Este documento presenta información sobre funciones y relaciones. Define términos clave como función, dominio, rango, variable dependiente e independiente. Explica cómo determinar si una relación es una función y cómo representar funciones mediante tablas de valores, gráficas y notación funcional. Incluye ejemplos de cómo evaluar funciones, resolver problemas de mundo real y representar funciones geométricas.

1. U8.2: Funciones
Funciones y relaciones
Prof. Rosa E. Padilla
Álgebra I

2. Vocabulario de la unidad
• Define los siguientes términos
– Función
– Entrada
– Salida
– Dominio
– Rango
– Pendiente
– intercepto
– Variable dependiente
– Variable independiente
– Variable
– Constante
– Elemento
– Sistema de ecuaciones
– Inecuaciones
– Solución para sistema de
ecuaciones

3. Definiciones
• Relación: Conjunto de pares ordenados
• Dominio: en cada relación, es el conjunto de
las primeras coordenadas de los ordenados.
Los valores de x.

4. Definiciones
• Rango: Conjunto de las segundas
coordenadas. Valores de y.
• Función: Es una relación que asigna
exactamente un valor del rango a cada valor
del dominio.

5. Ejemplos
• Dada la siguiente relación sobre la altura
de las jirafas según su edad, determina el
dominio y rango:
Jirafas
Edad
(años)
Altura
(metros)
18 4.25
20 4.40
21 5.25
14 5.00
18 4.85
Edad Altura
(18 , 4.25)
(20 , 4.40)
(21 , 5.25)
(14 , 5.00)
(18, 4.85)
• Dominio
= {14, 18, 20, 21}
• Rango
= {4.25, 4.40, 4.85,
5.00, 5.25}

6. Resuelve
• Halla el dominio y el rango de cada relación:
1. {(4, 6), (6, 7), (4, 3), (5, 19), (5, 7)}
2. {(-3, 5), (-2, 8), (0, 7), (4, 22), (0,5)}
3. {(2, -3), (-2, 3), (2, 3), (-2, -3), (3, -2)}
4. {(1, 0), (1, 5), (1, -7), (1, 6.1), (1,10)}
5. {(1.2, 4), (-3.1, -5.2), (8.4, 0), (-3.1, 0)}
6.
1
2
, −1 , −
2
3
, −1 , 4,
3
5
, (5,0)

7. Resuelve
• Dadas las siguientes relaciones, determina si
son funciones o no.
1. {(2, 5), (3, -5), (4, 5), (5, -5)}
2. {(5, 0), (0, 5), (5, 1), (5, 1), (1,5)}
3. {(3, -1), (-2, 3), (-1, -5), (3, 2)}
4. {(-2, 9), (3, 9), (-0.5, 9), (4, 9)}

8. Definiciones
• Prueba de la recta vertical: Si cualquier recta
vertical pasa por más de un punto de la
gráfica, la relación no es función.
• Regla de función: Es una ecuación que
describe una función.

9. Regla de la función
Salida

10. Usar un diagrama
• Determina si cada relación es una función:
– {(11, -2), (12, -1), (13, -2), (20, 7)}
Dominio Rango
11
12
13
20
-2
-1
7
¡Es función!

11. Usar un diagrama
• Determina si cada relación es una función:
– {(-2, -1), (-1, 0), (6, 3), (-2, 1)}
Dominio Rango
-2
-1
6
-1
-0
1
3
¡No es función!

12. Resuelve
• Usa un diagrama para determinar si cada
relación es una función.
1. {(3, 7), (3, 8), (3, -2), (3, 4), (3, 1)}
2. {(6, -7), (5, -8), (1, 4), (5, 5)}
3. {(0.04, 0.2), (0.2, 1), (1, 5), (5, 25)}
4. {(4, 2), (1, 1), (0, 0), (1, -1), (4,-2)}

13. Definiciones
• Notación de función: Una función está en
notación de función cuando usas f(x) para
indicar las salidas.
–Se lee f de x.
–También se utilizan g(x) y h(x).

