Evaluacion de determinantes por cofactores y menores.

1. Sistemas de ecuaciones lineales Determinantes 1 Prof. Miguel L. Colón

3. Evaluar el menor de un elemento en una matriz.

4. Evaluar el cofactor de un elemento en una matriz.

5. Evaluar determinantes utilizando menores y cofactores.

6. Aplicar determinantes para hallar algún elemento de una matriz. Prof. Miguel L. Colón 2

7. Determinante de una matriz A cada matriz cuadrada 𝐴 se le asocia un número llamado determinante de 𝐴, que se denota con 𝐴. Definición del determinante de una matriz 2×2 𝐴= 𝑎11𝑎12𝑎21𝑎22 = 𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12 El determinante de una matriz 2×2 es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. 3 Prof. Miguel L. Colón

8. Determinante de una matriz Ejemplo: Si 𝐴=2−14−3 y B=−54−3−2encuentre: 𝐴= 2−1 4−3= − −4 =−2 =−6 4−1 2−3 − −54−3−2 = − =10 𝐵= − −34 −12 −5−2 =22 Nota: El determinante de una matriz 2×2 es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. 4 Prof. Miguel L. Colón

9. Determinante de una matriz Práctica: Si 𝐴=322−4 y B=2−4−35encuentre: 𝐴= 322−4= =−16 − 22 3−4 4 =−12 − 2−4−3 5= =10 =−2 − 12 𝐵= −3−4 25 − Nota: El determinante de una matriz 2×2 es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. 5 Prof. Miguel L. Colón

10. Determinante de una matriz Práctica: Si 𝐴=−32−2𝑥 y su determinante es 𝐴=−8, encuentre 𝑥. Solución: −32−2𝑥 𝐴= El valor del determinante es −8 y se busca el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Luego despeja la variable en la ecuación que resulta al calcular el determinante. =−3𝑥 −4 −8 − −8=−3𝑥+4 −8−4=−3𝑥 𝑥=−12−3 𝑥=4 6 Prof. Miguel L. Colón

11. Menores Definición de menores Sea 𝐴=𝑎𝑖𝑗 una matriz cuadrada de orden 𝑛>1. El menor 𝑀𝑖𝑗 del elemento 𝑎𝑖𝑗 es el determinante de la matriz de orden 𝑛−1 obtenida al eliminar la fila 𝑖 columna 𝑗. Matriz Menor 𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33 𝑎22𝑎23𝑎32𝑎33 𝑀11= 𝑀11=𝑎22∙𝑎33−𝑎32∙𝑎23 7 Prof. Miguel L. Colón

12. Menores Ejemplo: Dado la matriz 𝐴=2−30−212−101 , determine: 𝑀12 Solución: Para hallar el menor del elemento que ocupa la posición fila 1 columna 2 se elimina la fila 1 y la columna 2 de la matriz A. Luego se forma un determinante menor (determinante de dimensión 2𝑥2) su valor es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. 2−30−212−101 =−22−11 𝑀12 𝑀12=(−2)−−2 𝑀12=0 8 Prof. Miguel L. Colón

13. Menores Práctica: Dado la matriz 𝐴=2−30−212−101 , determine: 𝑀23 Solución: Para hallar el menor del elemento que ocupa la posición fila 2 columna 3 se elimina la fila 2 y la columna 3 de la matriz A. Luego se forma un determinante menor (determinante de dimensión 2𝑥2) su valor es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. 2−30−212−101 =2−3−10 𝑀23 𝑀23=(0)−3 𝑀23=−3 9 Prof. Miguel L. Colón

14. Cofactores Definición de cofactores Sea 𝐴=𝑎𝑖𝑗 una matriz cuadrada de orden 𝑛>1. El cofactor 𝐴𝑖𝑗 del elemento 𝑎𝑖𝑗 es 𝐴𝑖𝑗=−1𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗 Cofactor Matriz 1+1 =−1 𝐴11 𝑀11 𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33 𝑎22𝑎23𝑎32𝑎33 𝐴11=−12 𝐴11=1𝑎22∙𝑎33−𝑎32∙𝑎23 10 Prof. Miguel L. Colón

15. Cofactores Ejemplo: Dado la matriz 𝐴=2−30−212−101, determine: 𝐴22 Solución: Para hallar el cofactor del elemento que ocupa la posición fila 2 columna 2 se eleva negativo uno a la potencia que sume la fila 2 y la columna 2 que es cuatro. Luego se multiplica por el menor del elemento que esta en la fila 2 columna 2. Este se obtienen eliminando la fila 2 y la columna 2 de la matriz A y se forma un determinante menor (determinante de dimensión 2𝑥2). Finalmente se calcula su valor. 2−30−212−101 2+2 =−1 𝐴22 𝑀22 20−11 𝐴22=−14 𝐴22=12−0 𝐴22=2 11 11 Prof. Miguel L. Colón

16. Cofactores Práctica: Dado la matriz 𝐴=2−30−212−101, determine: 𝐴21 Solución: Para hallar el cofactor del elemento que ocupa la posición fila 2 columna 1 se eleva negativo uno a la potencia que sume la fila 2 y la columna 1 que es tres. Luego se multiplica por el menor del elemento que esta en la fila 2 columna 1. Este se obtienen eliminando la fila 2 y la columna 1 de la matriz A y se forma un determinante menor (determinante de dimensión 2𝑥2). Finalmente se calcula su valor. 2−30−212−101 2+1 =−1 𝐴21 𝑀21 −3001 𝐴21=−13 𝐴21=−1−3−0 𝐴21=3 12 12 Prof. Miguel L. Colón

17. Determinanteutilizando cofactores Ejemplo: Evaluar el determinante 𝐴=2−30−212−101 Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como producto de los elementos alineados. Hacer las operaciones descritas en el paso anterior 𝐴= 2−30−212−101 𝐴= 2−30−212−101 = + (1) (−3) + (0) 20−11 −22−11 +1 𝐴=−3 −11+2 −12+2 +0 𝐴=−3−1(−2−−2) +11(2−0) +0 (𝐴23) (𝐴22) (𝐴12) =2 =0 +2 +0 𝐴=30 +12 +0 13 Prof. Miguel L. Colón

18. Determinante de una matriz Práctica: Evaluar el determinante 𝐴=2−30−212−101. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como producto de los elementos alineados. Hacer las operaciones descritas en el paso anterior , utilizar la tercera fila 𝐴= 2−30−212−101 = 𝐴= 2−30−212−101 = + (0) (−1) + (1) 2−3−21 −3012 +1 −13+3 +0 𝐴=−1 −13+1 𝐴=−11−6−0+0+11(2−6) (𝐴32) (𝐴33) (𝐴31) 𝐴=−1−6+0+1−4 =2 =6 +0−4 14 Prof. Miguel L. Colón

19. Determinante de una matriz Práctica: Evaluar el determinante 𝐴=23−3−201032. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como producto de los elementos alineados. Hacer las operaciones descritas en el paso anterior 𝐴= 23−3−201032 = 𝐴= 23−3−201032 = + (0) + (−2) (2) 3−332 0132 +−2 −11+2 −11+1 +0 𝐴=2 𝐴=210−3+−2−16−−9+0 (𝐴12) (𝐴11) (𝐴13) 𝐴=2−3+215+0 =24 =−6+30+0 15 Prof. Miguel L. Colón