dos terminales.
El presente trabajo se desarrolla de la siguiente manera: El primer capítulo detalla la
introducción historia, descripción teórica y experimentos realizados que explican el
teorema de Norton, el segundo capítulo trata sobre las aplicaciones, donde se explica un
ejercicio de circuitos con su respectiva resolución en base al teorema de Norton,
desarrollado en el sistema Livewire, para finalmente las respectivas conclusiones.

4. Objetivos
1. Objetivo general
Investigar sobre el teorema de Norton.
2. Objetivos específicos
a) Realizar una introducción histórica y descripción teórica sobre el teorema de
Norton.
b) Investigar sobre los experimentos realizados por Norton.
c) Describir y resolver un ejercicio aplicativo sobre el teorema de Norton, haciendo
uso de programa Livewire.
d) Dar conclusiones referentes al ejercicio aplicativo del Teorema de Norton.

5. 5
Capítulo I
1. Introducción histórica
1.1 Edward Lawry Norton
No se escribió ninguna biografía formal sobre Norton; sin embargo AT & T.
(American Telephone & Telegraph), realizo una recopilación de algunos
archivos sobre su trabajo de la cual para el presente trabajo tomo como
referencia.
Edward Lawry Norton nació el 29 de julio de 1898 en Rockland, Maine,
EE.UU. fue un ingeniero y científico empleado de los Laboratorios Bell. Es
conocido principalmente por enunciar el Teorema de Norton, que lleva su
nombre.
Un poco sobre la historia de la familia fue que comenzó con Edward Payson
Norton (3 de mayo de 1841-14 de junio de 1885) de Industry / New Vineyard,
Maine, el se casó con Mary Ann Cobb (11 de noviembre de 1840) de Rockland,
Maine. Ellos tuvieron cuatro hijos, de los cuales sólo Francis Cobb Norton (31
de diciembre de 1869) sobrevivió a la infancia, el sobreviviente se casó con
Katherine E. Lawry (10 de febrero de 1885- mayo de 1970) y tuvieron dos hijos:
Marrin o Marion Hayes Norton (10 de marzo de 1900-no se sabe el año de
fallecimiento) y Edward Lawry Norton (29 de julio de 1898-28 de enero de
1983). Edward se casó con Blanche L. (19 de enero de 1905-28 de septiembre
de 1992) y tuvieron un hijo, John Lockwood Norton (10 de enero de 1934).
Sirvió como operador de radio en el U.S Marina entre 1917 y 1919. Asistió a la
Universidad de Maine durante un año antes y un año después de su servicio
durante la guerra, luego fue trasladado a M.I.T.

6. 6
En 1920, recibiendo su S.B. Grado (ingeniería eléctrica), en 1922. Empezó a
trabajar en 1922 en la Western Electric Corporation (el predecesor de Bell
Telephone Laboratories) en la ciudad de Nueva York, que más tarde se
convirtieron en los laboratorios Bell en 1925. Mientras trabajaba para la
Western Electric, M.A. obtuvo un grado en ingeniería eléctrica de la
Universidad de Columbia en 1925.1
Aunque su principal interés estaba en la Teoría de red, sistemas acústicos,
aparatos electromagnéticos, transmisión de datos una comunicación, teoría de
circuitos y la transmisión de datos de las líneas telefónicas, Edward L. Norton es
universalmente reconocido para el desarrollo del dual del circuito equivalente
Thevenin. Norton a principios de la década de 1920 fue uno de los primeros
científicos que uso el circuito equivalente de Thevenin para simplificar las
redes; entonces se dio cuenta de que puede ser conveniente utilizar un método
alternativo.
"Norton era algo de una figura legendaria en el trabajo de la teoría de la red,
realizo varios diseños armados sólo con una regla de deslizamiento y su
intuición. Muchas anécdotas sobreviven. En una ocasión T.C. Fry llamó a su
equipo de trabajo, que incluía en ese momento a Bode, Darlington y R.L.
Dietzold entre Otros, y les dijo: "Ustedes compañeros, es mejor que no se
inscriban en cualquier grado, curso u otros trabajos hasta el año que viene,
porque ustedes van a tomar el control del diseño de red que Ed Norton ha estado
haciendo solo.2
El 11 de noviembre de 1926, él escribió la nota técnica Diseño de Redes para
frecuencia uniforme finita característica, que se reproduce por cortesía de los
Archivos de AT & T, que contiene el siguiente párrafo en la página 9.
1 Maloberti, F. y Davies, A. (2016). A Short History of Circuits and Systems. Editorial
River Publishers. The Netherlands. Pág. 38-39. Recuperado de: http://ieee-
cas.org/sites/ieee-cas.org/files/a_short_history_of_circuits_and_systems-_ebook-_web.pdf
2 Una historia de la ingeniería y la ciencia en el sistema de Bell: Transmisión Tecnología
(1925-1975). Pág. 210.

