Operaciones con polinomios

ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR OPERACIONES CON POLINIMIOS
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
3-1
OPERACIONES CON POLINOMIOS
1. SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS.
En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos debajo de los otros,
de tal modo que los términos semejantes queden en columna, para facilitar la reducción de
éstos, separados unos de otros con sus respectivos signos.
Ejemplos: Hallar las sumas:
a) c2b3a −+ con c3b2a ++ . De acuerdo con lo indicado se tiene.
05b5a ++
++
−+
c3b2a
c2b3a
b) 5c4b7a +− con 6c4b7a −+− . Ordenando:
c00 −+
−+−
+−
6c4b7a
5c4b7a
c) 53y9x +− con 4yx +−− y 94y5x −+− . Ordenando:
003x ++
−+−
+−−
+−
94y5x
4yx
53y9x
d) xy
3
1
x
3
1 2
+ con
2
y
4
1
xy
2
1
+ . Ordenando:
22
2
2
y
4
1
xy
2
1
xy
3
1
x
2
1
y
4
1
xy
2
1
0
0xy
3
1
x
2
1
+++
++
++
Simplificando:
22
y
4
1
xy
6
5
x
2
1
++=+
+
+ 




 22
y
4
1
xy
6
32
x
2
1
e) 4cd3bc5ab +− , 3de2cd2bc −+ , 3de2ab4bc +− y ab6cd3bc −−− . Ordenando:

3-2
0002ab +++
+−−−
+++−
−++
++−
06cd3bcab
3de04bc2ab
3de2cd2bc0
04cd3bc5ab
f) ba)(2bd)c(bd)c(bb)(a =−+−+++−−−=−+−++−+−− a2bdcbdcbba
g)
222
222222222
cba
)b(ac)c(ab)c(ba
−+−=+−−−−++−=
=−−−+−+−−
22222222
baccabcba
2
h)
7ba
6b]6a[3b6a2ba
2
2
−=
=−+−+=+−−−+=+−−−+ 9b6a6a2ba9b]6a[6a2ba
22
i)
2z4y
z)yx(z)yx(z)y(xz)y(x
−=−++++−−+−−+=
=+−−−++−++−−−+
zyxzyxzyxzyx
j)
2
232323
3x
8)2x4x(x7)xx(3x1)x2x(4x
=−−+−+++−+−=
=++−−−−−−++−
+ 82x4xx7xx3x1x2x4x
232323
2. RESTA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS
Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los
términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo escribiremos el sustraendo
cambiándose el signo a todos sus términos.
La resta se realiza de igual manera que la suma de polinomios.
Ejemplos:
a) De ba + restar ba − . Ordenando:
diferencia2b+
+−
+
sustraendoba
minuendoba
b) De 3b8a + restar 43a +− . Ordenando:
diferencia43b11a −+
−
+
sustraendo43a
minuendo3b8a
c) De 2z3y4x −− restar 7z2y3x ++− . Ordenando, se tiene:

3-3
diferencia9z5y7x −−
−−
−−
sustraendo7z2y3x
minuendo2z3y4x
3. MULTIPLICACIÓN
Multiplicación de monomios. Para multiplicar un monomiopor otro, se empieza por aplicar
la regla de los signos para la multiplicación, después se multiplican los coeficientes y finalmente
las literales; si éstas son todas diferentes se colocan unas a continuación de las otras con sus
propios exponentes y sin signos intermedios. Cuando intervienen potencias con la misma base,se
conserva la misma base y se suman los exponentes.
Ejemplos:
a)
22
ba(ab)(ab) = b) gedbc72ag)e8d)(bc9a(
43234323
=−−
c) xy15a3ax)(5ay)(
2
−=− d) ( ) zyx
4
5
5xzxy
4
1 222
−=− 





