Los elementos de euclides1
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- 1. LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES MARTHA ISABEL OROZCO
- 2. GRANDES MATEMÁTICOS DE GRECIA ANTIGUA THALES DE MILETO PITÁGORAS EUCLIDES ARQUÍMEDES
- 3. BIOGRAFIA Euclides de Alejandría (325aC-265aC), es probable que se educara en Atenas, fue uno de los jóvenes discípulos de Platón, matemático griego y el más nombrado y conocido de la antigüedad. Autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, los Elementos, que rivaliza por su difusión con las obras más famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote. Inspiración para grandes matemáticos y científicos como: ARQUÍMEDES, LEONARD EULER, JOHANN GAUSS, COPERNICO, JOHANNES KEPLER, GALILEO GALILEI, ISAAC NEWTON y ALBERT EINSTEIN
- 4. LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES Está constituido por XIII Libros que contiene 140 asunciones básicas (130 definiciones, 5 postulados, 5 axiomas o nociones comunes), 465 proposiciones derivadas (93 problemas, 372 teoremas), y unos pocos resultados auxiliares (19 prismas, 16 lemas) y se exponen las bases esenciales de la geometría que han resistido al paso del tiempo como ninguna otra obra científica permaneciendo vigente e insuperada a lo largo de más de Escuela de Atenas: Euclides con sus discípulos 2300 años. Pocos de los teoremas que aparecen en sus textos son propios, contiene una gran síntesis no sólo de la producción geometría griega hasta el siglo III a. C. sino también de un compendio, usando el lenguaje geométrica de toda La Matemática elemental: Geometría plana y espacial, Aritmética y Álgebra. Lo que Euclides hizo fue, en realidad, reunir en una sola obra todos los conocimientos acumulados desde La época de Thales, El único teorema que La tradición asigna definitivamente a Euclides es el Teorema de Pitágoras que se demuestra en Las proposiciones 47 y 48 del primer libro de Los Elementos.
- 5. LIBRO I AL IV GEOMETRÍA PLANA
- 6. CINCO POSTULADOS DE EUCLIDES I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une. II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección. III.- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera. IV.- Todos los ángulos rectos son iguales. V.- Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Este axioma es conocido con el nombre de axioma de las paralelas y también se enunció más tarde así: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.
- 7. AXIOMAS O NOCIONES COMUNES DE LOS ELEMENTOS I. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí. II. Si se añaden iguales a iguales, los todos son iguales. III. Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales. IV. Las cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí. V. El todo es mayor que la parte.
- 8. LIBRO I LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA Al principio proporciona una lista de veintitrés definiciones, cuarenta y ocho proposiciones, cada una con una demostración paso a paso, usando las definiciones, los postulados y la nociones comunes. Trata de construcciones elementales, teoremas sobre congruencias, área de polígonos y el Teorema de Pitágoras.
- 10. LIBRO II ALGEBRA GEOMÉTRICA Este libro contiene 14 proposiciones y puede considerarse como un pequeño tratado de álgebra de segundo grado referido a operaciones con segmentos, tratado cuyo fundamento son las últimas proposiciones del Libro I.
- 12. LIBRO III TEORÍA DE LA CIRCUNFERENCIA Tiene 37 proposiciones, inicia con definiciones sobre círculos, luego cuerdas, tangentes, secantes, ángulos inscritos y centrales, y teoremas. Lo dedica al estudio de la geometría del círculo.
- 13. LIBRO III TEORÍA DE LA CIRCUNFERENCIA Proposición 1. Determinar el centro de una circunferencia dada.
- 14. LIBRO IV FIGURAS INSCRITAS Y CIRCUNSCRITAS Este volumen contempla las construcciones pitagóricas, con regla y compás de los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 y 15 lados. Consta de 7 definiciones y 16 proposiciones que son todas problemas. Se estudian inscripciones y circunscripciones de figuras rectilíneas y círculos, y se ofrece la construcción de polígonos regulares, como el pentágono y el hexágono con el método de la duplicación de lados.
- 15. LIBRO IV FIGURAS INSCRITAS Y CIRCUNSCRITAS http://www.youtube.com/watch?v=HenhWNB oK3o
- 16. LIBROS V AL X RAZONES Y PROPORCIONES Los Libros VII, VIII, y IX, tratan de la teoría de números o, mejor dicho, acerca de las propiedades de los números enteros y de las razones de números enteros. Sólo estos libros de los Elementos tratan la aritmética. Si bien Euclides usa segmentos de recta para representar números y rectángulos para el producto de los números, sus resultados no dependen enteramente de la geometría. El Libro X de los Elementos trata de clasificar diferentes tipos de números irracionales, o sea magnitudes inconmensurables.
- 17. LIBRO V TEORIA DE LAS PROPORCIONES ABSTRACTAS Se considera el principal resultado de la geometría euclidiana. Lo dedico a la sistematización en un lenguaje lógico matemático de la teoría de las proporciones que había desarrollado Eudoxio de Cnido.
- 18. LIBRO V TEORIA DE LAS PROPORCIONES ABSTRACTAS
- 19. LIBRO VI FIGURAS GEOMÉTRICAS SEMEJANTES Y PROPORCIONALES Consta de 4 definiciones y 33 proposiciones. Este volumen contiene la teoría eudoxiana de la proposición a la geometría plana. Se establecen los Teoremas fundamentales de los triángulos semejantes y las construcciones de la tercera, la cuarta y la media proporcional. Se establece una solución geométrica a las ecuaciones cuadráticas y la proposición de que la bisectriz interna del ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados.