7. 7
“El ejemplo ilustrativo considerado anteriormente proporciona la solución para
la relación de la corriente de entrada a salida, ya que esto parece ser de interés
más práctico. Una red eléctrica suele requerir la solución para el caso de una
tensión constante en serie con una impedancia de salida conectada a la entrada
de la red. Esta condición requeriría que las ecuaciones de la tensión divididas
por la corriente en la carga fueran tratadas como anteriormente. Sin embargo,
normalmente es más fácil hacer uso de un teorema simple que pueda
demostrarse fácilmente que el efecto de una tensión constante E en serie con una
impedancia Z y la red es la misma que una corriente I = E / Z en una Paralela de
la red y la impedancia Z. Si, como suele ser el caso, Z es una resistencia pura, la
solución de este caso se reduce al caso tratado anteriormente para la relación de
las dos corrientes, con la complicación adicional de una resistencia Shunt a
través de los terminales de entrada de la red. Si Z no es una resistencia el
método todavía se aplica, pero aquí la variación de la corriente de entrada E / Z
debe ser tomada en cuenta”.
Dicho párrafo define claramente lo que hoy es conocido como el circuito Norton
equivalente, el mismo resultado también fue derivado por Hans Ferdinand
Mayer, pero apareció que Norton los había divulgado primero, en un informe
interno. Norton nunca publicó este resultado o mencionado en ninguna de sus 18
patentes y 3 publicaciones. En Europa, es conocida como el circuito Mayer -
Norton equivalente. El ingeniero de telecomunicaciones alemán Hans Ferdinand
Mayer publicó el mismo resultado en el mismo mes que Norton su memoria
técnica. Es cierto que los teoremas de Thevenin o Norton se refieren a las dos
caras de un circuito equivalente, pero para hacer la vida realmente un poco más
fácil, es sabio usar alguno.
Además Norton escribió 92 memorandos técnicos (TMs en Bell Laboratories).
Norton debido a la falta de publicaciones, prefirió trabajar y dejar de darse
notoriedad. Aplicó sus conocimientos profundos de análisis de circuitos a
muchos campos, y después de la Segunda Guerra Mundial trabajó en los
sistemas de guía de misiles Nike.Norton, realizo pocas publicaciones ya que

8. 8
prefirió permanecer en segundo plano. Sin embargo sus capacidades fueron
reconocidos y altamente valorados. Dentro de sus tres publicaciones, ninguna de
ellas menciona el teorema enunciado por él:
Sus tres publicaciones fueron las siguientes:
 En abril de 1937: Redes de resistencia constante con aplicaciones a
grupos de filtro. Publicado en el diario Bell System Technical Journal.
Tomo 16. Págs. 178-193.
 En junio de 1942: Contador de fluidos magnéticos. Publicado en el
diario Bell Laboratories Record. Tomo 20. Págs. 245-247
 Y en abril de 1945: Mediciones dinámicas de dispositivos
electromagnéticos. Publicado en el diario Transacciones AIEE. Tomo
64. Págs. 151-156.3
Se retiró en 1961 y falleció el 28 de enero de 1983 en la King James Nursing
Home en Chatham, Nueva Jersey. EE.UU.
Figura 1: Laboratorio de E. L. Norton. Fotografía tomada en octubre 13, 1925.
Recuperada por AT&T Archive.
3 Edward Lawry Norton (1898-1983). Recuperado de: http://www.ece.rice.edu/~dhj/norton/