14. Ejemplo
• Evalúa la regla de la función:
• 𝑓 𝑛 = −3𝑛 − 10, para n = 6.
▪f(6) = -3(6) – 10
▪f(6) = -18 – 10
▪f(6) = -28

15. Ejemplo
• Evalúa la regla de la función:
• 𝑦 = −2𝑥² + 7, para x = -4
▪ 𝑦 = −2(−4)² + 7
▪ 𝑦 = −2(16) + 7
▪ 𝑦 = −32 + 7
▪ 𝑦 = −25

16. Evalúa
1. y = x + 7
2. y = 11x – 1
3. f(x) = x²
4. f(x) = -4x
5. f(x) = 15 – x
6. y = 3x + 2
7. y =
1
4
𝑥
8. f(x) = -x + 2
• Evalúa cada regla de la función para x = -3

17. Hallar el rango
• Halla el rango de la regla de la función
y = 5x -2 para cada dominio.
• {5, 11}
• {-1, 4}
• {-5, -2, 2, 10}
• −
1
5
,
1
4
,
2
5

18. Tablas de valores
• Determina si cada relación es una función. Si es una
función, determina el dominio y el rango.
1. 2. 3.
x y
1 -3
6 -2
9 -1
1 3
x y
0 2
3 1
3 -1
5 3
x y
-4 -4
-1 -4
0 -4
3 -4

19. Problemas verbales
• Usa los datos de la tabla de la derecha. ¿El
largo de una iguana es una función de su
edad? Explica tu respuesta.
Edad
(Años
Largo
(pulgadas)
2 30
4 37
3 31
5 45
4 40

20. Problemas verbales
• Analizar errores:
–Un estudiante piensa que la relación
{(2,1), (3, -2), (4, 5), (5, -2)} no es una función
porque dos valores en el dominio tienen el
mismo valor del rango. ¿Cuál es el error del
estudiante?

21. Problemas verbales
• Una tienda compró una caja de cámaras
desechables por $300. La ganancia g de la tienda
por las cámaras es una función del número c de
cámaras vendidas. Halla el rango de la función
𝑔 = 6𝑐 – 300 donde el dominio es {0, 15, 50, 62}.
• ¿En esta situación, qué representan el dominio y el
rango?

22. Aplica lo aprendido
• Halla el rango de cada función para el
dominio {-1, 0, 3}
1. 𝑓 𝑥 = 4𝑥 + 1
2. 𝑔 𝑥 = −4𝑥 + 1
3. 𝑦 = 𝑥 − 1
4. 𝑠 𝑡 = 𝑡² − 1

23. Prueba de la recta vertical
• Usa la prueba de la recta vertical para determinar si cada
gráfica es la gráfica de una función.
1. 2. 3.

24. Aplicaciones
• El precio de una llamada telefónica de larga distancia p es
una función del tiempo t que se pasa hablando en minutos.
La regla p(t) = 0.09t describe la función de proveedor de
servicios. En la parte superior a la derecha, un estudiante ha
calculado cuánto costaría una llamada telefónica de 2 horas.
a) ¿Por qué parece poco razonable la respuesta del estudiante?
b) ¿Qué error o errores cometió el estudiante, si alguno?
c) ¿Cuánto costaría una llamada telefónica de 2 horas?
d) ¿Qué conjunto de números es razonable para los valores del
dominio? ¿Y para los valores del rango?
p = 0.09 × 2
= 0.18
$0.18 por 2 horas

25. Reglas de funciones, tablas y
gráficas

26. Definiciones
• Variable independiente:
– Todos los valores de entrada.
• Variable dependiente
– Todos los valores de salida.

