El documento discute la epistemología de las matemáticas. Explica que las matemáticas no pueden ser directamente enseñadas, sino que deben ser construidas internamente por cada estudiante. También describe las diferencias entre el conocimiento empírico y el conocimiento lógico-matemático, y cómo el pensamiento matemático involucra modelado, simbolización y abstracción.

1. SUSTENTACIÓN EPISTEMOLÓGICA DE LAS MATEMÁTICAS
REFERENTE CONCEPTUAL
Epistemología de las Matemáticas.
“Los estudiantes sólo pueden aprender a pensar críticamente, analizar información,
comunicar ideas científicas, formular argumentos lógicos, trabajar como parte de un
grupo y adquirir otras destrezas deseables cuando realizan dichas tareas en muchos
contextos”.
Fundamentación Epistemológica.
Lo que es enseñable de las Matemáticas y lo que no es posible enseñar:
Abordando el texto Inventario Informal del Aprendizaje de las Matemáticas, Volumen 1,
de Claudia Victoria Llano, tenemos:
“El conocimiento físico y social es en parte empírico y el conocimiento lógico matemático
enfatiza en la razón.
De la exposición anterior se deducen las características que especifican el aprendizaje de
las matemáticas dentro del aprendizaje general. El aprendizaje de la matemática es
principalmente conocimiento lógico matemático. Las palabras habladas “uno, dos, tres” y
los signos escritos tales como “2+” pertenecen al conocimiento social, pueden ser
enseñados por transmisión social, pero los conceptos numéricos no. Como la fuente del
conocimiento lógico matemático está en el niño, únicamente él puede construir ese
conocimiento”. Además al iniciar la escolarización, el único aspecto de la matemática que
puede enseñado es la “estructura superficial” de la materia. La habilidad de decir “uno,
dos, tres, cuatro”, de escribir “5+1=6” y de memorizar sumas específicas, es superficial,
comparado con la construcción del conocimiento lógico matemático subyacente.
Piaget hizo otra distinción importante entre dos tipos de abstracción: la abstracción
empírica y la abstracción reflexiva. La abstracción empírica es la abstracción de
propiedades de objetos observables en la realidad exterior; por ejemplo cuando el niño se
da cuenta que una pelota es roja, está enfocando el color e ignorando el objeto y el
material del que está hecho. Por el contrario, en la abstracción reflexiva a través de la cual
se construye el conocimiento lógico-matemático, la abstracción no se hace de objetos sino
de la acción mental del sujeto sobre esos objetos; por ejemplo las relaciones que crea el
niño entre los objetos como “igual”, “mayor”, “8”.

2. La diferencia que hizo Piaget entre el conocimiento lógico-matemático con otros tipos de
conocimiento y entre abstracción reflexiva y empírica, de la fundamentación teórica para
comprender cómo aprenden matemática los niños: construyendo relaciones desde
adentro, a través de la interacción con el medio ambiente y coordinando las relaciones
que construyeron con anterioridad. De este texto podemos deducir claramente lo que es y
no es enseñable en las matemáticas. En las matemáticas son enseñables las teorías, los
conceptos, procesos o algoritmos y las aplicaciones de éstos en la solución de problemas.
Se desarrolla la habilidad de los cálculos numéricos, se promueve el desarrollo del
pensamiento lógico-matemático y el espacial, se fomentan los hábitos de estudio en el
estudiante basados en la práctica disciplinada, en la curiosidad o el interés; al igual que se
le enseña a ser colaborativo con los otros, a través de la solución de problemas de la vida
cotidiana, la práctica experimental, recolección de información y el análisis de datos.
Posibilita la interacción del conocimiento teórico con el entorno, motivando de esta
manera el aprendizaje de la propia disciplina, e incita a la investigación cuando se le
propone al estudiante indagar sobre situaciones, conjeturas históricas o aplicaciones en
otras ciencias.
Es enseñable su propio lenguaje simbólico, que le permite abstraer y generalizar
elementos de la realidad permeados por otros saberes mediante modelos funcionales;
incluso contribuyendo al avance tecnológico, por medio de análisis sistemáticos, sencillos
o complejos.
Se enseña a interpretar, argumentar y proponer, a razonar matemáticamente de manera
deductiva e inductiva.
El niño puede aprender a través de su percepción sensorial y de la relación con el entorno,
las personas, los objetos y hechos, realizando un acercamiento a la comprensión de los
conceptos o a su representación intuitiva, que luego con el aprendizaje del lenguaje
matemático le conducen a un nivel de interpretación explícita, implícita e inferencial.
Existen además, estudiantes inquietos por el conocimiento y curiosos por explorar
alternativas que encuentran caminos diversos a las estrategias enseñadas para abordad
situaciones problematizadoras.
Lo pragmático del área:
“Los estudiantes necesitan ver las conexiones entre conceptos y aplicaciones de principios
generales en varias áreas. A medida que relacionan ideas matemáticas con experiencias
cotidianas y situaciones del mundo real, se van dando cuenta que esas ideas son útiles y
poderosas. El conocimiento matemático de los estudiantes aumenta a medida que
entienden que varias representaciones (por ejemplo: física, verbal, numérica, pictórica y
gráfica) se interrelacionan. Para lograrlo necesitan experimentar con cada una y entender
cómo está conectada.