9. 9
2. Descripción teórica
El teorema de Norton es aplicado en el cálculo y diseño de circuitos eléctricos, fue
desarrollado por vez primera por el ingeniero de los Laboratorios Bell “Edward
Lawry Norton”.
El teorema de Norton permitirá simplificar un circuito comprendido entre dos
terminales planteando lo siguiente:
“Un circuito que tenga dos terminales, se comporta respecto de una resistencia de
carga colocada entre ellos como un simple generador de intensidad Ix en paralelo
con una resistencia Rx”.4
Entonces el Teorema de Norton establece que cualquier circuito lineal puede ser
sustituido por una fuente equivalente de intensidad en paralelo con una impedancia
equivalente. Al ser sustituida una fuente de corriente por una de tensión el terminal
positivo de la fuente de corriente tiene que coincidir con el terminar positivo de la
fuente de tensión en el momento de aplicar el teorema de Norton.
Se tiene el siguiente circuito inicial:
Aplicando el teorema de Norton nos da el siguiente circuito equivalente:
4 Charles, K. y Sadiku, M. (2000). Fundamentos de circuitos eléctricos 3ra edición.
Editorial Mc graw Hill Companies. Mexico. Pág. 426.

10. 10
El valor de Ix lo obtenemos cortocircuitando los terminales A y B, obteniendo el
circuito siguiente:
R34 es el resultado del paralelo de las resistencias 3 y 4:
𝑅34 =
𝑅3 ∗ 𝑅4
𝑅3 + 𝑅4
Y la intensidad que circulará por este circuito será:
𝐼𝑥 =
𝑉1
𝑅1 + 𝑅2 +
𝑅3 ∗ 𝑅4
𝑅3 + 𝑅4
Para hallar la intensidad que circula en RL, volvemos al circuito equivalente

11. 11
La intensidad Ix se repartirá por las dos ramas cumpliendo la siguiente igualdad:
𝐼𝑥 = 𝐼1 + 𝐼2
Además, sabemos que al estar en paralelo Rx y RL están sometidas a la misma
tensión y se cumple que:
𝐼1 ∗ 𝑅𝑥 = 𝐼2 ∗ 𝑅𝐿
3. Experimentos realizados
Dentro de los aportes científicos que se le atribuye a Edward L. Norton son las 20
patentes en los campos de investigación de circuitos integrado, y otros. Teoría de
redes, relés, redes acústicas, direcciones de tiro (durante la Segunda Guerra
Mundial) y misiles guiados y el Teorema de Norton.
Norton fue conocido mundialmente por el teorema que lleva su nombre, que incluyó
en un memorándum escrito para el departamento de patentes de la Bell Telephone,
teorema apareció publicado por primera vez en 1937 en el libro de texto
Communication Engineering, del profesor W. L. Everitt. Es un teorema dual del de
Thévenin, e indica que se puede sustituir una red cualquiera por un generador de
corriente en paralelo con una admitancia. Norton se convirtió en un miembro de la
Acoustical Society de América y del IRE (estos últimos en 1961). En su biografía
de 1954, que se reproduce por cortesía de los Archivos de AT & T, dice que él tenía
19 patentes; De los cuales sólo 18 han sido encontrados en el registro U. S. PTO.
Una forma de biografía mecanografiada en los archivos de AT & T del 20 de julio
de 1954 indica que él tenía 19 patentes. Un manuscrito Biografía fechada dos años

