Modelación experimental de procesos

 Universidad Nacional de Misiones
Ingeniería Electrónica
Control Clásico y Moderno
Informe de Trabajo Práctico N° 2
Modelación Experimental de Procesos
Autores:
HOFF Romina A.
KRUJOSKI Matías G.
VIERA Juan R.
Grupo Nº 4
Profesores Responsables:
Dr. Ing. Fernando Botterón
Ing. Guillermo Fernández
Ing. Gabriel Aguirre
Sr. Claudio Kruberto
Sr. Germán Linder
Ing. Omar Bauernfeind
Oberá, Misiones, 23/04/2014

Control Clásico y Moderno FI - UNaM TP N° 2
HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 3 de 24
1)
En la figura 1.1 se muestra la curva de respuesta al escalón de un proceso
sobreamortiguado de primer orden. Hallar el modelo que represente la dinámica de
este proceso a través de la función de transferencia de primer orden más atraso de
transporte. Utilizar los métodos de Ziegler - Nichols y el de Hägglund.
Figura 1.1: Respuesta al escalón del proceso a modelar
Resolución
La resolución del presente ejercicio es del tipo gráfica; en consecuencia, éste fue
desarrollado en papel durante la clase práctica. Así, las mediciones y valores aquí
consignados fueron tomados sobre la copia impresa del diagrama exhibido en la figura
1.1; por lo tanto, no se garantiza la concordancia de las magnitudes consignadas con el
presente documento impreso.
Para analizar cualquier gráfico en forma precisa se requiere definir una escala entre la
dimensión de la gráfica y la correspondiente magnitud que esta representa. Así,
midiendo con una regla la copia impresa del diagrama dado en la figura 1.1, se definen
la escala de tiempo y magnitud en las ecuaciones 1.1 y 1.2 respectivamente.

𝐸𝑠𝑐𝑡 =
𝑟𝑡
𝑙 𝑟
=
60 𝑠𝑒𝑔
152 𝑚𝑚
=
15
38
𝑠𝑒𝑔
𝑚𝑚
(1.1)
𝐸𝑠𝑐 𝑚𝑔 =
𝑟 𝑚 𝑔
𝑙 𝑚𝑔
=
80
106 𝑚𝑚
=
40
53
1
𝑚𝑚
(1.2)
Donde, rt es el rango máximo del eje de tiempo, en concordancia lr corresponde a la
longitud gráfica medida en la copia impresa del diagrama mostrado en la Figura 1.1. De
manera similar, rmg es el rango máximo de amplitud en el mismo diagrama y se
corresponde con la longitud lmg medida sobre la copia impresa.
En la figura 1.2 se aprecia una representación de los parámetros que se miden sobre la
gráfica para aplicar el método de Ziegler – Nichols en la modelización del proceso.
ϴ
τzn
yf
u(t)
Figura 1.2: Medición de parámetros de Ziegler-Nichols
El atraso de transporte (θ) se mide directamente como el tiempo entre que se aplica la
entrada y se presenta la salida; según la escala de análisis dada en 1.1, este atraso
resulta de la expresión 1.3.
𝜃 = 𝜃 𝑚𝑚 ∙ 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 9 𝑚𝑚 ∙
15
38
𝑠𝑒𝑔
𝑚𝑚
= 3,55 𝑠𝑒𝑔 (1.3)