3. Los estudiantes deben desarrollar la comprensión de los conceptos y procedimientos
matemáticos. Deben estar en capacidad de ver y creer que las matemáticas hacen sentido
y que son útiles para ellos. Maestros y estudiantes deben reconocer que la habilidad
matemática es parte normal de la habilidad mental de todas las personas, no solamente
de unos pocos dotados”.
El sujeto que aprende Matemática es:
Una persona con capacidad analítica, con posibilidad de realizar operaciones lógicas y
capacidad deductiva para que con esas herramientas sea capaz de resolver problemas de
la vida cotidiana, “de crear su propia forma de interpretar una idea, relacionarla con su
propia experiencia de vida, ver cómo encaja con lo que ya sabe” y construir nuevo
conocimiento.
El profesor de Matemáticas es:
Una persona comprometida con su quehacer pedagógico; que emplee estrategias acorde
a los estudiantes, respetando el desarrollo evolutivo y su ritmo de trabajo, pues como lo
plantea Piaget, “la facultad de pensar lógicamente ni es congénita ni está preformada en
el psiquismo humano. El pensamiento lógico es la coronación del desarrollo psíquico y
constituye el término de una construcción activa y de un compromiso con el exterior, los
cuales ocupan toda la infancia”.
Es un facilitador al permitir que el estudiante construya su conocimiento a partir de las
herramientas que brinda el medio y el mismo docente. Debe estar en constante
aprendizaje que permita enriquecer el proceso cognitivo y, con ello, llevar propuestas
llamativas a las aulas.
Debe ser dinámico en la búsqueda de estrategias que facilite un mayor aprendizaje,
motivando a sus estudiantes a formular y resolver problemas relacionados con su entorno
para que puedan ver estructuras matemáticas en cada aspecto de sus vidas, como lo es el
caso de la geometría en la naturaleza, la armonía musical o la complejidad espacial.
El aprendizaje en el área:
El proceso de aprendizaje de las matemáticas es un proceso variado que depende de la
reflexión que se haga sobre la naturaleza de las matemáticas.
Desde esta perspectiva el proceso de aprendizaje es analítico y creativo, de acuerdo al
procedimiento empleado por el docente, quien a su vez es el promotor del aprendizaje
aplicando las situaciones adecuadas para ello.
Se hace referencia a pensar en la matemática como una actividad continua en la que “los
estudiantes participen activamente en el desarrollo de las ideas matemáticas, los
problemas son definidos con menos precisión y donde el aprendizaje se relaciona con la