e)
7534342
zy24x)4xyz)(zy(6x −=− f)
92x7x2x
15a))(5a(3a
+++
=
Multiplicación de un polinomio por un monomio. Para multiplicar un polinomio por un
monomio, se multiplica éste por todos y cada uno de los términos del polinomio, tomando en
cuenta la regla de los signos, y se suman algebraicamente los resultados.
Ejemplos:
a)
2345223
8x4x2x6x)2x4)(2xx(3x +−+−=−−+−
b)
36262435255324
bc18acb36acb15a3abc))(c6ac12abcb(5a ++−=−−−
c)
6n22m5n12m3n2m3m3n2m2n1mnm
b4ab12ab4a)b)(4abab3ab(a
+−+−++−+−
−+=−+
Multiplicación de polinomios. Para multiplicar un polinomio por otro, se multiplicantodosy
cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, teniendo
en cuenta la regla de los signos, y se suman algebraicamente los resultados; finalmente se hace la
correspondiente reducción de términos semejantes.
Ejemplos:
a)
5x12xx
5)2xx)(x2x(x
25
223
−+=
=−+−+−++−=+−+ − 5x2xx10x4x2x5x2xx
23234345
b)
4224
2222
yyxx
xy)yxy)(xy(x
++=
=−−−+++++=++−+
223334223224
yxxyyxxyyyxyxyxx

3-4
c)
42332456
222234
babab2aba3a
)b2ab)(3ababa(a
+−++=
=+−++−++−=
=+−++
423324332452456
bab2ab3abab2ab3abab2a3a
d)
abcacxbcxcxabxaxbxx
c)b)(xa)(x(x
2223
−++−+−−=
=−+−−=−−− c)ab)(xaxbx(x
2
4. DIVISIÓN
División de un monomioentre otro monomio. Para dividir un monomio entre otro, primero
se aplica la regla de los signos para la división, después se dividen entre si los coeficientes y
finalmente las literales. Cuando éstas son diferentes pueden conservarse en el mismo lugar, pero
cuando se trata de potencias con la misma base se restan los exponentes.
Ejemplos:
a)
ed
cxyb5a
ecdb9a
xycb45a
4
363
422
3285
−=
−
b) 2ab
b2a
b4a
2
23
−=
−
c) 5mx
4xy
y20mx
3
32
−=
−
d)
3a2n1m
32
anm
zyx
3
1
z3xy
zyx −−−
−=
−
División de un polinomio entre un monomio. Se dividen todos los términos del polinomio
entre el monomio, separando los cocientes parciales con sus propios signos.
Ejemplos:
a)
2
222
3b2aba
3a
9abb6a3a
+−=
+−
b)
3
1
bab2a
b3a
bab3ab6a 3456
32
326688
−−=
−−
c) 7xyzy3xz12y
zy7x
zy49xzy21xzy84x 2253
322
43344852
−−=
−−
3
d)
1m1m3m
3
4m2mm
2aaa
3
2
3a
6a3a2a +−−
++
−+−=
−
+−

3-5
e) 4b3abb2a
b2a
b8ab6ab4a 232
4m2x
3m2x2m3x1m4x
−+−=
−
+−
−+
−+−+−+
División de un polinomioentre otro polinomio. Sobre la base de la división aritmética, se
dará un método para la división entre polinomios.
111 Se ordenan los términos del numerador y del denominador con relación a una letra, en
orden de potencias decrecientes.
211 Se divide el primer término del numerador entre el primer término del denominador para
obtener el primer término del cociente.
311 Se multiplica el cociente obtenido por cada término del denominador, colocando el
resultado en columna (debajo del término semejante en caso de existir, si no tiene semejante
en el numerador se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación de
potencias), para poder sustraerlo del numerador al producto se le cambia de signo.
411 Considerar el residuo obtenido como un nuevo numerador y repetir los pasos 211 y 311 para
encontrar el segundo término del cociente y el siguiente residuo.
511 Continuar el proceso hasta obtener un residuo que sea de menor grado que el grado del
denominador. Si el residuo es cero, la división es exacta, y se puede expresar como:
divisor
dividendo
rdenominado
numerador
== cociente
Si el residuo es diferente de cero, se puede expresar como:
rdenominado
residuo
rdenominado
numerador
+= cociente
Ejemplos
a) Dividir
22
3b4aba ++ entre ba + . Podemos expresarlo como:
divisor
o
rdenominado
dividendo
0
numerador
ba
3b4aba
22
=
+
++
Para la solución hacemos uso del símbolo ,llamado galera, por lo que
tendremos:

3-6
5a3
+ 5a2
+ 6a + 4
a – 1 5a4
+ 0a3
+ a2
– 2a – 3
-5a4
+ 5a3
0 + 5a3
+ a2
– 2a - 3
- 5a3
+ 5a2
0 + 6a2
– 2a - 3
- 6a2
+ 6a
0 +4a - 3
- 4a + 4
0 + 1 =
División no
b) Dividir: 82x3x
2
−+ entre 2x + . Siguiendo los pasos de ejemplo anterior, se tiene:
c) Dividir
242
9x35x9x31x −+− entre 3x5x
2
+ . Arreglando dividendo y divisor en
orden decreciente de sus potencias tenemos:
d) Dividir 3a2a5a
24
−+− entre 1a − . Ordenando se tiene:
denominador
o
divisor
a + b a2
+ 4ab + 3b2
-a2
- ab
0 + 3ab + 3b2
- 3ab - 3b2
0 + 0
a + 3b
numerador
o
dividendo
cociente
Residuo =
Es una división exacta
7x2
+2x - 3
5x2
+ 3x 35x4
+ 31x3
– 9x2
– 9x
- 35x4
– 21x3
0 + 10x3
– 9x2
– 9x
- 10x3
– 6x2
0 - 15x2
– 9x
+ 15x2
+ 9x
0 división exacta
3x – 4
x + 2 3x2
+ 2x – 8
- 3x2
- 6x
0 - 4x – 8
+ 4x + 8
0 = residuo; división exacta

3-7
Por lo que, también se puede expresar como:






−
++++=
−
−−+
1a
1
46a5a5a
1a
32aa5a 23
24
e) Dividir
43223
y5xyyxyx +−+ entre yx −
i) Ordenando con respecto a x; tenemos:
ii) Ordenando con respecto a y; tenemos :
f) Hacer la división de 12aaa
24
−−− entre 1aa
2
++ . Ordenando:
x2
y + 2xy2
– 3y3
x – y x3
y + x2
y2
– 5xy3
+ y4
- x3
y + x2
y2
0 + 2x2
y2
– 5xy3
+ y4
- 2x2
y2
+ 2xy3
0 - 3xy3
+ y4
+ 3xy3
- 3y4
0 - 2y4
División no exacta
-y3
+ 4xy2
+ 3x2
y + 2x3
- y + x y4
–5xy3
+ x2
y2
+ x3
y
- y4
+ xy3
0 – 4xy3
+ x2
y2
+ x3
y
+ 4xy3
- 4x2
y2
0 - 3x2
y2
+ x3
y
+ 3x2
y2
– 3x3
y
0 - 2x3
y
+ 2x3
y - 2x4
- 2x4
División no exacta
a2
– a – 1
a2
+ a + 1 a4
– 0a3
– a2
– 2a- 1
- a4
– a3
– a2
0 – a3
– 2a2
– 2a – 1
+ a3
+ a2
+ a
0 – a2
– a – 1
+ a2
+ a + 1
0 División exacta

3-8
g) Dividir 64x7x2x6xx
2536
+−−−+ entre 23xx
24
+− . Ordenando y dividiendo:
h) Efectuar la siguiente división: 32x − 32x3x7x
43
−+− . Ordenando tenemos:
16
61
x
8
15
x
4
5
x
2
3 23
+++−
32x0x7x3x32x
234
−+++−−
34
x
2
9
x
2
6
−+
32x0xx
2
5
0
23
−+++
23
x
4
15
x
4
10
+−
32xx
4
15
0
2
−++
x
8
45
x
8
30 2
+−
3x
8
61
0 −+
16
183
x
16
122
+−
16
135
0 + División no exacta
x2
– 2x + 3
x4
– 3x2
+ 2 x6
– 2x5
+ 0x4
+ 6x3
– 7x2
– 4x + 6
- x6
+ 0 + 3x4
+ 0 – 2x2
0 – 2x5
+ 3x4
+ 6x3
– 9x2
– 4x + 6
+ 2x5
+ 0 – 6x3
+ 0 + 4x
0 + 3x4
+ 0 – 9x2
+ 0 + 6
- 3x4
+ 0 + 9x2
+ 0 – 6
0 División exacta

