1. Universidad De Guayaquil
Facultad de Ingeniería Industrial
Proyecto de Aula de
Matemática
TEMA:
Teoria de lós Conjuntos
INTEGRANTES
Saúl Coloma
Eddy Melgar
Gustavo Ortega
Adrian Mosquera
DOCENTE:
Ing. Johanna Galarza Alay
CARRERA:
Licenciatura en Sistemas de la Información
2. Índice
1.- Introducción
1.1 objetivos generales
1.2 objetivos específicos
2.- Lógica proposicional de los conjuntos
3.- Números naturales principio de inducción
4.- Noción Intuitiva de conjuntos
5.- Operaciones entre Conjuntos
6.- DIAGRAMAS DE VENN
7.- Relación entre la Teoría de Conjuntos y la
Lógica Proposicional
8.- Proposiciones con Cuantificadores
9.- Conjuntos finitos: Combinatoria
10.- Conclusión
Anexos
3. 1.- Introducción
Este proyecto se enfoca en la teoría de los conjuntos
de manera sencilla y explicita, como también sus
funciones y representación, proporcionándonos una
visión clara de los conjuntos.
Es de singular importancia en la ciencia matemática y
objeto de estudio de una de sus disciplinas más
recientes, está presente aunque en forma informal,
desde los primeros años de formación del hombre.
Desde el momento que el ser humano tomó entre sus
manos un puñado de piedras u observó un grupo de
animales, tomó conocimiento del "conjunto". Sin
embargo, por tratarse de conceptos matemáticos
debemos fijar con exactitud el significado de cada
término para no dar lugar a contradicciones o
interpretaciones erróneas.
1.1 Objetivos generales
Conseguir que el futuro los estudiantes apliquen
los conocimientos adquiridos mediante una
breve pero clara exposición de ejercicios varios,
estudiados en ele presente periodo del curso de
nivelación
1.2 Objetivos específicos
Suprimir algunos mitos, como que las
matemáticas son complicadas.
Lograr que el estudiante sienta “amor” por las
matemáticas
4. 2.- Lógica proposicional
Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda
asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).
Dada una proposición p, se define la negación de p como la
proposición p' que es verdadera cuando p es falsa
y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "n o p".
A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar
diversas operaciones lógicas para construir
nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de
verdad o falsedad en función de los valores de
las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de
las tablas de verdad de dichas operaciones.
Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:
A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre
dos proposiciones p, q y sus tablas de verdad:
Conjunción: Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son
verdaderas, y falsa en cualquier otro caso.
Se escribe p q, y se lee "p y q".
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
p p'
1 0
0 1
5. Ejemplo:
p =” El numero 4 es par”
q =”Siempre el residuo de los números pares es 2 ″
Entonces…
p^q: “El numero 4 es par y Siempre el residuo de
los números pares es 2″
p =” El numero mas grande es el 34”
q =”El triangulo tiene 3 lados″
Entonces…
p^q: “El numero mas grande es el 34 y El triangulo tiene 3
lados”
Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos
una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe
p q, y se lee "p o q".
p q p q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Ejemplos:
p =” El numero 2 es par”
q =” la suma de 2 + 2 es 4″
6. Entonces…
Pvq: “El numero 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4″
p =” La raíz cuadrada del 4 es 2”
q =” El numero 3 es par″
Entonces…
Pvq: “La raíz cuadrada del 4 es 2 o el numero 3 es par”
Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando
una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro
caso. Se escribe p q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy
poco.
p q p q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando
la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es
falsa. Se escribe p q, y se lee "si p entonces q".
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
7. Ejemplos:
p: “llueve”
q: “hay nubes”
p→q: “si llueve entonces hay nubes”
p: “Hoy es miércoles”
q: “Mañana será jueves”
p→q: “Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves”
Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q
tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe
p q, y se lee "si y sólo si p entonces q".
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Ejemplo:
p: “10 es un número impar”
q: “6 es un número primo”
p↔q: “10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo”
p: “3 + 2 = 7”
q: “4 + 4 = 8”
p↔q: “3 + 2 = 7 si y solo si 4 + 4 = 8″
8. Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es
siempre 1 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p p'.
Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad
es siempre 0 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p p'.
Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún
valor de verdad; suelen estar relacionadas con
incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p="la proposición p
es falsa".
9. 3.- Números naturales: principio de
inducción
Admitimos como intuitivo el concepto de número natural; así,
podemos enumerar los números naturales en orden creciente:
N = {1, 2, 3, 4,5,...}
Cuando se quiere demostrar que una proposición relativa a números
naturales es cierta, se necesita el Principio de Inducción:
"Sea S el conjunto de números naturales para los que la
proposición p(n) es cierta; supongamos que
m S
Y que
n S n+1 S
Entonces S = {m, m+1, m+2,...}"
(Es decir, la propiedad se verifica para todo número natural a partir
de m; normalmente se usa con m = 1).
