Este documento describe algunas propiedades básicas de la transformada de Fourier, incluyendo su linealidad, cómo se comporta ante traslaciones en el tiempo y cambios de escala, y su relación con la derivación. Explica que la transformada de Fourier convierte el problema de resolver ecuaciones diferenciales en uno de resolver ecuaciones algebraicas y provee ejemplos para ilustrar algunas de estas propiedades.

1. Integrante : Erick Castañeda V-24777389
IV Semestre Mtto Mecánico
Matemática 4
San Cristóbal, De agosto Del 2016
República Bolivariana De Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
San Cristóbal Edo-Tachira

2. La transformada de Fourier
la transformada de Fourier será útil (como veremos) para simplificar el
estudio de la solución de cierto tipo de ecuaciones diferenciales,
convirtiendo el problema de la solución de una ED en un problema de
solución de ecuaciones algebraicas. La motivación para dicho estudio esta
en el hecho de que la transformada de Fourier posee buenas propiedades
algebraicas cuando se aplica a las derivadas sucesivas de una señalo al
trasladar la señal, Entre otros. En este caso estudiamos las propiedades
mas sencillas de la transformada de Fourier. las propiedades elementales
de F(x)(ξ) = x(ξ) (Algunas de las demostraciones son muy sencillas).
*Teoremas básicos sobre la transformada de Fourier

3. Linealidad: La transformada de Fourier es un operador lineal. Mas
precisamente, si ´ x1, x2 ∈
Traslación en el tiempo. ´ Dado a ∈ R, se tiene que
Demostración En realidad, esta propiedad es trivial: basta hacer un cambio
de variable, como se observa a continuación:
La otra formula se demuestra de forma analógica. ´ ¤

4. Cambios de escala. Si δ > 0 y xδ(t) = δ −1x(t/δ), entonces
Demostración. De nuevo un simple cambio de variable sirve para nuestros
objetivos:
La demostración de la segunda formula es analógica.
Derivación. Si x es continua y derivable a trozos, con x 0 (t) ∈ L 1
(R),entonces

5. Además, si tx(t) es integrable entonces
Demostración. En este caso vamos a utilizar la formula de integración por
partes, para el calculo de xˆ0 :
Antes de continuar desarrollando la teoría, vamos a calcular algunas
transformadas de Fourier: Ejemplo 1 Consideremos la señal escalón

6. Su transformada de Fourier es:
Hay otros ejemplos cuyo calculo no es tan sencillo como en los casos
anteriores. Esto, unido a su importancia para las aplicaciones, los
traslada a la categoría de teoremas

7. GRACIAS