Este documento presenta una introducción al geoplano, un recurso didáctico para la enseñanza de conceptos geométricos. Explica que el geoplano fue inventado por Caleb Gattegno y consiste en un tablero con clavos donde se pueden formar figuras con bandas elásticas. Luego describe cómo construir un geoplano simple y propone una serie de actividades para trabajar conceptos como puntos, líneas, ángulos, triángulos, cuadrados y paralelas. El objetivo es que los estudiantes explo

1. ´
1.1 Introduccion
TALLER de GEOPLANO
1.1. Introduccion
´
a ´
El geoplano es un recurso did´ ctico para la introduccion de gran parte de los conceptos geom´ tricos;
e
´ ˜ ´
el car´ cter manipulativo de este permite a los ninos una mayor comprension de toda una serie de
a
´
t´ rminos abstractos, que muchas veces o no entienden o no generan ideas erroneas en torno a ellos.
e
El inventor del Geoplano fue el pedagogo contempor´ neo, Caleb Gattegno, profesor del Instituto de
a
´ ´
Educacion de la Universidad de Londres. Este material did´ ctico es de construccion muy sencilla.
a
Consiste en un tablero cuadrado con clavos dispuestos en filas a igual distancia unos de otros, y se
´
trabaja sobre el con bandas el´ sticas.
a
Las actividades que se realizan con el Geoplano permiten que se pongan en juego procedimientos
´ ´
tales como la clasificacion, la descripcion que involucre propiedades de las figuras, la reproduccion ´
´
de figuras a partir de modelos obtenidos en este tablero, la investigacion matem´ tica en la que se
a
utilizan conceptos y relaciones geom´ tricas. Las actividades a realizarse con este material pueden
e
`
ser tanto individuales como colectivas.
˜ ˜
Es recomendable que cada nino y nina tenga su propio geoplano, esto permitir´ que cada uno haga
a
sus propias exploraciones y trabaje a su propio ritmo. Hacer un geoplano es relativamente f´ cil. Al
a
´
Invitar a los padres a participar en su elaboracion se contribuye a la unidad familiar y a la partic-
´
ipacion de los padres en las acciones educativas. Se pueden confeccionar varios modelos de geo-
planos, los cuales se logran al modificar el numero de clavos 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 · · · La figura muestra
´
uno de 3 × 3 y otro de 5 × 5
Es muy conveniente, luego de las primeras actividades, dibujar geoplanos en papel, y multiplicarlos,
para que los alumnos puedan dejar graficadas las tareas realizadas. La figura anterior muestra una
hoja de Geoplano.
1.1.1. Construccion de un Geoplano
´
Se necesita un trozo de madera de 20 × 20 cent´metros (figura 1). Se marca cada 5 cent´metros para
ı ı
formar una cuadr´cula de 5 × 5 (figura 2).
ı
1

2. ´
1.1 Introduccion
En cada una de las intersecciones de los trazos hechos se pone un clavo, de los 81 necesarios (figura
3). Debe quedar como la figura 4.
Ahora se puede hacer geometr´a. Con el´ sticos de colores se enganchan los clavos y se pueden
ı a
formar figuras como muestra la figura 5.
1.1.2. Actividades con el geoplano
´
Puntos: Los clavos del geoplano representan puntos y en el pizarron se representar´ n con una X.
a
Tocar los puntos.
Contar los puntos por l´nea y luego el total.
ı
Representar gr´ ficamente en una hoja los puntos del geoplano
a
ı ´
L´neas: La union o surcos que forman el geoplano representan l´neas rectas.
ı
Unir con bandas el´ sticas, dos puntos cualquiera representando rectas.
a
Unir con bandas el´ sticas, puntos formando rectas.
a
´
Trazar rectas en el pizarron.
2

