1. La transformada de Fourier se puede utilizar para simplificar el estudio de la solución de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales, convirtiendo el problema en uno de ecuaciones algebraicas. Posee buenas propiedades algebraicas cuando se aplica a derivadas sucesivas de una señal o al trasladar la señal. 2. La convolución de señales es una operación conmutativa.

1. 1. Teoremas básicos sobre latransformada de Fourier:
La palabra“transformada”indicaque estamostrabajandoconuna herramientapara
transformarun tipodeterminadode problemaenotro.De hecho,latransformadade Fourier
será útil (comoveremos) parasimplificarel estudiode la solución de ciertotipode ecuaciones
diferenciales,convirtiendo´el problemade la solución de unaED enun problemade solución
de ecuacionesalgebraicas.Lamotivaciónparadichoestudioestá enel hechode que la
transformadade Fourierposee buenaspropiedades´algebraicascuandose aplicaa las
derivadassucesivasde una señal,oal trasladarla señal,etc.En este ˜apartado estudiamoslas
propiedades mássencillasde latransformadade Fourier.´A continuaciónexponemosuna
listade las propiedadeselementalesde ´F(x)(ξ)=ˆx(ξ) (Algunasde lasdemostracionesson
muysencillasylasdejamoscomoejercicio).Nota2 Mantenemosambasnotaciones,F(x) yxˆ
para la transformadade Fourier,porque avecesunade ellases más cómodao más
clarificadoraque laotra. Porotra parte,estoayudaa que el ´ estudiante se familiarice con
ambas notacionesy,portanto,le permitiráleerf ´ fácilmente diferentes´textossobre el tema
(yaque por ahora no hay acuerdo unánime parala notación enestamateria).
2. Convoluciony Transformada de Fourier:Dadas dos senales˜x(t),y(t)
absolutamente integrablesenR,recordamosque suconvolucion´estadadapor laformula
(x ∗ y)(t) = Z ∞ −∞ x(s)y(t − s)ds.
En realidad,laconvolucionestabiendefinidadesde el momentoenque unade lasse ´
nalesseaacotada ˜ (enR) y la otra seaabsolutamente integrable.
Proposición1.La convolucionde señalesesunaoperaciónconmutativa
Demostración.Bastahacer el cambiode variablest− s = u, de modoque:
x[∗y(t) = Z ∞ −∞ x(s)y(t− s)ds = − Z −∞ ∞ x(t − u)y(u)du = Z ∞ −∞ x(t − u)y(u)du = y]∗ x(t)