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Identidades trigonometricas
- 1. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 1. ESTANDARES Modelar situaciones de variaciones de variación periódicas con funciones trigonométricas. 2. LOGROS 2.1. Deducir las identidades trigonométricas fundamentales 2.2. Demostrar identidades trigonométricas 3. ¿Para que sirven las identidades trigonométricas?. Las identidades trigonométricas sirven para desarrollar el pensamiento deductivo de los estudiantes. En efecto, en proceso de demostración se hace necesario de partir de las identidades fundamentales y mediante una serie de procedimientos algebraicos como sustituciones, operaciones con fracciones algebraicas, multiplicaciones, factorizaciones y simplificaciones, se debe llegar a una conclusión final. CONCEPTOS PREVIOS Los estudiantes deben de manejar: Explicar y comprender el concepto de igualdad Conocer las identidades básicas Procedimientos algebraicos como operaciones básicas de fracciones algebraicas productos notables, factorización
- 2. DEFINICION DE IDENTIDAD TRIGONOMETRICAS Es una relación que contiene funciones trigonométricas y que es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas estas funciones. Ejemplos: 1. 1cossec =× xx 2. 1cos22 =+ xxsen 3. 1csctancos =×× xxx IDENTIDADES TRIGONOMETRICA FUNDAMENTALES IDENTIDADES POTAGORICAS Para deducir estas identidades, se debe tener en cuenta el círculo trigonométrico cuyo radio es igual a la unidad; las líneas trigonométricas y el Teorema de Pitágoras ( )222 bac += xcos xSen 1=r x
- 4. Por Pitágoras en cada un de las figuras podemos obtener: 1. 1cos22 =+ xxSen 2. xtagxSec 22 1+= 3. xxCsc 22 cot1+= IDENTIDADES DE COCIENTE 4. xCos xSen xTag = 5. xCos xSen xCot = IDENTIDADES RECIPROCAS 6. xTag xCot 1 = 7. xCos xSec 1 = 8. xSen xCsc 1 =
- 5. FUNCIONES PARES E IMPARES 9. ( ) xSenxSen −=− 10. ( ) xCosxCos −=− 2. PASOS PARA DEMOSTRAR IDENTIDADES 1. Se debe partir del lado más complejo y transformarse en el lado más sencillo. 2. Sustituir las funciones: tangente, cotangente, secante y cosecante en función de seno y coseno. 3. Realizar las operaciones algebraicas. 4. Tienen como objetivo, el otro lado de la identidad, para hacer las sustituciones necesarias para llegar a este lado. 3. Ejemplos: Verificar las siguientes identidades 1. 1=×× xSenxSecxCot
- 6. Solución: ( )xsen xxsen x xSenxSecxCot =×× csc 1cos xSen= 2. xCscxCotxSenxCsc ×=− Solución: xSen xSen xSenxCsc −=− 1 xSen xSen2 1− = xSen xCos2 = ( )xCos xSen xCsc = xCosxCot ×=
- 7. 3. xxsenxx seccos.tan =+ Solución ( ) xsenx x senx xsenxx cos cos cos.tan + =+ x x Sen cos cos 2 += x xCosxSen cos 22 + = xcos 1 = xsec= 4. ( ) xx tantan −=− Solución ( ) ( ) ( )x xsen x − − =− cos tan x senx cos − = tagx−=