En tanto que el tiempo de Ziegler-Nichols (τzn) se mide como aquel dado por el corte de
la tangente al punto de inflexión con la magnitud final de la salida; según la expresión
1.4.
𝜏 𝑧𝑛 = 𝜏 𝑧𝑛 𝑚𝑚
∙ 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 17 𝑚𝑚 ∙
15
38
𝑠𝑒𝑔
𝑚𝑚
= 6,71 𝑠𝑒𝑔 (1.4)
Para analizar el valor de la ganancia estática, se miden en el gráfico la magnitud del
escalón de entrada y la magnitud final de la salida; como se expresa en 1.5 y 1.6
respectivamente.
𝑢(𝑡) = 𝑢 𝑚𝑚 ∙ 𝐸𝑠𝑐 𝑚𝑔 = 7 𝑚𝑚 ∙
40
53
1
𝑚𝑚
= 5,28 (1.5)
𝑦𝑓 = 𝑦𝑓 𝑚𝑚
∙ 𝐸𝑠𝑐 𝑚𝑔 = 99 𝑚𝑚 ∙
40
53
1
𝑚𝑚
= 74,72 (1.6)
De este modo, la ganancia estática se obtiene según la expresión 1.7.
𝐾𝑝 =
Δ𝑦
Δ𝑢
=
𝑦𝑓
Δ𝑢
=
74,72
5,28
= 14,15 (1.7)
Cabe recordar que ésta ganancia estática obtenida en 1.7 es la misma para todo el
análisis de éste ejercicio, pues en los otros métodos a aplicar también está definida de
la misma forma.
Con todos los parámetros obtenidos se puede modelar el proceso, según la forma
genérica dada en la expresión 1.8.
𝐺 𝑝(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
𝐾𝑝 𝑒−θs
𝜏 𝑧𝑛 𝑠 + 1
(1.8)
Así, el proceso de la figura 1.1 queda representado según el modelo de Ziegler-Nichols
por la ecuación 1.9.
𝐺 𝑝1(𝑠) =
14,15 ∙ 𝑒−3,55 s
6,71 𝑠 + 1
(1.9)
Para aplicar el método de Hägglund es necesario determinar en qué instante de tiempo
la salida alcanza el 63,2% del valor final; para ello en la ecuación 1.10 y valiéndose de
la magnitud final medida en 1.6 se determina el porcentaje de la salida.
𝑦(𝜏ℎ) = 0,632 ∙ 𝑦𝑓 = 0,632 ∙ 74,72 = 47,22 (1.10)

Valiéndose de la escala de magnitud, en 1.11 se determina el equivalente geométrico
de ese porcentaje de señal, que permite trazarlo sobre el diagrama.
𝑦(𝜏ℎ)| 𝑚𝑚 =
𝑦(𝜏ℎ)| 𝑚𝑔
𝐸𝑠𝑐 𝑚𝑔
=
47,22
40
53
1
𝑚𝑚
= 62,57 𝑚𝑚 (1.11)
En la figura 1.3 se presenta un diagrama que muestra como la magnitud determinada
en 1.11 fue medida sobre el diagrama; para determinar el tiempo de Hägglund según la
ecuación 1.12.
h
yf
u(t)
63,2%
ϴ
τ
Figura 1.3: Medición de parámetros de Hägglund
𝜏ℎ = 𝜏ℎ 𝑚𝑚
∙ 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 13 𝑚𝑚 ∙
15
38
𝑠𝑒𝑔
𝑚𝑚
= 5,13 𝑠𝑒𝑔 (1.12)
Como puede apreciarse en la figura 1.3, el atraso de transporte está definido de igual
modo que en el método de Ziegler-Nichols, por lo tanto su valor es el mismo que en la

ecuación 1.3. Además, la ganancia estática por definición es la misma que en el
método anterior, es así que toma el mismo valor que en la ecuación 1.7.
De esta manera, el proceso modelado según el método de Hägglund tendrá la forma
general dada en 1.13.
𝐺 𝑝(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
𝐾𝑝 𝑒−θs
𝜏ℎ 𝑠 + 1
(1.13)
Reemplazando en dicha forma general los parámetros correspondientes, se obtiene el
modelo según Hägglund del proceso, dado por la ecuación 1.14.
𝐺 𝑝2(𝑠) =
14,15 ∙ 𝑒−3,55 s
5,13 𝑠 + 1
(1.14)
Para evaluar la convergencia de los modelos propuestos con el proceso real debe
generarse la gráfica de comparación; por lo tanto esta tarea se relega al siguiente
ejercicio donde se obtienen otros dos modelos diferentes, y se establece así una
comparación múltiple.
(Resuelto por: Matías Krujoski)
2)
Hallar el modelo dinámico del proceso de la figura 1.1 a través de la función de
transferencia de primer orden más atraso de transporte, utilizando los métodos de dos
puntos de:
a) Smith.
b) Sundaresan - Krishnaswamy.
Resolución
Para la resolución de este ejercicio se recurrió a la misma copia impresa del diagrama
presentado en la figura 1.1; por lo tanto, son válidas las mismas escalas geométricas
definidas en las ecuaciones 1.1 y 1.2.
a) Método de Smith
Éste se basa en utilizar dos puntos sobre la curva de respuesta al escalón del proceso;
por definición éste método considera sus puntos en 28,3% y 63,2% del valor final.
Cabe destacar que uno de los puntos considerados por Smith (63,2%) es coincidente
con el punto que se analizó según Hägglund en el apartado previo; en tanto que son
reutilizables los valores determinados en las ecuaciones 1.10 y 1.11.