- 20. LIBRO VI FIGURAS GEOMÉTRICAS SEMEJANTES Y PROPORCIONALES
- 21. LIBRO VII FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS Consta de 23 definiciones y 39 proposiciones. Junto a los Libros VIII y IX forman un bloque diferente a la estructura que se da de los volúmenes I-VI y acumula las definiciones en este Libro VII. En total comprenden 102 proposiciones y podemos decir que son investigaciones de carácter teórico con la intención, por ejemplo, de determinar la medida común máxima entre sí de dos números no primos. De hecho este volumen es una reconstrucción del legado aritmético de raíces pitagóricas.
- 22. LIBRO VII FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS
- 23. LIBRO VIII CONTINUACION DE PROPORCIONES A LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS Consta de 27 proposiciones. Este Libro VIII se ocupa de series de números en proporción continuada y en progresión geométrica, concepto y noción que no queda definida. Trata sobre todo de progresiones geométricas, que para Euclides son conjuntos de números en proporción continua, esto es, a/b=b/c=c/d=d/e=... Tales proporciones continuas satisfacen nuestra definición de progresión geométrica, ya que en estas la razón entre cada termino y el siguiente es constante
- 24. LIBRO IX TEORÍA DE LOS NÚMEROS Consta de 36 proposiciones. Se desarrolla la teoría pitagórica de lo par e impar, presenta su famosa prueba de la infinitud de los primos y además una ley de formación de números pares perfectos.
- 25. LIBRO X CLASIFICACION DE LOS INCONMENSURABLES Consta de 16 definiciones y 115 proposiciones. Trata de la clasificación de ciertos números irracionales.Se cree que gran parte de este volumen corresponde al trabajo de Theaetetus donde en sus obras propone determinar el tipo de irracionalidades que se encuentran en el cálculo de los cuerpos regulares para así clasificar las condiciones bajo las cuales se puede prescindir de expresiones del tipo Ѵa+Ѵb Definición 1. Se llaman Definición 2. Las líneas rectas magnitudes conmensurables son conmensurables en cuadrado aquellas que se miden con la cuando sus cuadrados se miden misma medida, y con la misma área, e inconmensurables aquellas de inconmensurables cuando no es las que no es posible hallar una posible que sus cuadrados medida común. tengan un área como medida común.
- 26. LIBRO X CLASIFICACION DE LOS INCONMENSURABLES
- 27. LIBROS XI AL XIII GEOMETRIA DE LOS CUERPOS SOLIDOS Los Libros X, XI, y XIII tratan de la geometría sólida y al cálculo de volúmenes simples. Este último libro contiene 18 teoremas sobre áreas y volúmenes, en especial de figuras curvilíneas o acotadas por superficies.
- 28. LIBRO XI GEOMETRÍA DE LOS SÓLIDOS Consta de 28 definiciones y 39 proposiciones. Formando una especie de trilogía, los Libros XI-XII y XIII hablan de la geometría del espacio. Las 28 primeras definiciones en este Libro XI y ningún postulado configuran un total de 75 proposiciones, 63 de las cuales son teoremas y las demás 12 problemas, aunque estén presentadas éstas últimas como proposiciones mixtas. Definición 3. Una recta es ortogonal a un plano cuando Definición 1. Un sólido es forma ángulos rectos con aquello que tiene longitud, todas las rectas que la anchura y profundidad. tocan y que están en el plano
- 29. LIBRO XI GEOMETRÍA DE LOS SÓLIDOS
- 30. LIBRO XII MEDICIÓN DE FIGURAS Consta de 18 proposiciones. Está destinado al estudio del cálculo de áreas y volúmenes. Allí emplea el procedimiento conocido con el nombre de “método exhaustivo” debido a Eudoxio de Cnido y el cual es en la práctica el método de integración.
- 31. LIBRO XIII SÓLIDOS REGULARES De estructura interna sublime este excepcional Libro XIII incluye los dilectos 5 sólidos platónicos; a saber, tetraedro, hexaedro, octoedro, dodecaedro e icosaedro. Todos ellos evocando con rigor matemático sin precedentes las leyes del espacio euclideo que exorna el Timeo de Platón.
- 32. ANÉCDOTAS DE EUCLIDES En otra ocasión, uno de sus estudiantes preguntó a Euclides qué ganaba con lo que había aprendido de la Geometría: EL maestro ordenó a su esclavo que Le entregase una moneda (óbolo) a aquel estudiante, para que ganara algo con lo que aprendía de Geometría, dando a entender que aquel muchacho no había entendido nada de la grandeza de La Geometría y de lo desinteresado de ésta. “Es maravilloso que un hombres sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su propio pensamiento” ALBERT EINSTEIN
- 34. GLOSARIO AXIOMAS O NOCIONES “verdad evidente por sí misma” TEOREMA O PROPOSICION Es una afirmación que puede ser demostrada. POSTULADOS Es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referida. EQUIMULTIPLOS Son dos o más números que contienen a otros un mismo número de veces. Ejemplos: 14, 24 y 32 son equimúltiplos de 7, 12 y 16, porque el 14 contiene al 7 dos veces, el 24 contiene al 12 dos veces y el 32 contiene al 16 dos veces. INCONMESURABLE En la filosofía de la ciencia, es la imposibilidad de comparación de dos teorías cuando no hay un lenguaje teórico común. Si dos teorías son inconmensurables entonces no hay manera de compararlas y decir cuál es mejor y correcta. GNOMO Se define como el objeto alargado que arroja sombra, independientemente del ángulo que forme con el cuadrante; estará inclinado respecto el plano horizontal con un ángulo igual a la latitud del lugar donde se sitúe el reloj de sol, y varía según los distintos tipos de relojes (ecuatoriales, declinantes, etc.) En el hemisferio norte, el caso más sencillo, la arista que proyecta la sombra está orientada hacia el norte, quedando paralela al eje de rotación de la Tierra.