4. práctica de desarrollar matemáticas. Es decir, el estudiante aprende matemáticas al ser
inmerso en un medio similar al de la gente que hace matemáticas”.
“El estudiante tiene un papel activo, al discutir problemas, proponer ejemplos y
contraejemplos, usar conjeturas, en general, construir el conocimiento matemático”.
Lo empírico y lo racional en el área:
El área puede expresarse como empírico-racional, en forma general, pues hay temáticas
que pueden contar con una introducción empírica; empírica haciendo referencia a esa
parte experimental, con la cual se puede recrear un tema sin mostrar aún su parte formal
y que al final es un ejemplo verídico de aplicación entre lo real y lo netamente
matemático.Esto sería un ejemplo de modelación matemática.
Sin embargo, existe en el área momentos que se tendrían que definir como racionales por
el hecho de no tener la posibilidad de ser modelados adecuadamente; por eso, su
expresión o su enseñanza es formal y no sólo de aplicación a ejercicios.
Medidas de control para evitar posiciones extremas:
Descartes y Spinoza plantean en términos generales que el racionalismo deriva un
conocimiento proveniente de la razón, en donde el conocimiento surge de axiomas,
resultado de un análisis sobre la verdad. El conocimiento desde esta perspectiva se
complementa entonces con la presencia de Dios quien representa todo lo que existe.
Jhon Locke y Hume, por su parte, se refieren al conocimiento como parte de la
experiencia, pues el conocimiento no nace da la nada. Todo lo relacionado con la
sociedad: normas, religión, justicia, surgen como resultado de la experiencia.
Vigotsky, precursor del constructivismo social reconoce que el conocimiento es
consecuencia de la interacción entre el sujeto y el medio.
En el subjetivismo se hace énfasis en el valor de los juicios siempre y cuando sea parte del
mismo sujeto. Él es quien conoce y argumenta desde su puno de vista.
Con base en las anteriores posturas se hace necesario que en el ámbito educativo se haga
una revisión constante del cronograma de actividades planeadas para la clase, de modo
que haya una combinación entre lo empírico, lo racional, lo constructivo y lo subjetivo.
Asimismo se deben reafirmar estas teorías con las diversas competencias argumentativa,
interpretativa y propositiva para garantizar así la eficacia en el aprendizaje, fundamentado
en saber y saber hacer. Las medidas de control para evitar una posición extrema las traza
cada profesor desde su misma área, haciéndose consciente de la importancia que ejerce
en la actualidad la educación por competencia, “ese saber y saber hacer”, que se da

5. aplicando lo empírico y lo racional, con las diversas competencias dentro del proceso de
aprendizaje.
La conciliación entre la experiencia y la razón:
Se hace evidente la conciliación cuando se crean situaciones problemas, actividades
aplicadas a la vida diaria.
Los resultados de la experiencia serían ciegos si no fuera por la luz que aporta la razón.
Estructuras a priori en el área:
A priori significa que son independientes de la experiencia. Son la condición previa a toda
experiencia posible. Esto implica que el espacio y el tiempo no son ni substancias, ni
propiedades reales de las cosas, sino leyes del propio sujeto que pertenecen y expresan su
propia estructura.
Según Kant, la física y las matemáticas están compuestas de juicios sintéticos a priori, es
decir, de juicios en los que se mezclan dos elementos: uno que proviene de la experiencia
y otro que aporta el sujeto. Sin la aportación del sujeto no hay conocimiento científico, y
esa misma aportación es necesaria tanto en el conocimiento sensible como en el
conocimiento intelectual. Sin ella no hay conocimiento auténtico, y, por lo mismo, en el
conocimiento ya no se pone el hombre en contacto con la realidad, con la cosa en sí (a la
que denomina noúmeno), sino con el objeto del conocimiento, con el fenómeno.
Las categorías son estructuras a priori del entendimiento, creaciones espontáneas que
servirán para agrupar y estructurar (conceptualizar) las intuiciones de la sensibilidad como
las categorías del entendimiento. Las primeras, sin estar subsumidas en conceptos, son
intuiciones inconexas y sin sentido; las segundas, sin el material de la sensibilidad, se
quedan vacías y estériles. Sólo la conjunción de unas y otras permite entender el
fenómeno u objeto de conocimiento.
Se puede decir entonces que las verdades en matemáticas son a priori, porque las
verdades matemáticas dependen de las relaciones que existen entre nuestros conceptos
independientemente de la procedencia de éstos. Las verdades de las matemáticas son a
priori porque no dependen de la experiencia del mundo físico. Los conceptos matemáticos
son invenciones, más o menos útiles. De lo contrario, todas las verdades que en ella
incurren dejarían de ser absolutas e infalibles. La matemática se podría ver como una
colección de realidades teóricas con aspectos abstractos e intuitivos, con aplicaciones
directas o no. La matemática no tiene por objeto lo particular, sino aquello que provoca
en el sujeto la abstracción de lo “general”. Cuando hablamos del “orden”, lo “continuo”, lo
“operacional”, lo “organizacional”, no nos referimos sólo a nociones puestas
exclusivamente por el sujeto; es decir, estas corresponden, de una manera particular, a
pedazos de lo real.