El otro punto de Smith (28,3%) se determina según un procedimiento similar, con las
ecuaciones 2.1 y 2.2.
𝑦(𝜏1) = 0,283 ∙ 𝑦𝑓 = 0,283 ∙ 74,72 = 21,14 (2.1)
Valiéndose de la escala de magnitud, en 2.2 se determina el equivalente geométrico de
ese porcentaje de señal, que permite trazarlo sobre el diagrama.
𝑦(𝜏1)| 𝑚𝑚 =
𝑦(𝜏1)| 𝑚𝑔
𝐸𝑠𝑐 𝑚𝑔
=
21,14
40
53
1
𝑚𝑚
= 28,01 𝑚𝑚 (2.2)
En la figura 2.1 se aprecia un esquema de los parámetros a medir según éste método
para poder modelar el proceso.
2
yf
u(t)
63,2%
τ
τ1
28,3%
Figura 2.1: Medición de parámetros de Smith
De las mediciones realizadas sobre la copia impresa se determinan los tiempos que
definen el método de Smith, según las ecuaciones 2.3 y 2.4.

𝜏1 = 𝑡1| 𝑚𝑚 ∙ 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 13,5 𝑚𝑚 ∙
15
38
𝑠𝑒𝑔
𝑚𝑚
= 5,32 𝑠𝑒𝑔 (2.3)
𝜏2 = 𝑡2| 𝑚𝑚 ∙ 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 22 𝑚𝑚 ∙
15
38
𝑠𝑒𝑔
𝑚𝑚
= 8,68 𝑠𝑒𝑔 (2.4)
Así, según el modelo se pueden determinar el atraso de transporte y la constante con
las ecuaciones 2.5 y 2.6 respectivamente.
𝜏 𝑠 = 1,5 ∙ (𝜏2 − 𝜏1) = 1,5 ∙ (8,68 − 5,32) = 5,04 𝑠𝑒𝑔 (2.5)
𝜃𝑠 = 𝜏2 − 𝜏 = 8,68 − 5,04 = 3,64 𝑠𝑒𝑔 (2.6)
De este modo, la descripción del proceso según el método de Smith se rige por la
forma general dada en la ecuación 2.7.
𝐺 𝑝(𝑠) =
𝐾𝑝 𝑒−θs∙s
𝜏 𝑠 ∙ 𝑠 + 1
(2.7)
Sustituyendo los valores calculados para los parámetros del modelo, se tiene la
descripción del proceso según la ecuación 2.8; cabe recordar que la ganancia estática
es la misma que se determinó en la ecuación 1.7.
𝐺 𝑝3(𝑠) =
14,15 ∙ 𝑒−3,64s
5,04 ∙ 𝑠 + 1
(2.8)
b) Método de Sundaresan – Krishnaswamy
Este método es similar al Smith desarrollado previamente, su principal diferencia radica
en los porcentajes de la salida que se escogen para considerar los puntos que definen
el método. Así, Sundaresan – Krishnaswamy trabajan con el 35,3% y 85,3%
respectivamente de la salida en período estable.
En las ecuaciones 2.9 y 2.10 se determina la magnitud correspondiente a los niveles de
señal enunciados.
𝑦( 𝜏1) = 0,353 ∙ 𝑦𝑓 = 0,353 ∙ 74,72 = 26,37 (2.9)
𝑦(𝜏2) = 0,853 ∙ 𝑦𝑓 = 0,853 ∙ 74,72 = 63,74 (2.10)
En la figura 2.2 se muestra un esquema del diagrama que permite hacer las
mediciones para desarrollar éste método.

