En el siguiente trabajo se presenta la resolución de 5 problemas del libro ¨fundamentos de análisis estructural 2da edicion kenneth. M-Chia-Ming¨ del capitulo 10, problemas del 10.16 al 10.20 aplicando métodos energéticos.

1. MÉTODOS ENERGÉTICOS CAPÍTULO 10, PROBLEMAS DEL 10.16 AL 10.20
Problema10.16
Calcule ladeflexiónvertical ylapendiente en lospuntos“B”y “C”, “EI” es constante.
 Calculando el momento en la viga
𝑀( 𝑥) = −𝑃𝑋 − 𝑊
𝑋
2
2
− 𝑀
Derivandoparaaplicarel teoremade castigliano ycalcularla deflexión
𝑑𝑀(𝑥)
𝑑𝑃
= −𝑋
∆𝐶 = ∫
𝑀( 𝑥) ∗
𝑑𝑀
𝑑𝑝
𝐸𝐼
𝐿
0
= ∫
(−6𝑋 −
𝑋
2
2
) ∗ −𝑋
𝐸𝐼
𝐿
0
∆𝐶 =
1
𝐸𝐼
∫6𝑋2 +
𝑋3
2
𝐿
0
∆𝐶 =
2𝐿3 +
𝐿4
8
𝐸𝐼
Derivandoconrespectoal momento“M” y aplicandocastiglianoparalapendiente
𝑑𝑀(𝑥)
𝑑𝑀
= −1
𝜃𝑐 =
1
𝐸𝐼
∫((−6𝑋 −
𝑋2
2
𝐿
0
) ∗ −1)𝑑(𝑥)
𝜃𝑐 =
1
𝐸𝐼
∫(6𝑋 +
𝑋2
2
𝐿
0
)𝑑(𝑥)
Resolviendolaintegral
𝜃𝑐 = (3𝐿2 +
𝐿3
6
) ∗
1
𝐸𝐼
CON L=12
𝜃𝑐 =
720
𝐸𝐼

2. AHORA ESTIMAMOS LA DEFORMACION Y PENDIENTE EN EL PUNTO “C”
Necesitamoscalcularlosmomentosportramos
Tramo (0-6)
𝑀( 𝑥) = −𝑃𝑋 − 𝑊
𝑋
2
2
Tramo (6-12)
𝑀( 𝑥) = −𝑃𝑋 − 𝑄𝑋 + 6𝑄 − 𝑊
𝑋
2
2
− 𝑀
DerivandolasecuacionesconrespectoaQ para hallarla deflexión
Tramo (0-6)
𝑑𝑀
𝑑𝑄
= 0
Tramo (6-12)
𝑑𝑀
𝑑𝑄
= −𝑋 + 6
Ahoraaplicandocastigliano
∆𝐵 =
1
𝐸𝐼
∫ ((−6𝑋 −
𝑋2
2
) ∗ 0) 𝑑( 𝑥) +
1
𝐸𝐼
∫ (−6𝑋 −
𝑋2
2
)
12
6
6
0
∗ (−𝑋 + 6) 𝑑( 𝑥)
∆𝐵 =
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑋3
2
+ 3𝑋2 − 36𝑋) 𝑑(𝑥)
12
6
Resolviendolaintegral
∆𝐵 =
1
𝐸𝐼
∗ (
𝑋4
8
+ 𝑋3 − 18𝑋2) 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 6 𝑎 12
∆𝐵 =
1998
𝐸𝐼
Lo mismopara hallarla pendiente
𝜃𝐵 =
1
𝐸𝐼
∫ (−6𝑋 −
𝑋2
2
)
12
6
∗ −1𝑑(𝑥)
𝜃𝐵 =
1
𝐸𝐼
∫ (6𝑋 +
𝑋2
2
)
12
6
Desarrollandoyreemplazandoenel intervalode 6a 12
𝜃𝐵 =
576
𝐸𝐼
Tambiénse pide lainercia mínimapara que ladeflexiónmáximaenel punto“C”sea 0.4pulgadas
2𝐿3 +
𝐿4
8
𝐸𝐼
≤ 0.4𝑝𝑢𝑙

3. Reemplazandodatosyresolviendo
(2 ∗ 123 𝑝𝑖𝑒𝑠3 123 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑝𝑖𝑒𝑠3 +
(12𝑝𝑖𝑒𝑠)4
8
∗
123 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑝𝑖𝑒𝑠4
)𝑘𝑙𝑖𝑏
0.4 ∗ 4000
𝑘𝑙𝑖𝑏
𝑝𝑢𝑙𝑔2
≤ 𝐼
6531.81𝑝𝑢𝑙𝑔4 ≤ 𝐼
Problema10.17
Determine lamagnitud de lafuerzavertical “P”que debe aplicarse paraque ladeformaciónen“B”sea cero
Determinandoel momentointerno
𝑀( 𝑥) = 𝑃𝑋 −
𝑊𝑋2
2
Derivandoconrespectoa lacarga “P” para aplicar castigliano
𝑑𝑀(𝑥)
𝑑𝑝
= 𝑋
∆𝐵 =
1
𝐸𝐼
∫ ( 𝑃𝑋 −
𝑊𝑋2
2
) 𝑋𝑑( 𝑥) = 0
𝐿
0
𝑃𝑋3
3
−
𝑊𝑋4
8
= 0
𝑃 =
3𝑊𝑋
8
Teniendoel diagramaenftool comosigue acontinuación:

4. PROBLEMA 10.18
Calcularla deflexión vertical enel punto“C”, 𝐼 = 1200𝑝𝑢𝑙𝑔4, 𝐸 = 29000
𝐾𝑙𝑖𝑏
𝑝𝑖𝑙2
Calculandolosmomentosportramos
Tramo (0-8)
𝑀( 𝑥) = −𝑄𝑋 −
𝑊𝑋2
2
𝑑𝑀(𝑥)
𝑑𝑄
= −𝑋
Tramo (8-20)
𝑀( 𝑥) = −𝑄𝑋 −
𝑊𝑋2
2
− 𝑃(𝑋 − 8)
𝑑𝑀(𝑥)
𝑑𝑄
= −𝑋
Por castigliano
∆𝐶 =
1
𝐸𝐼
∫
𝑊𝑋3 𝑑(𝑥)
2
8
0
+
1
2𝐸𝐼
∫ (
𝑊𝑋3
2
20
8
+ 𝑃𝑋2 − 8𝑃𝑋)𝑑(𝑥)
Resolviendolaintegral
𝑊𝑋4
8𝐸𝐼
𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒⁄ 0 𝑎 8 +
1
2𝐸𝐼
(
𝑊𝑋4
8
+
𝑃𝑋3
3
− 4𝑃𝑋2) ∕ 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 8 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 20
Reemplazandodatos
∆𝑐 = 1.5𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠
Comprobandolosdatosenftool

5. Problema10.19
Calcularla deflexiónenel centrodel claro 𝐼 = 46 ∗ 106 𝑚𝑚4, 𝐸 = 200𝐺𝑝𝑎.
Por sersimétricosolobastacon hallarunmomentoenel tramo (0-4) y multiplicarlo pordos
𝑀( 𝑥) =
𝑃𝑋
2
Derivandoypor el métodode castigliano
𝑑𝑀(𝑥)
𝑑𝑝
=
𝑋
2
Dividimostramosde (0-2) yde (2-4) porque la inerciaesdiferente enesostramosymultiplicamosaambospordos por
condiciónde simetría. Además de reemplazarp=18kN
∆𝐵 = ∫
𝑀( 𝑥) ∗
𝑑𝑀
𝑑𝑝
𝐸𝐼
𝐿
0
∆𝐵 = 2
1
𝐸𝐼
∫(
9𝑋2
2
) 𝑑( 𝑥)
2
0
+ 2 ∗
1
2𝐸𝐼
∫(
9𝑋2
2
) 𝑑( 𝑥)
4
2
Resolviendoestaintegral quedaría de laforma
∆𝐵 =
1
𝐸𝐼
∗ (3𝑋3) 𝑝𝑎𝑟𝑎 X 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 0 𝑎 2 +
1
2𝐸𝐼
∗ (3𝑋3) 𝑝𝑎𝑟𝑎 X 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 2 𝑎 4
∆𝐵 =
1
𝐸𝐼
(24 + 84) =
108
𝐸𝐼
Reemplazandodatostenemos
∆𝐵 = 11.74𝑚𝑚

6. Problema10.20
Calcularel valormínimode “I” para que enA la deflexiónmáximasea 0.3pulg
Aplicando
𝑀𝑐 = 0
−𝑃 ∗ 22 + 𝑅𝐵∗ 16 − 32 ∗ 8 = 0
𝑅𝐵 = 16 +
22𝑃
16
𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑅𝐶 + 𝑅𝐵 = 𝑃 + 32 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑐𝑒𝑠
𝑅𝐶 = 16 −
3𝑃
8
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜
Tramo (0-6)
𝑀( 𝑥) = −𝑃𝑋
𝑑𝑀(𝑥)
𝑑𝑝
= −𝑋
Tramo (0-16)
𝑀( 𝑥) = (16 −
3𝑃
8
) 𝑋 − 𝑋2
𝑑𝑀(𝑥)
𝑑𝑝
= −
3𝑋
8
Reemplazandoenlafórmulade castiglianoyconP=4
∆𝐴 = ∫
(−4𝑋) ∗ −𝑋
𝐸𝐼
𝑑( 𝑥)
6
0
+ ∫
((
29𝑋
2
) − 𝑋2) ∗
−3𝑋
8
𝐸𝐼
𝑑( 𝑥)
16
0
= ∫
(4𝑋2)
𝐸𝐼
𝑑( 𝑥)
6
0
+ ∫
(
−87𝑋2
16
) +
3𝑋3
8
𝐸𝐼
𝑑( 𝑥)
16
0
Resolviendolasintegrales
4 ∗ 63
3𝐸𝐼
+
−1280
𝐸𝐼
=
992
𝐸𝐼

7. 𝑝𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 "𝐼" 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑑𝑒 0.3𝑝𝑢𝑙𝑔
992
𝐸𝐼
≤ 0.3 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
992
0.3𝑝𝑢𝑙 ∗ 29000
𝑘𝑙𝑖𝑏
𝑝𝑢𝑙𝑔2
≤ 𝐼
𝐼 =
992𝑝𝑖𝑒𝑠4
8700 ∗ 12
∗
12𝑝𝑢𝑙4
𝑝𝑖𝑒𝑠4 = 197.031𝑝𝑢𝑙4
En este problemanopide ladeformación