3. ´
1.1 Introduccion
Trazar con bandas el´ sticas, en el geoplano todas las rectas que pasan por un punto.
a
Trazar con bandas el´ sticas, rectas horizontales, verticales y oblicuas.
a
Se mostrar´ que con un simple giro las rectas pueden transformarse en horizontales, verticales
a
u obl´cuas. Girar las bandas el´ sticas transformando las rectas.
ı a
Representar con bandas el´ sticas, en el geoplano rectas en distintas posiciones formando obje-
a
tos o figuras.
Juegos: Buscamos figuras geom´ tricas
e
Buscamos tri´ ngulos y cuadrados en el geoplano uniendo 3 o 4 puntos con 1 banda el´ stica.
a a
Buscamos todos los cuadrados que se puedan construir en el geoplano usando mas bandas
el´ sticas.
a
Dibujamos en la hoja del Geoplano cuadrados uniendo 4 puntos.
Buscamos con bandas el´ sticas, nuevas uniones de puntos: 2, 3, 4 y 5, con ello nos iniciamos en
a
´
la nocion de otras figuras geom´ tricas.
e
´
Construimos un tri´ ngulo por transformacion del cuadrado, es decir levantando y liberando
a
un v´ rtice de la banda el´ stica. Realizar el mismo ejercicio en sentido inverso.
e a
Actividad 1.1.1. Traza en el Geoplano o en hoja, un segmento vertical de 2 unidades de longitud, un segmento
horizontal de 3 unidades de longitud, y un segmento distinto a los dos anteriores de longitud 4. Usa el´ sticos
a
o l´ pices de colores diferentes.
a
Actividad 1.1.2. Usa el´ sticos de diferentes colores en cada segmento para:
a
1. Trazar una l´nea poligonal abierta, formada por 4 segmentos de recta.
ı
2. Trazar una l´nea poligonal cerrada, formada por 5 segmentos de recta.
ı
3. Trazar una l´nea poligonal cerrada, formada por 4 segmentos de recta de igual longitud.
ı
3

4. ´
1.1 Introduccion
Actividad 1.1.3. Usa el´ sticos de diferentes colores en cada segmento para:
a
1. Trazar dos segmentos de recta, de 3 y 4 unidades de longitud, respectivamente, que sean paralelos.
2. Trazar dos segmentos de recta que sean perpendiculares.
3. Trazar dos segmentos que se corten, pero no perpendicularmente.
Actividad 1.1.4. Traza en la hoja de Geoplano de 3 × 3 seis segmentos de longitudes diferentes.
Actividad 1.1.5. Trazar dos segmentos, no perpendiculares, que se corten.
1. ¿Cu´ ntos angulos se han formado?
a ´
2. Mide con el transportador esos angulos. ¿C´ mo son sus medidas?
´ o
3. Trazar dos segmentos que se corten perpendicularmente. ¿Cu´ nto miden esos angulos?
a ´
4. Coloca otro el´ stico, de color diferente, en el v´rtice del angulo recto y que quede entre los lados del
a e ´
angulo recto. Elimina una de las gomas que formaban el angulo recto. El angulo que queda ¿mide m´ s o
´ ´ ´ a
menos de 90◦ ? ................ ¿Qu´ nombre reciben esos angulos? .......................
e ´
4

5. ´
1.1 Introduccion
Actividad 1.1.6. Trazar dos segmentos perpendiculares e indicar los segmentos con colores diferentes.
1. Coloca otro el´ stico, de color diferente, en el v´rtice del angulo recto y que quede fuera de los lados del
a e ´
angulo recto. Elimina la goma que era el final del angulo recto. El angulo que queda ¿mide m´ s o menos
´ ´ ´ a
de 90 ◦ . ¿Qu´ nombre reciben esos angulos?
e ´
2. Traza en geoplanos distintos. Un angulo recto, uno obtuso y otro agudo
´
Actividad 1.1.7. Une con el´ sticos tres puntos del Geoplano.
a
1. ¿C´ mo se llama esa figura? ...................................
o
2. Ubica los el´ sticos de forma que los tres angulos sean agudos ¿Cu´ l es el nombre de esos tri´ ngulos?
a ´ a a
................................
3. Ubica ahora los el´ sticos de modo que uno de los angulos sea obtuso ¿Cu´ l es el nombre de esos tri´ ngu-
a ´ a a
los? ............................
4. Ubica ahora los el´ sticos de modo que uno de los angulos sea recto ¿Cu´ l es el nombre de esos tri´ ngulos?
a ´ a a
............................
Actividad 1.1.8. Une con el´ sticos tres puntos del Geoplano.
a
5