12. 12
después declara "aproximadamente veinte". Solamente 18 podrían encontrarse en la
patente de los Estados Unidos y Registros de la Oficina de Marcas.5
A continuación una tabla donde figuran sus respectivas patentes:
Fecha de
presentación
Fecha de
aprobación
Número de
patente
Título Comentario
24/11/1924 21/08/1928 1,681,554 Filtro de onda -
25/11/1924 07/04/1931 1,799,634 Transmisión en onda -
12/05/1925 16/04/1929 1,708,950 Filtro de ondas eléctricas -
18/05/1925 02/07/1929 1,719,484 Sistema de transmisión
portadores
-
31/03/1926 03/04/1928 1,664,755 Red eléctrica -
23/09/1926 13/09/1927 1,642,506 Sistema de transmisión de
onda
-
30/10/1926 29/10/1929 1,733,554 Dispositivo magnético -
14/05/1927 17/02/1931 1,792,497 Dispositivo vibrador de
sujeción
Conjunta
con A. C.
Keller
16/04/1929 13/01/1931 1,788,538 Filtrado de circuitos -
31/05/1929 17/02/1931 1,792,655 Reproductor de sonido -
29/07/1932 17/04/1934 1,954,943 Red de transmisión de
onda
-
19/05/1934 05/11/1935 2,019,624 Atenuación ecualizador -
16/08/1934 06/04/1937 2,076,248 Filtro de onda -
30/09/1936 03/05/1938 2,115,826 Impedancia transformador -
12/05/1937 16/08/1938 2,126,915 Red de transmisión de
onda
-
5 Don H. Johnson. Scanning our Past. Origins of the Equivalent Circuit Concept: he
Current-Source Equivalent. Proceedings of the IEEE, Vol. 91, Nº 5, mayo 2003, pp. 817-
821. Recuperado de:
https://pdfs.semanticscholar.org/b55d/3f11daa8943d76fbe645b13020d4b1602648.pdf

13. 13
18/10/1938 21/05/1940 2,201,296 Sistema telefónico Conjunta
con A.A.
Lundstrom
17/09/1941 20/07/1943 2,324,797 Amplificador de
diferencial
-
07/07/1947 15/02/1955 2,702,186 Acelerómetro Conjunta
con G.A.
Head
Fuente: Edward Lawry Norton (1898-1983). Recuperado de:
http://www.ece.rice.edu/~dhj/norton/
3.1. Filtro mecánico
Es un filtro procesador de señales frecuentemente utilizado en vez de un filtro
electrónico de radiofrecuencias. Su propósito es el mismo que el de un filtro
electrónico normal: pasar un rango de frecuencias de la señal, bloqueando todas
las demás. El filtro actúa en las vibraciones mecánicas, las cuales son el análogo
de la señal eléctrica. En la entrada y salida del filtro, los transductores convierten
la señal eléctrica en vibraciones mecánicas, y luego estas son transformadas de
nuevo en la primera forma.
Todos los componentes de un filtro mecánico son directamente análogos a los
distintos elementos encontrados en los circuitos eléctricos. Los elementos
mecánicos obedecen a las funciones matemáticas, las cuales son idénticas a sus
elementos eléctricos correspondientes. Esto hace posible aplicar análisis de
circuitos eléctricos y métodos de diseño similares en los filtros mecánicos. La
teoría eléctrica ha desarrollado un amplio catálogo de formas matemáticas que
producen filtros con respuestas de frecuencia útiles, por lo cual el diseñador de
éstos puede hacer uso directo de aquellas. Solo es necesario ajustar los
componentes mecánicos a valores apropiados para producir un filtro con una
respuesta idéntica a la de su contraparte eléctrica. La teoría de los filtros
mecánicos fue aplicada primero para mejorar las partes mecánicas de los
fonógrafos de los años 20. Alrededor de los años 50 los filtros mecánicos se