2
yf
u(t)
85,3%
τ
τ1
35,3%
Figura 2.2: Medición de parámetros de Sundaresan - Krishnaswamy
Valiéndose de la escala geométrica de magnitud dada en la ecuación 1.2, se determina
el equivalente que permite trazar los puntos en la copia impresa del diagrama. Así, con
las ecuaciones 2.11 y 2.12 se obtienen los tiempos que utiliza éste método.
𝜏1 = 𝜏1| 𝑚𝑚 ∙ 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 14,5 𝑚𝑚 ∙
15
38
𝑠𝑒𝑔
𝑚𝑚
= 5,72𝑠𝑒𝑔 (2.11)
𝜏2 = 𝜏2| 𝑚𝑚 ∙ 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 35 𝑚𝑚 ∙
15
38
𝑠𝑒𝑔
𝑚𝑚
= 13,81 𝑠𝑒𝑔 (2.12)
Con los valores determinados gráficamente pueden obtenerse los parámetros del
modelo mediante las ecuaciones 2.13 y 2.14.
𝜏 𝑠𝑘 = 0,67 × (𝜏2 − 𝜏1) = 0,67 ∙ (13,81 − 5,72) = 5,42 𝑠𝑒𝑔 (2.13)
𝜃𝑠𝑘 = 1,3 ∙ 𝜏1 − 0,29 ∙ 𝜏2 = 1,3 ∙ 5,72 − 0,29 ∙ 13,81 = 3,43 𝑠𝑒𝑔 (2.14)
Según éste modelo, el proceso queda descripto por la expresión general dada en 2.15.

𝐺 𝑝(𝑠) =
𝐾𝑝 𝑒−θsk∙s
𝜏 𝑠𝑘 ∙ 𝑠 + 1
(2.15)
Así, sustituyendo los valores encontrados para los parámetros, este proceso queda
descripto por la ecuación 2.16.
𝐺 𝑝4(𝑠) =
14,15 ∙ 𝑒−3,43∙s
5,42 ∙ 𝑠 + 1
(2.16)
En éste modelo, la ganancia estática también coincide con la obtenida mediante la
expresión 1.7.
Como medio de verificación de resultados se recurre al software MATLAB® donde son
cargadas y graficadas cada una de las funciones transferencias obtenidas para el
proceso de figura 1.1. Esto se realiza mediante el script incluido en el box 2.1.
% Programa para el ejercicio 1 y 2 del TP 2 de CCyM
% variable simbólica para FT
s=tf('s');
% Para todos los modelos la ganancia es la misma
kp=14.15;
u=5.28; % el escalón del proceso no es unitario
% Definiendo el Modelo de Ziegler - Nichols
tita1=3.55; %[s]
tau1=6.71; %[s]
gp1=kp*exp((-1)*tita1*s)/(tau1*s+1);
% Definiendo el Modelo de Hägglund
tita2=tita1; % los atrazos de transporte se miden de la misma forma
tau2=5.13; % [s]
% Definiendo el Modelo Smith
tita3=3.64; % [s]
tau3=5.04; % [s]
% Definiendo el Modelo Sundaresan - Krishnaswamy
tita4=3.43; %[s]
tau4=5.42; %[s]
% Graficando los resultados para comparar
step(u*gp1,'-ok',u*gp2,'-*k',u*gp3,'-k',u*gp4,':k'),
legend('Ziegler-Nichols','Hägglund','Smith','Sundaresan-Krishnaswamy'),
xlim([0,60]), ylim([0,80]),
Box 2.1: Script utilizado para comparar los modelos obtenidos