6. ´
1.1 Introduccion
1. Ubica los el´ sticos de forma que los tres lados tengan la misma medida ¿Cu´ l es el nombre de esos
a a
tri´ ngulos? .........................
a
2. Ubica ahora los el´ sticos de modo que dos de los lados tengan igual medida, pero no as´ el tercero ¿Cu´ l
a ı a
es el nombre de esos tri´ ngulos? .........................
a
3. Ubica ahora los el´ sticos de modo que los tres lados tengan medidas distintas ¿Cu´ l es el nombre de esos
a a
tri´ ngulos? ..........................
a
Actividad 1.1.9. En la hoja de Geoplano dibujar, con lapiz de color, 4 tri´ ngulos de distinto tamano. Mide
a ˜
sus lados. Entre los que dibujaste ¿alguno de ellos tiene un par de lados iguales? ¿existe alguno con todos sus
lados de distinta longitud? ¿Hay alguno con todos sus lados iguales?
Actividad 1.1.10. En una hoja de Geoplano de 3 × 3 hallar cu´ ntos tri´ ngulos de diferentes formas pueden
a a
obtenerse. Una vez hecho esto clasificar aquellos “repetidos”, que en realidad son congruentes pero se encuen-
tran en diferente posici´ n.
o
Actividad 1.1.11. En un Geoplano de 2 × 2 ¿cu´ ntos tri´ ngulos puedes formar?
a a
6

7. ´
1.1 Introduccion
Actividad 1.1.12. En un Geoplano de 3 × 3 fija una liga en un clavo ¿cu´ ntos tri´ ngulos puedes formar?
a a
Actividad 1.1.13. En un Geoplano de 3 × 3 fija una liga en dos clavos ¿cu´ ntos tri´ ngulos puedes formar?
a a
7

8. ´
1.1 Introduccion
Actividad 1.1.14. Traza en la hoja de Geoplano de 3 × 3 seis pares diferentes de segmentos paralelos.
Actividad 1.1.15. Traza en la hoja de Geoplano de 3 × 3 seis pares diferentes de segmentos perpendiculares.
Actividad 28 En tu Geoplano, verifica cu´ les de las siguientes relaciones entre tri´ ngulos son posi-
a a
bles y cuales no. Anota SI o bien NO en la tabla y justifica
´
Lado/ Angulo Acut´ ngulo
a Rect´ ngulo
a Obtus´ ngulo
a
Equil´ tero
a
´
Isosceles
Escaleno
8

9. ´
1.1 Introduccion
Actividad 1.1.16. Une con el´ sticos cuatro puntos del Geoplano.
a
1. ¿C´ mo se llaman esas figuras? .................................
o
2. Ubica los el´ sticos de modo que los cuatro lados tengan la misma medida, sean paralelos dos a dos y
a
todos sus angulos rectos. ¿Cu´ l es el nombre de esas figuras? .........................
´ a
3. s´ lo un par de lados paralelos sean de igual medida, los dos restantes paralelos de distinta medida y todos
o
sus angulos rectos. ¿Cu´ l es el nombre de esas figuras? .........................
´ a
4. Ubica ahora los el´ sticos de modo que los cuatro lados tengan igual medidas pero ningun angulo recto.
a ´ ´
¿Cu´ l es el nombre de esas figuras? ..........................
a
5. Ubica los el´ sticos de manera que los cuatro lados son iguales y los angulos iguales dos a dos. ¿Cu´ l es
a ´ a
el nombre de esas figuras? ..........................
6. Ubica los el´ sticos de manera que s´ lo dos lados sean paralelos. ¿Cu´ l es el nombre de esas figuras?
a o a
..........................
7. Ubica los el´ sticos de manera que no tenga lados paralelos. ¿Cu´ l es el nombre de esas figuras? ....................
a a
Actividad 1.1.17. Traza en la hoja de Geoplano de 3 × 3 seis figuras diferentes de 4 lados.
9