14. 14
encontraban siendo manufacturados como componentes independientes para
aplicaciones en los radiotransmisores y receptores de gama alta. El elevado nivel
de factor de calidad "Q" conocido en inglés como quality factor que pueden
alcanzar los resonadores mecánicos, es mucho más alto que el de un circuito
RLC, el cual hace posible la construcción de filtros mecánicos con una excelente
selectividad. La buena selectividad, factor esencial en los receptores de radio, le
dio un gran atractivo a dichos filtros. Los investigadores contemporáneos se
encuentran trabajando en filtros microelectromecánicos, los cuales son
dispositivos mecánicos correspondientes a los circuitos electrónicos integrados.
Reproducción del sonido, una de las primeras aplicaciones de estas herramientas
teóricas nuevas se utilizó en la reproducción del sonido fonográfico. Un
problema recurrente con los primeros diseños de fonógrafos fue que las
resonancias mecánicas en la pastilla y en el mecanismo de transmisión causaban
crestas y valles excesivamente grandes en la respuesta de frecuencia, lo cual
resultaba en una calidad de sonido baja. En 1923, Harrison de Western Electric
Company registró una patente de un fonógrafo en el cual el diseño mecánico se
encontraba completamente representado como un circuito eléctrico. La bocina de
un fonógrafo se representa como una línea de transmisión, transformándose en
una carga resistiva para el resto del circuito, mientras que las partes mecánicas y
acústicas (desde la aguja de la pastilla hasta la bocina) son traducidas como
elementos agrupados de acuerdo con la analogía de la impedancia. El circuito
obtenido consiste en una tipología de escalera de una serie de circuitos
resonantes acoplados por medio de capacitores en paralelo. Esto puede ser
considerado como el circuito de un filtro pasó banda. Harrison diseñó a los
valores de los componentes para que tuvieran una banda de paso correspondiente
con la del audio deseado (en este caso de 100 Hz a 6 kHz), así como de
frecuencia plana. Al traducir estos valores de los elementos eléctricos a las
magnitudes mecánicas se proporcionaron las especificaciones para los
componentes mecánicos en términos de la masa y la rigidez, lo cual también
pudo ser traducido a las dimensiones físicas para su manufactura. El fonógrafo
resultante tenía una respuesta de frecuencia plana en su banda de paso, además

15. 15
de ser libre de las resonancias experimentadas previamente. Poco tiempo
después, Harrison registró otra patente usando la misma metodología en los
transductores de transmisión y recepción en el teléfono. Harrison utilizó la teoría
del filtro de K constante de George Ashley Campbell, la cual era la más avanzada
de aquella época. En esta teoría, el diseño de filtros es visto esencialmente como
un problema de adaptación de impedancias.
Figura 2: Filtro mecánico de Norton y su circuito equivalente.
Se le dio validez a teoría de filtros más avanzada para este problema por Norton
en 1929 en los Laboratorios Bell. Norton siguió el mismo acercamiento general,
aunque el mismo le describió su propio filtro a Sidney Darlington como
"totalmente plano". El diseño mecánico de Norton se aprovechó de la
investigación de Stephen Butterworth, el cual es usualmente acreditado como el
primero en describir el filtro electrónico totalmente plano. Las ecuaciones que
Norton da para su filtro corresponden a un filtro de Butterworth con una sola
terminal, es decir, uno alimentado por una fuente ideal de voltaje con ninguna

16. 16
impedancia, mientras que la forma más frecuente en los textos es para el filtro
con doble terminal con resistores en ambas, haciendo el diseño difícil de
reconocer por lo que es. Otra característica inusual del diseño de filtros de
Norton surge del capacitor en serie, el cual representa la rigidez del diafragma.
Este es el único capacitor en la representación de Norton, y sin ella el filtro
podría ser analizado como un prototipo de filtro paso bajo. Norton mueve el
capacitor fuera del cuerpo del filtro a la entrada, a expensas de introducir un
transformador en un circuito equivalente. Norton utilizó aquí la transformación
de impedancia de "girar la L" para lograr esto.
Norton también usó la teoría del filtro para modelar sistemas mecánicos. Empleó
el mismo enfoque general utilizado para describir el filtro electrónico "máximo
plano".
Figura 3: Norton en su laboratorio