3-9
i) Efectuar la siguiente división:
b
3
1
a
2
1
−
b
2
1
a
3
1
+
22
b
6
1
ab
36
5
a
6
1
−+
ab
4
1
a
6
1 2
−−
2
b
6
1
ab
9
1
0 −−
2
b
6
1
ab
9
1
++
0 División exacta
j) Hacer la división que se indica:
22
6b5aba +−
22
4b3ab2a +−
432234
24b38abb31ab13a2a +−+−
2234
b4ab3a2a −+−
43223
24b38abb27ab10a0 +−+−
3223
20abb15ab10a +−+
4322
24b18abb12a0 +−+
4322
24b18abb12a- −+
0 División exacta
5. DIVISIBILIDAD DE UN POLINOMIO EN x ENTRE UN BINOMIO DE LA FORMA x - a
Se llama polinomio en x aquel en que la literal de este nombre está afectada exclusivamente
de exponentes enteros y positivos en todos los términos en que participan, en los cuales de una vez
establecemos cierto orden, porque su manejo resulta mas sencillo si de preferencia están ordenados
conforme a las potencias decrecientesde x o de y ó de z, si tuviéramos que emplear estas literales.
Ejemplos:
1) 613x7x8x3x4x5x
23456
−−+++−
2) 78xx
24
−+
3) 8x
3
−
Si una expresión no satisface el requisito de que los exponentes de la literal fundamental,
sean enteros y positivos, no debe llamarse polinomio, sino simplemente suma de términos,comoes
el caso del siguiente ejemplo: 34x3x2x 2
1
23
+−−
Al referirnos a la división de un polinomio en x entre un binomio de la forma ax − ;
previamente debemos aclarar que dicho binomio siempre tiene la forma ax − , nada más que el

3-10
número a por si solo, puede ser positivo o negativo y esto origina que a veces el signo de liga entre
los dos términos del binomio sea positivo (+) como se ve a continuación.
3x3)(x;2x2)(x +=−−−=+−
Según lo anterior, dado un binomio de esta naturaleza, el número a siempre debe
considerarse con signo contrario al que tenga en el binomio.
El teorema del residuo. Expresa que el residuo resultante al dividir un polinomio en x entre un
binomio de la forma ax − puede calcularse, sin necesidad de hacer la división; si en el
polinomiosustituimos en el lugar de x el número a, precisamente tomado con signo contrario
al que tenga el binomio.
Demostración. Para su demostración, supondremos que p(x) simboliza a cualquier polinomioenx;
que Q(x) simboliza, también, al polinomio en x que resulta como cociente al dividir el
polinomio en x entre el binomio ax − , y que R es el residuo correspondiente de dicha
división.
De acuerdo con esto tendremos:
ax
R
Q(x)
ax
p(x)
−
+=
−
Despejando:
Ra)Q(x)(xp(x) +−=−
−
+−= 





a)(x
ax
R
a)Q(x)(x
Si en esta última expresión sustituimos a x por (+ a), obtendremos:
p(a)R =∴+=+−+=+ R0Ra)a)(aQ(a)p(
Queda demostrado el teorema del residuo, y que es de gran interés, porque así podremos
averiguar anticipadamente si una división de este tipo, va a ser exacta, cuando el residuocalculado
valga cero.
Ejemplos:
1) Aplicando el teorema del residuo, diga si la siguiente división es exacta o no.
2x
613x7x8x3x4x5x
23456
+
−−+++−
En el polinomio en x se sustituye el número a, tomado con signo contrarioal que tenga en el
binomio, es decir (- 2)
480R480
R
=∴=−=
=−++−++=−++−++−−=
=−−−−+−+−+−−−=−==
70550
6262864481283206267(4)8)8(3(16)32)4(5(64)
62)13(2)7(2)8(2)3(2)4(2)5(2)p(p(a)
23456
Sin hacer la división, el residuo es 480. Para comprobar efectuamos la división:

3-11
2) Aplicando el teorema del residuo, decir si la división siguiente es exacta o no.
1x
613x7x8x3x4x5x
23456
−
−−+++−
Aplicando el teorema del residuo tenemos.
0R0
R
=∴=−=−−+++−=
=−−+++−===
232361378345
613(1)7(1)8(1)3(1)4(1)5(1)p(1)p(a)
23456
Comprobación:
5x5
-14x4
+31x3
-54x2
+115x-243
x+2 5x6
-4x5
+3x4
-8x3
+7x2
-13x -6
-5x6
-10x5
0 -14x5
+3x4
+14x5
+28x4
0 +31x4
+8x3
-31x4
-62x3
0 -54x3
+7x2
+54x3
+108x2
0 +115x2
-13x
-115x2
-230x
0 -243x -6
+243x+486
0 +480 = Residuo = 480
5x5
+x4
+4x3
+12x2
+19x+6
x-1 5x6
-4x5
+3x4
+8x3
+7x2
-13x-6
-5x6
+5x5
0 +x5
+3x4
-x5
+x4
0+4x4
+8x3
-4x4
+4x3
0 +12x3
+7x2
-12x3
+12x2
0 +19x2
-13x
-19x2
+19x
0 +6x-6
-6x+6
0

3-12
6. DIVISIÓN SINTÉTICA O SIMPLIFICADA.
Tiene por objeto determinar el cociente de un polinomio en x entre un binomiode la forma
ax − , de una manera sencilla y rápida, aplicando los siguientes pasos, en el ejemplo que ya se ha
visto.
619x12x4x1x5x
1x
613x7x8x3x4x5x 2345
23456
+++++=
−
−−+++−
Primero. Se divide el primer término del dividendo (5x
6
) entre el primer término del divisor
(x), para obtener el primer término del cociente (5x
5
)
Segundo. Se multiplica el coeficiente del primer término del cociente (5) por el segundo
término del divisor tomado con signo contrario al que tenga el binomio (+1), y el
productoresultante (+ 5) se suma algebraicamente al coeficiente (-4) del término de
grado inmediato inferior en el dividendo; el resultado obtenido (+1) será al
coeficiente del segundo término del cociente el cual se escribe en el lugar
respectivo acompañado de la literal x afectada de un exponente una unidad menor,
respecto del término anterior(+1x
4
).
Tercero. El nuevo coeficiente (+1) se vuelve a multiplicar por el segundo término del divisor
con signo contrarioy el producto(+1), nuevamente se suma al coeficiente (+3) del
siguiente término del dividendo, obteniéndose (+4) que es el coeficiente del tercer
término del cociente, al que se volverá acompañar de la literal x con un exponente
otra unidad menor(+4x
3
)
Cuarto. Y así sucesivamente.
Ejemplos:
1) 28xx
2x
414x8x2xx 3
234
−−=−−+=
−
++−−
28x0xx
23
Aplicando el teorema del residuo:
0R04283216162)p(R =∴=++−−=+= División exacta
2)
1x
215x8x9x
25
+
+−−
Completando el dividendo y dividiendo, se tiene:
217x9x9x9x
1x
215x8x0x0x9x 234
2345
+−+−=
+
+−−++
3)
2x
804x3x
25
+
++
Completando el dividendo y dividiendo, se tiene:
4020x12x6x3x
2x
800x4x0x0x3x 234
2345
+−+−=
+
+++++