Con la gráfica generada mediante el script presentado previamente se construye la
figura 2.3 para comparar el ajuste que cada uno de éstos ofrece con el proceso
analizado.
Step Response
Time (sec)
Ziegler-Nichols
Hägglund
Smith
Sundaresan-Krishnaswamy
Proceso
Figura 2.3: Comparación de Modelos y Proceso
Conclusiones:
En la figura 2.3 puede apreciarse que el modelo obtenido mediante el método de
Ziegler-Nichols es el que más dista de reproducir al proceso real. En contraparte, los
otros modelos generados para el desarrollo de éste ejercicio muestran una buena
descripción del proceso real; de éste modo se concluye que al encarar un proyecto de
diseño de controlador para este proceso, se debería recurrir al modelo de Hägglund,
Smith o Sundaresan-Krishnaswamy.
(Resuelto por: Matías Krujoski)
3)
La curva de respuesta de la figura 3.1 es la de un sistema de control de
posicionamiento del eje de un servomotor que acciona un automatismo de un
determinado proceso. Este se comporta como un sistema de segundo orden
subamortiguado. Identificar los parámetros de la función de transferencia de segundo

orden más atraso de transporte de este sistema dinámico. Nota: normalizar los
parámetros característicos de la gráfica respecto al valor de la señal de entrada u(t).
pM
pt
rt
( )py t
fy

Figura 3.1: respuesta del sistema de control
Resolución:
En la figura 3.1 se observan distintos parámetros, estos son tr: tiempo de subida. Tp:
tiempo de pico, θ: atraso de transporte. Y(tp): amplitud de pico máximo
Primeramente se adoptan las escalas correspondientes a cada uno de los ejes de la
figura 3.1 en las ecuaciones siguientes se hallan las escalas para en el eje de
posiciones (ecuación 3.1) y para el eje de tiempos (ecuación 3.2)
8
. 0,8
10
amp amp
esc y
cm cm
   
       
(3. 1)
14
. 0,94
14,8
s s
esc t
cm cm
   
       
(3. 2)

Una vez adoptadas las escalas medimos los parámetros mencionados anteriormente, y
aplicando la escala correspondiente se obtienen los siguientes valores.
   0,8 .0,94 0,65r
s
t cm s
cm
 
   
(3. 3)
   1,2 .0,94 1,128p
s
t cm s
cm
 
   
(3. 4)
   1,7 .0,94 1,598
s
cm s
cm

 
   
(3. 5)
   ( ) 8,9 .0,8 7,12p
amp
y t cm amp
cm
 
   
(3. 6)
Normalizando el valor de y(tp) resulta
   ( ) ( )/5 7,12 /5 1,424n p py t y t amp amp   (3. 7)
Luego como la respuesta al escalón, es la de un sistema de segundo orden, se tiene
que, la función transferencia general para estos sistemas es la mostrada en la ecuación
3.4
2
2 2
( )
2
sn
n n
G s e
s s

 


 
(3. 8)
Donde
2 2 2 2
ln( ( ) 1) ln(1,424 1)
0,263
ln( ( ) 1) ln(1,424 1)
n p
pn
y t
y t

 
   
  
   
(3. 9)
Luego tenemos que:
2
1 0,96b    (3. 10)
Con el valor de tp y con el de b obtenido en la ecuación anterior calculamos el valor de
ωn
 
1
1
2,9
. 1,128.0,96.
p n
pn
t s
bt sb s
  




         
(3. 11)
Reemplazando estos valores en la función de transferencia general se tiene que:

2
1,59 1,59
2 2 2
2,9 8,41
( )
2.0,26.2,9 2,9 1,5 8,41
s s
G s e e
s s s s
 
 
   
