Vectores Tangencial, Normal. Longitud de Arco Curvatura

2. Cálculo Multivariable
Marcelo Fernando Valdiviezo C.
Carrera de Telecomunicaciones
Octubre - 2020

3. UNIDAD 2: DIFERENCIACIÓN
VECTORIAL
TEMA: LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA.

4. LONGITUD DE ARCO
La longitud de una curva plana suave C dada por las ecuaciones paramétricas
   ,x x t y y y t a t b    es
   
2 2
' '
b
a
s x t y t dt       
En forma vectorial, donde C está dada por , se puede
expresar esta ecuación de la longitud de arco como
     t x t y t r i j
 '
b
a
s t dt  r

5. LONGITUD DE ARCO
LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO

6. EJEMPLO 1: HALLAR LA LONGITUD DE
ARCO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO
Hallar la longitud de arco de la curva dada por
 
3
22
4 1
, 0 2
3 2
t t t t t    r i j k
     
3
22
4 1
, ,
3 2
x t t y t t z t t  
Función vectorial
Ecuaciones Paramétricas
     
1
2
' 1, ' 2 , 'x t y t t z t t  
         
2 2 2212 2 2 2 2 22
0 0 0
' ' ' 1 2 1 4s x t y t z t dt t t dt t t dt                        

7. EJEMPLO 1: HALLAR LA LONGITUD DE
ARCO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO
         
2 2 2212 2 2 2 2 22
0 0 0
' ' ' 1 2 1 4s x t y t z t dt t t dt t t dt                        
 
2 2 2 2
22 2 2
0 0 0 0
3 34 1 4 4 4 2 31 3s t t dt t t dt t t dt t dt              
         
22
2 2 2
00
1
2 2 2 3 3ln 2 23 3
2
s t dt t t t t
                 

3 3
2 13 ln 4 13 1 ln3 4.816
2 2
s      

8. PARÁMETRO LONGITUD DE ARCO
FUNCIÓN LONGITUD DE ARCO
 
 
'
'
ds
t
dt
ds t dt


r
r

9. EJEMPLO 2: HALLAR LA FUNCIÓN
LONGITUD DE ARCO PARA UNA RECTA
Hallar la función longitud de arco s(t) para el segmento de recta dado
por y expresar r como función del parámetro
s
   3 3 4 , 0 1t t t t    r i j
   3 3 4t t t  r i j
 
   
2 2
' 3 4
' 3 4 5
t
t
  
   
r i j
r
   
 
 
0
0
'
5
5
t
t
s t t du
s t du
s t t





r
5
5
s t
s
t


 
3 4
3 , 0 5
5 5
s s s s
 
     
 
r i j

10. PARÁMETRO LONGITUD DE ARCO
TEOREMA: PARÁMETRO LONGITUD DE ARCO

11. CURVATURA
DEFINICIÓN DE CURVATURA

12. EJEMPLO 3: HALLAR LA CURVATURA
DE UN CÍRCULO
Mostrar que la curvatura de un círculo de radio r es K = 1/r
  Cos Sinr r   r i j
s r Longitud de un arco
circular
  Cos Sin
s s
s r r
r r
 r i j Longitud de arco s en el
parámetro
 ' Sin Cos
s s
s
r r
  r i j
 ' 1s r
 
 
 
'
Sin Cos
'
s s s
s
r rs
   
r
T i j
r
 
1 1 1
' Cos Sin
s s
K s
r r r r r
    T i j

13. CURVATURA
FÓRMULAS PARA LA CURVATURA

14. EJEMPLO 4: HALLAR LA CURVATURA
DE UNA CURVA EN EL ESPACIO
Hallar la curvatura de la curva definida por   2 31
2
3
t t t t  r i j k
 
 
'
'
t
K
t

T
r
 
 
 
2
2
' 2 2
2'
s t t
s
ts
 
 

r i j k
T
r
  2
' 2 2t t t  r i j k
  2 4 2
' 4 4 2t t t t    r
 
 
 
     
 
2 2
22
2 2 2 2 2 2'
'
' 2
t t t t ts
s
s t
    
 

j k i j kr
T
r
 
 
 
2
22
4 4 2 4
'
2
t t t
s
t
   


i j k
T

15. EJEMPLO 4: HALLAR LA CURVATURA
DE UNA CURVA EN EL ESPACIO
Hallar la curvatura de la curva definida por   2 31
2
3
t t t t  r i j k
  2 4 2
' 4 4 2t t t t    r 
 
2 2 4 2
22
16 16 16 4 16
'
2
t t t t
s
t
   


T
 
 
 
2
2 22
2 2 2
'
22
t
s
tt

 

T
 
   
22
' 2
' 2
t
K
t t
 

T
r

16. CURVATURA
CURVATURA EN COORDENADAS RECTANGULARES

17. CURVATURA
ACELERACIÓN, RAPIDEZ Y CURVATURA

18. PREGUNTAS