3-13
4) 648x16x2x
2
1
x
3268x17x2x 23
34
−−+=
+
−−++
=
+
−−+
2
1
x
3268x0x17x2x
234
5)
432234
54233245
2bx2bx3bbxx
2x
4bx6bx8bx5b3bxx
b
+−+−=
−
−+−+−
8. PRODUCTOS NOTABLES.
Se llama así a ciertos productos que cumplen con reglas fijas, cuyo resultado puede ser
escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación.
Existen varios tipos de productos notables, algunos de los cuales se muestran a
continuación.
1. Cuadrado de la suma de dos cantidades(cuadrado de un binomio) Si elevamos, la suma
ba + al cuadrado, equivale a multiplicar por si mismo ese binomio es decir que:
b)b)(a(ab)(a
2
++=+
Desarrollando este producto tendremos:
0 sea que;
222
b2abab)(a ++=+
Cuyo resultado se puede expresar: El cuadrado de la suma de dos términos es igual al
cuadrado del primer término más el doble producto de los dos términos más el cuadrado
del segundo término.
Ejemplos:
1) 168xx4)(x
22
++=++=+
22
(4)2(x)(4)x
2)
42222
25b40ab16a)5b(4a ++=++=+
222
)(5b)2(4a)(5b(4a)
2
3)
6
25xx30a9a)5x(3a
324232
++=+
4)
105482254
81yy126axx49a)9y(7ax ++=+
5)
4222
9x6x1)3x(1 ++=+
6)
42222422
ybbxy2axa)byx(a ++=+
2
a + b
a + b
a2
+ ab
+ ab + b2
a2
+ 2ab + b2

3-14
7)
22x1xx2x21xx
bb2aa)b(a
+++
++=+
8)
42x2x1a22a22x1a
yy2xx)y(x
−−++−+
++=+
2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. Elevar ba − al cuadrado, equivalente a
multiplicar ese binomio por si mismo o sea: b)b)(a(ab)(a
2
−−=−
Desarrollando tendremos:
o sea que
222
b2abab)(a +−=− . Ya que:
222
a2baba)(b +−=−
Por lo que:
22
a)(bb)(a −=−
El cual se puede expresar como; El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al
cuadrado del primer término, menos el doble producto del primer término por el segundo
término, más el cuadrado del segundo término.
Ejemplos:
1) 2510x5)(x
22
x +−− =
2)
632432
9bb24a16a)3b(4a +−=−
2
3)
102546253
y81xy180x100x)9xy(10x +−=−
4) 2510a5)(a
2x42x22x
a +−−
−−−
=
5)
42a12a22a22a1a
9x6xx)3x(x
−−+−−++−+
+−=+−=−
42a2a1a22a
9xx6xx
3. Producto de la suma por la diferencia de dos términos. Sea el producto. b)b)(a(a −+ , que
desarrollado nos da:
a - b
a - b
a2
- ab
- ab + b2
a2
- 2ab + b2

3-15
Esto es:
22
bab)b)(a(a −=−+
Lo que significa que: el producto de binomios conjugados, es igual alcuadrado del primer
término menos el cuadrado del segundo término.
Ejemplos:
1)
22
xax)x)(a(a −=−+
2) 4x2)2)(x(x
2
−=−+
3)
22
9b4a3b)3b)(2a(2a −=−+
4)
2m22nm1n
9a25a)3a(5a −=−
++
5) 14a1)1)(2a(2a2a)1)(1(2a
2
−=+−=+−
4. Cubo de un binomio. Sea b)(ab)(ab)b)(ab)(a(ab)(a
23
++=+++=+ . Desarrollando:
a
2
+ 2ab + b
2
a + b
a
3
+ 2a
2
b + ab
2
+ a
2
b + 2ab
2
+ b
3
a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
Por lo tanto:
32233
b3abb3aab)(a +++=+
Que se puede enunciar como: El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término,
más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple
producto del primer término por el cuadrado del segundo término, más el cubo del
segundo término.
5. Diferencia de un binomio al cubo. Se desarrolla análogamente a la suma, es decir el caso
anterior, por lo que, desarrollando:
a
2
- 2ab + b
2
a - b
a
3
- 2a
2
b + ab
2
- a
2
b + 2ab
2
- b
3
a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
Por lo tanto:
32233
b3abb3aab)(a −+−=−
a + b
a - b
a2
+ ab
- ab + b2
a2
+ 0 + b2