(3. 12)
En la ecuación 3.8 vemos que la función transferencia ésta afectada por una
exponencial, esta representa el atraso de transporte del sistema
La función de transferencia obtenida, presenta la respuesta al escalón expuesta en la
figura 3.3, obtenida mediante el programa de simulación Matlab ®
clc
close all
clear all
s=tf('s')
t=0:0.001:14;
r=2.5+2.5*sign(t-2);
wn=2.9;
chi=0.263;
Gp=(wn^2*exp(-1.59*s))/(s^2+2*chi*wn*s+wn^2)
lsim(Gp,r,t)
Figura 3.2: script utilizado en el programa de simulación MATLAB ® para la obtención
de la figura 3.3
Figura 3.3: respuesta de la función transferencia del sistema
Respuesta al escalón
Tiempo (s)
Amplitud
0 2 4 6 8 10 12 14
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
System: Gp
Peak amplitude: 7.12
At time (sec): 4.71

En la figura 3.3 se observa la respuesta al escalón de la función de transferencia de un
sistema dinámico. Esta función transferencia se hallo por el método de aproximación,
de acuerdo a la forma de la respuesta del sistema físico real.
A fin de realizar una comparación entre las figuras 3.1 y 3.3, se las superponen en la
figura 3.4.
Tiempo (s)
Amplitud
0 2 4 6 8 10 12 14
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Respuesta al
escalón
Respuesta del
sistema de
control
Figura 3.4: respuesta al escalón Vs respuesta del sistema de control
En la figura 3.4 vemos que la respuesta al escalón posee un tiempo de subida
prácticamente igual al del modelo real. Pero luego la respuesta aproximada se aleja del
valor real, mientras perduran las oscilaciones. Esto se atribuye a que el modelo
aproximado mediante la respuesta al escalón, utiliza para aproximar un único punto
que es (y(tp), tp). Pero en régimen permanente no presenta error.
Conclusiones:
Como la respuesta al escalón del sistema real y la respuesta obtenida con la función de
transferencia tienen formas similares y los tiempos no difieren en manera significativa,
se puede decir que la función de transferencia proporcionada por el método de
aproximación, describe al sistema dinámico real analizado.

Además es de destacar que este método resulta sencillo de implementar, en cuanto a
cálculos matemáticos y mediciones del sistema real (dado que se necesita conocer un
punto del sistema real). Así mismo, proporciona resultados precisos y confiables. Por lo
tanto, es un método óptimo para caracterizar un sistema a partir de su respuesta al
escalón.
(Resuelto por: Hoff Romina)
4)
Dados los gráficos de magnitud y fase de la respuesta en frecuencia de un dado
proceso, identificar la función de transferencia del mismo a partir de la información
de los diagramas de Bode de las figuras 4.1 y 4.2
Figura 4.1: Diagrama de magnitud.
Figura 4.2: Diagrama de fase

La curva de magnitud de la respuesta en frecuencia de la Figura 4.1 no presenta
inclinación inicial en las bajas frecuencias, lo que representa un término constante igual
a la ganancia estática, en este caso K = 1. La pendiente en las altas frecuencias es de
-40dB/década y además ésta respuesta presenta un pico de resonancia en la
frecuencia de 4,8 rad/seg (figura 4.3) lo que indica la presencia de un par de polos
complejos conjugados con parte real negativa. El valor de magnitud en decibeles del
pico de resonancia, representado en la gráfica, para hallar este valor se utilizo una
escala que divide diez dB en diez partes y es de aproximadamente 7,5 dB, valores que
se miden directamente del grafico presentado en la figura 4.3, a partir del cual es
posible conocer cuánto vale el factor de amortiguamiento relativo ξ. Este factor de
amortiguamiento, el que se puede encontrar analíticamente con la fórmula 4.1A,
resultando igual a 0,2. La expresión en régimen permanente sinusoidal de un sistema
con un par de polos complejos conjugados, puede escribirse como se presenta en la
formula 4.1B.
𝜉 =
1
2𝑒 𝐴/20
= 0,2 4.1A
𝐺(𝑗𝜔) =
𝐾
1 + 𝑗
2𝜉
𝜔 𝑛
− (
𝜔
𝜔 𝑛
)
2 4.1B
Figura 4.3: Grafico utilizado para acentuar los valores característicos del problema.