- 8. 5. x x x senx x sec2 cos1 cos 1 cos = + + − Solución ( ) ( ) ( )( )senxsenx senxxsenxx senx x senx x +− −++ = + + − 11 1cos1cos 1 cos 1 cos = xSen xsenxxxsenxx 2 1 coscoscoscos − −++ xCos x 2 cos2 = xcos 1 2= xsec2= 6. xCosxSenxCosxSen 2244 −=− Solución ( )( )xCosxSenxCosxSenxCosxSen 222244 −+=− xCosxSen 22 −=
- 9. 7. xCosxSen xCsc xTanxSec 22 22 −= − Solución Senx xCos xSen xCos xCsc xTanxSec 1 1 2 2 222 − = − Senx xCos xSen 1 1 2 2 − = Senx xCos xCos 1 2 2 = Senx 1 1 = Senx=
- 10. 8. ( ) xCosxSenxCosxSen 21 2 +=+ Solución ( ) xCosxCosxSenxSenxCosxSen 222 2 ++=+ ( ) CosxSenxxCosxSen 222 ++= CosxSenx21+= 9. xCotxCosxSecCscxCosxxTan +=+ 2 Solución +=+ xSen xCos xCos xSec CscxCosxxTan 1 22 += xSen xCos xCos xSen 2 CosxSenx xCosxSen 22 2+ = ( ) xCosxSen xCosxCosxSen 222 ++ =
- 11. xCosxSen xCos2 1+ = xCosxSen xCos CosxxSen 2 1 += xSen xCos xCosCosxSenx + = 11 xCotxSecxCos += 10. xSec xSen xCos xTan = + + 1 Solución xSen xCos xCos xSen xSen xCos xTan + += + + 11 ( ) ( )xSenxCos xCosxCosxSenxSen + +++ = 1 .1 ( ) ( )xSenxCos xCosxsensenx + ++ = 1 22 ( ) ( )xSenxCos xsen + + = 1 1
- 12. xCos 1 = xSec= TALLER Demostrar las siguientes identidades 1. 1. =xSecxCos 2. 1. =xCscxSen 3. ( )( ) xSenxCosxCos 2 11 =−+ 4. xCsc xCos xSen = −1 5. xCscxSen xSen xCos =+ 6. xCosxCosxTan 222 1−= 7. xCos xTanxCot xCsc = +
- 13. 8. xSen xCos xTanxSec − =+ 1 9. xCos xSen xSen += + 1 1 10. xSen xCosc xTanxSen = − 22 11. 1 1 =+ + xSec xCos xCos xSen 12. xTan xSec xCos xCosc xCos 2 1 = − + 13. 1 1 1 1 + − = + − xSec xSec xCos xCos 14. 1 11 22 =+ xSecxCosc 15. xCos xCos xSen xCot = + + 1 SOLUCION
- 14. 1. 1. =xSecxCos ( ) 1 1 ..// = = Cosx CosxSecxxCosD 2. 1=xCosxSen 1 1 // = = Senx SenxCosxxSenD 3. ( )( ) xSenxCosxCos 2 11 =−+ ( )( ) xSenxCosCosxCosxD 22 111.// =−=−+ 4. xCosc xCos xSen = − 2 1 xCsc xSenxSen Senx xCos xSen D === − 1 1 .// 22 5. xCscxSen xSen xCos =+ 2
- 15. xCsc xSenxSen xSenxCos xSen xSen xCos D == + =+ 1 .// 222 6. xCosxCosxTan 222 1−= ( ) xCosxSenCos xCos xSen xCosxTanD 222 2 2 22 1// −== = 7. xCos xxCot xCos = + tan xCos xSen xSen xCos xSen xTanxCot Cscx D + = + 1 .// xCosxSen xCosxSen xSen 22 1 + =
- 16. xCosxSen xSen 1 1 = xSen xCosxSen = xCos= 8. xSen xCos xTanxSec − =+ 1 xCos xSen Cosx xTanxSecD +=+ 1 .// xCos xSen+ = 1 ( )( ) ( )xSenxCos xSenxSen − −+ = 1 11 ( )xSenxCos xSen − − = 1 1 2 ( )xSenxCos xCos − = 1 2
- 17. xSen xCos − = 1 9. xCsc xSen xSen += + 1 1 D// xSen xSen xSenXSen xSen += + 11 1+= xCsc 10. xSen xCsc xTanxSen = − 22 D// xSen xCos xSen xCos xCos xTanxSec 1 1 2 2 222 − = − xSen xCos xSen 1 1 2 2 − =
- 18. xSen xCos xCos 1 2 2 = xSen 1 1 = xSen= 11. 1=+ xSec xCos xCsc xSen D// xCos xCos xSen xSen xSec xCos xCsc xSen 11 +=+ xCosxSen 22 += 1= 12. xTan xCsc xCos xCsc xCos 2 11 = − + + D// 1 1 1 111 − + + = − + + xSen xCos xSen xCos xCsc xCos xCsc xCos
- 19. xSen xSen xCos xSen xSen xCos − + + = 11 xSen xCosxSen xSen xCosxSen − + + = 11 ( ) ( ) ( )( )SenxSenx xSenxCosxSenxSenxxCosSen −+ ++− = 12 11 xCos xCosxSen 2 2 =