3-16
Lo que nos dice que: El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer
término menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el
triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término, menos el cubo
del segundo término.
Ejemplos
1) 13a3aa1)(a
233
+++=+++=+
3223
(1)3(a)(1)(1)3(a)(a)
2) 812x6xx2)(x
23
−+−=−+−=−
32233
(2)3(x)(2)(2)3(x)x
3) 2754x36x8x3)(2x
233
+++=+++=+
3223
(3)3(2x)(3)(3)3(2x)(2x)
4) 125300x240x64x5)(4x
233
+++=+++=+
3223
(5)3(4x)(5)(5)3(4x)(4x)
5)
64232
a3a3a1)a(1 −+−=−+−=−
3222223
)(a)3(1)(a)(a3(1)1
6. Producto de dos binomios que tienen un término común. Sean los binomios: b)(a + y
c)(a + . Su producto es:
a + b
a + c
a
2
+ ab
+ ac + bc
a
2
+ ab + ac + bc = a
2
+ a(b + c) + bc
Por lo que: bcc)a(bac)b)(a(a 2
+++=++
El cual se expresa como: el producto de dos binomios que tienen un término común es
igual al cuadrado del término común, más el producto del común por la suma de los no
comunes, más el producto de los no comunes.
Ejemplos:
1) 145xx2)7)(x(x
2
−+=−+−+=−+ 2)(7)(2)x(7x
2
2) 4213xx6)7)(x(x
2
+−=−−+−−+=−− 6)7)((6)7x(x
2
3) 2140x16x3)7)(4x(4x
242
++=+++=++ (7)(3)3)(74x)(4x
2222
4) 107xx(2)(5)2)x(5x5)2)(x(x
22
++=+++=++
7. Producto de dos binomios de la forma:
abbm)x(anmnxb)a)(nx(mx
2
+++=+++=++ abbmxanxmnx
2

3-17
Es decir: abbm)x(anmnxb)a)(nx(mx 2
+++=++
Ejemplos:
1)
12x20x
4)3)(5x(4x
2
−+=−+−+=
=−++−+=+−
1216)x15(20x
3)(4)((4)(4)]x3)(5)[((4)(5)x
2
2
2) 410x6x1)4)(3x(2x
2
−−=−+−+=+− 42)x12(6x
2
8. El trinomio cuadrado perfecto: c)bc)(ab(ac)b(a
2
++++=++ . Desarrollando las
operaciones indicadas se tiene.
a + b + c
a + b + c
a
2
+ ab + ac
+ ab + b
2
+ bc
+ ac + bc + c
2
a
2
+ 2ab + 2ac + b
2
+ 2bc + c
2
Ordenando tenemos:
2bc2ac2abcbac)b(a 2222
+++++=++
Ejemplo:
12ab6b4a9b4a1
3b)2a(1
22
2
+++++=
=+++++=++ 2(2a)(3b)2(1)(3b)2(1)(2a)(3b)(2a)(1)
222
9. Suma de cubos. Dado el producto: )babb)(a(a
22
+−+ . Efectuando la operación de
multiplicación indicada tenemos:
a
2
- ab + b
2
a + b
a
3
- a
2
b + ab
2
+ a
2
b - ab
2
+ b
3
a
3
+ 0 + 0 + b
3
Por lo que:
3322
ba)babb)(a(a +=+−+
10. Diferencia de cubos. De la misma manera, desarrollando el producto )babb)(a(a
22
++− ,
tenemos:
32222322
babbaabbaa)babb)(a(a −−−++=++− .
Es decir:
3322
ba)babb)(a(a −=++−
Ejemplos:
1)
3322
216y8x)36y12xy6y)(4x(2x −=−=+−+
33
(6y)(2x)

3-18
2)
44
22
192xyy81x
)16y12xy4y)(9x3xy(3x
−=−=
=−=++−
)64y3xy(27x
](4y)3xy[(3x)
33
33

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