Reemplazando valores en la ecuación 4.1B tenemos
𝐺(𝑗𝜔) =
1
1 + 𝑗
2 0,2
4,8
𝜔 − (
𝜔
4,8
)
2 4.2
Multiplicando y dividiendo por la frecuencia de corte y reemplazando jω por s en la
ecuación 4.2 se tiene el resultado que se muestra en la ecuación 4.3
𝐺(𝑠) =
23,04
23,04 + 1,92𝑠 + 𝑠2
4.3
Con estos datos se simula en Matlab® con el código que se muestra en la tabla 4.1 y
se obtiene la figura 4.5
Figura 4.5: Respuesta de la simulación con los valores calculados

clc %Limpia la pantalla
clear all %Borra todas las variables
close all %Cierra todas las ventanas abiertas
num=[0 0 23.04]; %Define numerador
den=[1 1.92 23.04]; %Define denominador
y=tf (num,den) %crea la función de transferencia
bode(y,'.') %dibuja el diagrama de BODE
grid %Dibuja una grilla
Tabla 4.1: Código de matlab utilizado para obtener la figura 4.5
Conclusiones:
Como puede observarse en la figura 4.5 el gráfico de punteado cumple con las
especificaciones de sobreimpulso y que es un polo doble complejo conjugado ya que la
magnitud decrece en un orden de -40 dB/dec y el ángulo decrece de cero a -180º
característica de este tipo de singularidad, se lo comprara directamente con el original
(línea continua).
(Resuelto por: Viera Juan)
5)
Las medidas obtenidas del ensayo de respuesta en frecuencia de un motor de CC con
excitación independiente alimentado por un servoamplificador, son las mostradas en la
tabla 5.1. La variable v1 es la tensión de entrada al servoamplificador y la variable v2
es la tensión entregada por un tacogenerador, la cual tiene una relación proporcional
directa con la velocidad del eje del servomotor. Graficar las curvas de respuesta en
frecuencia de magnitud y de fase a partir de los datos y estimar la función de
transferencia del proceso.

Tabla Nº5.1: Valores obtenidos en laboratorio.
Los gráficos de módulo y fase que se obtienen en función de la frecuencia, trazadas en
base a los datos experimentales son los que se muestran en las figuras 5.1 y 5.2
respectivamente.
Figura 5.1: Gráfico obtenido de los resultados de laboratorio.

Figura 5.2: Gráfico obtenido de los resultados de laboratorio.
Para la realización del modelo estimado procedemos a analizar los gráficos de módulo
y fase de manera conjunta, primero observamos el gráfico del módulo obtenido con
datos experimentales, podemos apreciar la existencia de un polo en 𝜔 = 0,9, una
década mas adelante podemos observar que el gráfico desciende unos veinte dB,
hasta este momento podemos decir que hay un polo simple en 𝜔 = 0,9 , ahora
analizando el gráfico de fase, podemos asegurar que hay un polo simple en 𝜔 = 1 ya
que en esta frecuencia el defasaje que existe es de -90º, que corresponde a este tipo
de singularidad.
La ecuación que corresponde con este tipo de singularidad es la que se ve en la
fórmula 5.1
𝐹(𝑗𝜔) =
𝑘
(1 +
𝑗𝜔
𝜔0
)
5.1

Siendo k el factor de escala que se calcula según la ecuación 5.2
20 log(𝑘) = 7 5.2
Por lo que la ecuación 𝐹(𝑗𝜔) queda:
𝐹(𝑗𝜔) =
2,238
(1 +
𝑗𝜔
0.9
)
5.3
Cambiando 𝑗𝜔 por s y multiplicando y dividiendo por 0,9 el resultado de la ecuación 5.3
𝐹(𝑠) =
2,23/0,9
(0,9 + 𝑠)
5.3
Como resultado tenemos la figura 5.3
Figura 5.3: Resultado de la simulación comparado con los datos de laboratorio.

Conclusiones:
Aquí podemos corroborar que la ecuación 5.3 representa al sistema del cual provienen
los datos
(Resuelto por: Viera Juan)

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