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1.1 Introduccion
Actividad 1.1.18. Observa los cuadril´ teros de las figuras que se muestran a continuaci´ n. ¿Qu´ caracter´sti-
a o e ı
cas observas?
Actividad 1.1.19. Halla cu´ ntos cuadrados se pueden construir en un Geoplano de 5 × 5
a
Actividad 1.1.20. En una hoja de geoplano de 3 × 3 encontrar y clasificar todos los cuadril´ teros posibles.
a
´
Aqu´ debieran aparecer, en las diferentes clasificaciones, los conceptos de figuras concavas y con-
ı
a ´
vexas, cuadril´ teros con un par de lados paralelos y con dos, y como estas otras que le permitir´ n al
a
docente presentar las clasificaciones correspondientes, pero que ahora tendr´ n significado para los
a
˜
ninos.
10

11. ´
1.1 Introduccion
1.1.3. Unidad lineal y Unidad de area
´
´ ´ ´
Se muestra como se enlaza la unidad lineal y la unidad de area para formar el per´metro y el area
ı
respectivamente.
Observe en la figura anterior, que la distancia entre dos puntos alineados vertical u horizontalmente,
representa la unidad lineal o longitud unitaria. En el Sistema Internacional de Medidas esta unidad
´ ´ ´
lineal puede representar kilometro, metro, cent´metro, mil´metro, u otro multiplo o submultiplo del
ı ı
metro como tambi´ n unidades de otro sistema de medida. As´ por ejemplo, en la figura se puede ob-
e ı
servar que la l´nea poligonal (a) tiene una longitud de 6 unidades lineales y si cada unidad equivale
ı
a un metro, por ejemplo, se dice que la longitud es de 6 m. Si la unidad lineal es 1 km, la longitud de
la l´nea poligonal es de 6 km.
ı
Como Ud. ve, la longitud de la l´nea poligonal es de 6 longitudes unitarias una tras otra. En la figura
ı
est´ representado un rect´ ngulo (b), los lados del rect´ ngulo forman una l´nea poligonal cerrada y si
a a a ı
mide la longitud de esa l´nea se dar´ cuenta de que mide 14 unidades lineales. Si cada unidad lineal
ı a
mide 1 cm se dice que la longitud de los lados del rect´ ngulo mide 14 cm, si la unidad lineal es 1
a
´
mm entonces la longitud de los lados ser´ de 14 mm. Por convencion se denota esta longitud con la
a
letra P y se llama per´metro.
ı
˜ ´
En la figura se observa un cuadrado pequeno (c), el cual tiene dos dimensiones. Este representa
una unidad de area o cuadrado unitario. Si la medida del lado de este cuadrado es un mil´metro,
´ ı
´
entonces la unidad de area es un mil´metro cuadrado, si el lado mide un metro entonces la unidad
ı
´ ´
de area es un metro cuadrado. As´, si el lado mide una unidad lineal cualquiera, la unidad de area es
ı
´ ´
la unidad cuadrada. Una unidad de area puede ser kilometro cuadrado, metro cuadrado, cent´metro ı
cuadrado u otra medida.
a a ´
Observando el rect´ ngulo (b), Ud. puede contar cu´ ntos cuadrados unitarios caben en el. Observe
´
que caben 12 cuadrados unitarios y en este caso se dice que el area del rect´ ngulo es de 12 cuadrados
a
unitarios. Si cada cuadrado unitario representa un metro cuadrado entonces decimos que el area del´
rect´ ngulo es de 12 metros cuadrados que simbolizamos por 12 m
a 2 . Si se denota el area con la letra
´
A, se tiene A = 12 m2 . Observe que el area es un conjunto de cuadrados unitarios.
´
Actividad 1.1.21. Determinar el per´metro y el area de los rect´ ngulos inclu´dos en la figura siguiente. Indicar
ı ´ a ı
las medidas de sus lados
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12. ´
1.1 Introduccion
Actividad 1.1.22. En una escuela tienen 4 sectores rectangulares para cerrar con mallaa. El auxiliar se acord-
aba del geoplano, as´ que fue e hizo un dibujo como el siguiente
ı
Determina la cantidad lineal de malla para cerrar cada sector.
Halla el area de cada sector rectangular.
´
¿Cu´ l es el sector de mayor area?
a ´