27. Variables dependientes e independientes
Representa la variable
independiente en el
eje horizontal
Representa la variable
dependiente en el eje
vertical. (3, -4)
(0, -1)
Une los puntos con
una recta o una curva
no pronunciada para
dar el panorama
general de la función.
Usa los valores de
entrada y salida como
pares ordenados para
trazar puntos.
(-3, 2)

28. Perspectivas de una función
• Representa la regla de la función
𝑦 =
1
2
𝑥 + 3 usando una tabla de valores y una gráfica.
X 𝑦 =
1
2
𝑥 + 3 (x, y)
-4 𝑦 =
1
2
−4 + 3 = 1 (-4, 1)
0 𝑦 =
1
2
0 + 3 = 3 (0, 3)
2 𝑦 =
1
2
2 + 3 = 4 (2, 4)
Paso 1: Elige los valores de entrada
para x. Evalúa para encontrar y.
Paso 2: Traza los puntos para los
pares ordenados.
Paso 3: Une los puntos y forma
una línea recta.

29. Resolver problemas del
mundo real
• Supone que tu grupo grabó un CD que quieren vender.
Una compañía cobra $250 por hacer un CD maestro y
diseñar el arte de la portada, más $3 por quemar cada CD.
El costo total P(c) depende del número de CD c
quemados. Usa una regla de la función P(c) = 250 + 3c
para hacer una tabla de valores y una gráfica.
– Construye una tabla de valores para
c = 100, 200, 300 y 500.

30. Resolver problemas del
mundo real
Número de CD
c 𝑃 𝑐 = 250 + 3𝑐 (c, P(c))
100 𝑃 𝑐 = 250 + 3 100 = 550 (100, 550)
200 𝑃 𝑐 = 250 + 3 200 = 850 (200, 850)
300 𝑃 𝑐 = 250 + 3 300 = 1,150 (300, 1,150)
500 𝑃 𝑐 = 250 + 3 500 = 1,750 (500, 1,750)
Costodegrabación
(dólares)

31. Resolver problemas del
mundo real
a. Otra compañía cobra $300 por hacer un CD maestro y
diseñar el arte, además de $2.50 por quemar cada CD.
Usa la regla de la función P(c) = 300 + 2.5c para hacer
una tabla de valores y una gráfica.
b. ¿Cuál compañía es la más barata?

32. Resolver problemas del
mundo real
c 𝑃 𝑐 = 300 + 2.5𝑐 (c, P(c))
100 𝑃 𝑐 = 300 + 2.5 100 = 550 (100, 550)
200 𝑃 𝑐 = 300 + 2.5 200 = 850 (200, 800)
300 𝑃 𝑐 = 300 + 2.5 300 = 1,150 (300, 1,050)
500 𝑃 𝑐 = 300 + 2.5 500 = 1,750 (500, 1,550)

33. Resuelve:
Relaciona cada gráfica con su función
1. 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 2. 𝒇 𝒙 =
𝟏
𝟐
𝒙 3. 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟐
a. b. c.

34. Representa cada regla con una tabla de
valores y una gráfica
1. 𝑓 𝑥 = −3𝑥
2. 𝑓 𝑥 = −3𝑥 + 1
3. 𝑓 𝑥 = −3𝑥 − 2
4. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 7
5. 𝑓 𝑥 = 8 − 𝑥
6. 𝑓 𝑥 = 5 + 4𝑥
7. 𝑓 𝑥 =
1
4
𝑥
8. 𝑓 𝑥 = 4𝑥
9. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4
10. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1

35. Resuelve
• Juliana cobra $3.50 por hora por cuidar bebés.
a) Escribe una regla para describir cómo la cantidad de dinero M
ganada es una función del número h de horas trasncurridas
cuidando bebés.
b) Haz una tabla de valores.
c) Haz una gráfica de valores y une los puntos con una recta.
d) Utiliza la gráfica para estimar cuánto tiempo le toma a Juliana
ganar $300.

36. Geometría
• La figura mostrada es un pentágono
regular. La función 𝑃 𝑙 = 5𝑙 describe el
perímetro de un pentágono regular con
longitud de lado l.
a) Haz una tabla de valores para l = 1, 2, 3 y 4.
b) Haz una gráfica de la función.