6. Pensar matemáticamente:
Es modelar, simbolizar, abstraer y aplicar ideas matemáticas a una amplia gama de
situaciones, gracias a la disponibilidad de herramientas matemáticas propias del
pensamiento que permitan abordarlas.
Pensar matemáticamente es proceso que permite estructura y organizar una estrategia
para lograr describir un fenómeno, solucionar una situación o analizar un objeto.
Para adquirir esta habilidad se pueden desarrollar las siguientes etapas:
1. Plantear la situación problema real.
2. Hacer conjeturas.
3. Formular el problema matemáticamente.
4. Resolver el problema matemático.
5. Interpretar la solución.
6. Verificar el modelo.
7. Reportar, explicar y predecir.
8. Proponer cuestiones características de las matemáticas conociendo las clases de
respuestas (no necesariamente las respuestas concretas ni como obtenerlas).
9. Comprender y manejar el alcance y las limitaciones de un concepto dado.
10. Ampliar el dominio de un concepto abstrayendo algunas de sus propiedades.
11. Generalizar los resultados a clases más amplias de objetos.
12. Distinguir entre diferentes clases de enunciados, afirmaciones matemáticas,
incluyendo sentencias condicionadas, cuantificadores, suposiciones, definiciones,
teoremas, conjeturas, casos, etc.
Pensar matemáticamente es la práctica de habilidades para formar categorías coherentes,
usar procesos de cuantificación y manejo de formas, para construir representaciones
simbólicas del entorno y desarrollar las competencias para resolver problemas cotidianos,
que aunque sean de naturaleza variada, puedan verse bajo un mismo enfoque de
contenidos o metodologías.
Lo aplicable de las matemáticas:
Empirismo: La aplicación de las matemáticas en otras disciplinas involucra el inferir
predicciones de proposiciones matemáticas, luego para resolver problemas prácticos es
necesario hacer verificación de los hechos.
Racionalismo: El conocimiento matemático es un conocimiento predominantemente
conceptual y deductivo. Por ejemplo, en geometría, los conocimientos se derivan de
algunos conceptos y axiomas supremos.

7. Apriorismo: En las matemáticas se pueden encontrar elementos a priori, que son
independientes de la experiencia como la distinción entre el todo y la parte o relaciones
de más grande y más pequeño que le suceden al niño que aún no se ha enfrentado al
conocimiento matemático formal en la escuela o en relación con el entorno en donde se
desenvuelve.
Las posturas que priman en las Matemáticas son:
1. Una postura dogmática, porque existen verdades absolutas válidas para todos y que
pueden ser conocidas. El sujeto puede llegar al conocimiento a partir de la experiencia.
2. Una postura crítica porque en el área se busca que los estudiantes aprehendan la
matemática siguiendo un método riguroso, paso a paso donde se revise el proceso y que
vaya de lo más simple a lo más complejo.
3. Una postura objetiva porque el conocimiento en matemática no depende de lo
subjetivo y a través de procesos inductivos se han llegado a verdades que son válidas para
todos y que deben ser aprendidas así.
4. Una postura pragmática porque la matemática es un conocimiento que tiene aplicación
en la vida (Economía, Física, Administración, etc.).
Las edades de las diferentes posturas en el área:
Racionalismo: En esta postura predomina la razón y los conceptos conceptuales y
deductivos siendo independiente de la experiencia. La fuente de conocimiento es la razón.
Se da a partir de los 8 años.
Empirismo: Es una postura que se opone al racionalismo, su única fuente de conocimiento
es la experiencia, el estudiante es una tabula rasa teniendo percepciones concretas. Se da
en la niñez antes de los 8 años.
Intelectualismo: Es una postura que media entre el racionalismo y el empirismo, su fuente
de conocimiento son la razón y la experiencia, teniendo en cuenta primero lo concreto y
luego se juzga sobre lo aprendido. Se da después de la adolescencia (13 años).
Apriorismo: Su fuente de conocimiento está fundamentada en ideas preconcebidas y
presiden de los hechos y de la experiencia. Es una postura donde no hay contenidos sino
formas de conocimientos y estas formas reciben su contenido de la experiencia. Se da en
la niñez con los conocimientos innatos y en otras edades cuando se hace relación de
conceptos previos en los nuevos aprendizajes.
Lo que puede aprender un estudiante sin el docente:

8. En el proceso de enseñanza de las matemáticas se asume la clase como un espacio de
aprendizaje, donde docentes y estudiantes interactúan para construir y validar
conocimiento, para ejercer la iniciativa y el análisis para aplicar ese conocimiento en
diversas situaciones referidas a las matemáticas, a otra áreas, a contextos particulares o
hipotéticos. En razón de esto, el estudiante tiene la posibilidad en la usencia del docente
de acercarse a conocimientos nuevos en relación con sus estructuras a priori o de
profundizar en los aprendizajes adquiridos con respecto al conocimiento conceptual y
procedimental.
1. Conocimiento conceptual: cercano a la reflexión y se caracteriza por ser conocimiento
teórico, producido por la actividad cognitiva, muy rico en relación entre sus componentes
y conocimientos (saber qué y saber por qué).
2. Conocimiento procedimental: está más cercano a la acción y se relaciona con las
técnicas y las estrategias para representar conceptos y para transformar dichas
representaciones; con las habilidades y destrezas para elaborar, comparar y ejercitar
algoritmos y para argumentar convincentemente.
Lo fenoménico y lo objetual:
Dividimos los objetos en reales e ideales. Llamamos real todo lo que nos es dado en la
experiencia externa o interna o se infiere de ella. Los objetos ideales se presentan, por el
contrario, como irreales, como meramente pensados. Objetos ideales son por ejemplo, los
objetos de la matemática, los números y las figuras geométricas. Las leyes de los números,
las relaciones que existen por ejemplo, entre los lados y los ángulos de un triángulo, son
independientes de nuestro pensamiento subjetivo, en el mismo sentido en que lo son los
objetos reales. A pesar de su irrealidad, le hacen frente como algo en sí determinado y
autónomo.
La matemática en otras áreas:
El conocimiento físico, es el conocimiento de los objetos que están “allá”, observables en
la realidad exterior. La fuente del conocimiento físico está parcialmente en los objetos. La
única forma en que un niño puede descubrir las propiedades físicas de los objetos es
actuando sobre ellos material y mentalmente, y observando cómo éstos actúan sobre sus
acciones.
Un ejemplo del conocimiento lógico-matemático, es saber que hay más bolas blancas en
el mundo que bolas rojas. Mientras que la fuente del conocimiento físico está, al menos
en parte, en los objetos, la fuente del conocimiento lógico-matemático está en el niño. Por
ejemplo, dos bolas, una blanca y una roja, pueden ser consideradas diferentes. En esta
situación, la relación “diferente” no existe ni en la bola blanca ni en la bola roja, ni en
ninguna parte de la realidad exterior. Esta relación existe en la mente de la persona que
relaciona los objetos, y si no los relaciona, la diferencia no existiría para esta persona. Es

9. en este sentido que la fuente del conocimiento lógico-matemático, está dentro de cada
persona. El conocimiento lógico-matemático está construido por la coordinación de las
relaciones (más, igual, diferente, etc.) que tienen su origen en las acciones mentales de la
persona.
Según Piaget, el conocimiento físico no puede ser construido fuera del marco lógico-
matemático y el marco lógico-matemático no puede ser construido si no hay objetos en el
ambiente del niño que este pueda relacionar.
Piaget distinguió un tercer aspecto del conocimiento que puede ser llamado conocimiento
social (convencional). Algunos ejemplos de este conocimiento son: que no hay clases los
sábados ni los domingos, que el 25 de diciembre es navidad, que una bola es llamada
“bola” y que a veces uno estrecha la mano de otra persona. Estas verdades tienen su
fuente en las convenciones que la gente ha elaborado. Porque estas verdades han sido
establecidas por la gente, el niño puede conocerlas únicamente a través de la gente.
El conocimiento social es como el conocimiento físico en la medida en que ambos son
conocimientos de contenido y tienen su fuente parcialmente en la realidad exterior.
“Parcialmente” porque el conocimiento social no se construye directamente de la realidad
exterior sino desde adentro, a través del mismo marco lógico-matemático, en interacción
con el medio ambiente. Sin este marco lógico-matemático, el niño no podría comprender
ninguna convención. Por ejemplo, para comprender que no hay clases el sábado ni el
domingo, tiene que estructurar los eventos en días escolares y días libres.
En resumen, el conocimiento físico y social es, en parte, conocimiento empírico. El
conocimiento lógico-matemático, por otro lado, representa la tradición racionalista de
enfatizar la razón.
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