17. 17
Capítulo II
1. Aplicaciones
Ejercicio explicativo.
a) Calcular la IL cuando RL = 1,5 kW.
b) Calcular la IL cuando RL = 3 kW.
c) Calcular la IL cuando RL = 4,5 kW.
 Resolviendo el ejercicio por el teorema de Norton.
1. Quitar la carga RL y poner un cortocircuito (RL = 0).
2. Aplicamos la teoría de mallas de Kirchhoff y calculamos VN:
IN=Corriente
Norton o
corriente en
cortocircuito

18. 18
-72+2I1+2(I1-I2)=0 I1=
2(I2-I1)+I2+2(I2-I3)=0 I2=
2(I2-I3)+I3+2(I3-I4)=0 I3=
2(I4-I3)+0.5I4+1.5I4=0 I4=IN=6mA
3. Cortocircuitar las fuentes de tensión independientes y abrir las fuentes de corriente
independientes.
RN=1.5k
4. Unir la carga al circuito equivalente conseguido.
Ahora aplicando Norton es mucho más fácil resolver el problema que teníamos.
a) Calcular la IL cuando RL = 1,5 kW.
Por la ley de Ohm:
V=6*0.75=4.5V
IL= 4.5/1.5=3mA

19. 19
Livewire 1.- simulación
b) Calcular la IL cuando RL = 3 kW.
Por laley de Ohm:
V=6*1=6V
IL=6/3=2mA

20. 20
Livewire 2 simulación.-
c) Calcular la IL cuando RL = 4,5 kW.
Por la ley de Ohm:
V=6*1.125=6.75V
IL=6.75/4.5=1.5mA

21. 21
Livewire 3 simulación:
Conclusiones
Los primeros científicos eléctricos no pensaron en la relación del equivalente de
corriente-fuente aparentemente por la imposibilidad de una fuente de corriente
existente, más tarde Norton se da cuenta de que el equivalente en la fuente actual
era más fácil de usar en el trabajo teórico en situaciones como cuando la carga
consiste en una combinación paralela.
El teorema de Norton permitirá simplificar un circuito comprendido entre dos
terminales, reemplaza una fuente por una fuente Norton con una resistencia Norton
en paralelo a dicha fuente.

22. Referencias bibliográficas
Charles, K. y Sadiku, M. (2000). Fundamentos de circuitos eléctricos 3ra edición. Editorial
Mc graw Hill Companies. Mexico. Pág. 426. Recuperado de:
https://hellsingge.files.wordpress.com/2014/03/fundamentos-de-circuitos-
elc3a9ctricos-3edi-sadiku.pdf
Don H. Johnson. Scanning our Past. Origins of the Equivalent Circuit Concept: he Current-
Source Equivalent. Proceedings of the IEEE, Vol. 91, Nº 5, mayo 2003, pp. 817-
821. Recuperado de:
https://pdfs.semanticscholar.org/b55d/3f11daa8943d76fbe645b13020d4b1602648.p
df
Edward Lawry Norton (1898-1983). Recuperado de: http://www.ece.rice.edu/~dhj/norton/
-_web.pdf
Harry E. Stockman: Mayer´s and Norton´s Theorems. IEEE Circuits and Systems
Magazine, december 1982, pp. 14-15.
Maloberti, F. y Davies, A. (2016). A Short History of Circuits and Systems. Editorial River
Publishers. The Netherlands. Pág. 38-39. Recuperado de: http://ieee-
cas.org/sites/ieee-cas.org/files/a_short_history_of_circuits_and_systems-_ebook
Normas APA actualizadas. (2016). Recuperado de http://normasapa.com/
Teorema de Norton (s.f.) .Recuperado de: http://e-
ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/2750/2954/html/46_teorema
_de_norton.html