Actividad 1.1.23. Representa las siguientes figuras:
a) Tri´ ngulo is´ sceles de area 32
a o ´
b) Tri´ ngulo escaleno de area 18
a ´
c) Tri´ ngulo rect´ ngulo de area 24
a a ´
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1.1 Introduccion
Actividad 1.1.24. Encuentra todos los caminos diferentes de longitud cuatro que puedas en tu Geoplano de
3 × 3. Registra tus hallazgos en una hoja de Geoplano.
Actividad 1.1.25. Consideren la mayor cantidad posible de caminos de A hasta B, sin pasar dos veces por un
mismo punto, pudiendo pasar por las diagonales.
Hallen sus longitudes.
Indiquen cu´ l es el m´ s corto y cu´ l es el m´ s largo.
a a a a
Registren sus hallazgos en la hoja del geoplano.
Actividad 1.1.26. Expliquen por qu´ cada una de las figuras rayadas tiene area 2.
e ´
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1.1 Introduccion
Actividad 1.1.27. Busquen todas las figuras que puedan de area 2 en un Geoplano de 3 × 3. Registren sus
´
hallazgos en geoplanos de papel. Comparen sus respuestas con las de otros grupos. ¿Qui´n encontr´ m´ s?
e o a
Actividad 1.1.28. La flecha que muestran las hojas de Geoplano, dibujarlas ↑ y ←
Actividad 1.1.29. En la hoja de Geoplano traslada la figura 5 lugares hacia la derecha y tres hacia arriba.
Actividad 1.1.30. En la hoja de Geoplano hallar el area de la figura.
´
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1.1 Introduccion
Actividad 1.1.31. Copia en la hoja de Geoplano y halla el area de la figura.
´
Actividad 1.1.32. Forma en tu Geoplano y luego dibuja en las hojas las siguientes figuras.
Actividad 1.1.33. Construir en el geoplano otra figura que sea sim´trica a la primera con respecto a la l´nea
e ı
AB, que es el eje de simetr´a. Para verificar colocar un espejo de forma rectangular a largo sobre la liga AB. En
ı
el espejo se ver´ reflejada la figura construida.
a
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1.1 Introduccion
Actividad 1.1.34. Construir en el geoplano:
1. Un tri´ ngulo rect´ ngulo cuyas medidas sean 2 unidades de base y 2 unidades de altura, y un cuadrado
a a
sobre cada uno de los lados del tri´ ngulo.
a
2. Otro tri´ ngulo de una unidad de base y una unidad de altura y sus cuadrados correspondientes.
a
3. Por ultimo, se construye un tri´ ngulo escaleno con sus correspondientes cuadrados.
´ a
4. Calculan las areas de los cuadrados y se anotan en la tabla. Hay que hallar la relaci´ n que existe entre
´ o
las medidas de las areas de los cuadrados A y B y la del cuadrado C.
´
Tri´ ngulo
a ´
Area cuadrado A ´
Area cuadrado B ´
Area cuadrado C
1
2
3
Se analizan los datos contenidos en la tabla y se pregunta: ¿Qu´ relaci´ n tienen las areas de los cuadrados A y
e o ´
B con respecto al area del cuadrado C en los tres tri´ ngulos?
´ a
Actividad 1.1.35. Formar en el geoplano (o en la hoja) un tri´ ngulo y a partir de el y cambiando s´ lo el v´rtice
a ´ o e
superior hallar otros tri´ ngulos con la misma base y la misma medida de la altura.
a
Actividad 1.1.36. Calcula el area de la siguiente figura
´
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1.1 Introduccion
Actividad 1.1.37. Dibuja en la hoja del geoplano las dos figuras siguientes. Calcula sus areas y per´metros.
´ ı
Actividad 1.1.38. Dibuja en la hoja del geoplano las dos figuras siguientes. Calcula sus areas y per´metros.
´ ı
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1.1 Introduccion
Actividad 1.1.39. Enlaza 5 clavos en la hoja del geoplano
1. ¿C´ mo se llama a dichas figuras?
o
2. Trata ahora de que los cinco lados tengan la misma longitud ¿Qu´ nombre tienen ahora? .............................
e
3. Anota su per´metro ...............................
ı
4. Anota su area .........................
´
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