Algunas veces, cuando se quiere demostrar que la proposición es
cierta para n+1, es necesario usar que la proposición
se verifica para todo k < n+1; en ese caso se utiliza el Principio de
Inducción completa:
"Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición
p(n) es cierta; supongamos que”
m S
y que
m,m+1, ... ,n S n+1 S
Entonces S = {m, m+1, m+2,...}"
10. 4.- NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y
diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de
pertenencia a A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.
Ejemplos de conjuntos:
o : el conjunto vacío, que carece de elementos.
o N: el conjunto de los números naturales.
o Z: el conjunto de los números enteros.
o Q: el conjunto de los números racionales.
o R: el conjunto de los números reales.
o C: el conjunto de los números complejos.
Se puede definir un conjunto:
o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los
caracteriza.
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si
se define por extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por
ejemplo:
o A := {1,2,3, ... ,n}
o B := {p Z | p es par}
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de
B o que A es una parte de B),
y se denota A B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir,
a A a B.
11. Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si
simultáneamente A B y B A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la
misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que A y A A;
B A es un subconjunto propio de A si A y B A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se
llama partes de A, y se denota (A).
Entonces, la relación B A es equivalente a decir
B (A). Ejemplos:
Si A = {a, b} entonces (A) = {, {a}, {b}, A}.
Si a A entonces {a} (A).
Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que
son partes de uno dado U,
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.
5.- OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A B:=
{a A | a B}.
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto
A B:= (A B) A
Si A (U), a la diferencia U A se le llama complementario de
A respecto de U,
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se
verifica:
o ' = U .
o U ' = .
o (A')' = A .
o A B B' A’.
12. o Si A = { x U | p(x) es una proposición verdadera} entonces
A' = { x U | p(x) es una proposición falsa}.
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por
objetos que son elementos de A o de B,
es decir: A B := { x | x A x B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado
por objetos que son elementos de A y de B,
es decir: A B := {x | x A x B}.
6.- DIAGRAMAS DE VENN
Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante
"diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos.
Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar
gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.
COMPLEMENTO: A B
Ejemplo:
16. DIFERENCIA SIMETRICA: A B
Ejemplo:
7.- RELACION ENTRE LA TEORIA DE
CONJUNTOS Y LA LOGICA
PROPOSICIONAL
Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la
Lógica Proposicional.
Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A, B
... los conjuntos y por las correspondientes minúsculas a,b ... sus
propiedades características (es decir, la proposición lógica que
caracteriza a los elementos de cada conjunto); entonces se tiene la
siguiente correspondencia:
17. conjuntos A = B A B A B A' A B A B
proposiciones a a b a b a' a b' a b
Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el
conjunto universal con una tautología.
Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos
se pueden reescribir en términos de lógica
proposicional y viceversa; a modo de ejemplo:
A ( A B ) = A a ( b c ) a
A ( B C ) = ( A B ) (
A C )
a ( b c ) ( a b ) (
a c )
( A B )' = A' B' ( a b )' a' b'
8.- PROPOSICIONES CON
CUANTIFICADORES
Los símbolos (cuantificador universal) y (cuantificador
existencial) se utilizan en Matemáticas para
enunciar proposiciones lógicas relativas a objetos matemáticos.
Sea A un conjunto y p(x) una proposición o propiedad que hace
referencia a un elemento x.
(1) Cuantificador universal: La expresión
x A p(x)
se lee "para todo x que pertenece a A se verifica p(x)", representa la
proposición
{ x A : p(x) } = A
(2) Cuantificador existencial: La expresión
18. x A | p(x)
se lee "existe x que pertenece a A tal que p(x)", representa la
proposición
{ x A : p(x) }
La negación de cualquiera de las dos proposiciones anteriores se
realiza negando la proposición p(x)
y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador
existencial, o viceversa.
Así, la negación de la x A x A |
p(x)' ", mientras que
x x A p(x)' "
9.- Conjuntos finitos: Combinatoria
La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que se dedica al
estudio de los conjuntos finitos.
Puesto que la propiedad principal de estos conjuntos es que se puede
representar su número de elementos
mediante un número natural (llamado cardinal de dicho conjunto),
la tarea básica de la Combinatoria es
precisamente el cálculo del cardinal de dichos conjuntos.
Para dicho cálculo se necesita definir los llamados números
combinatorios:
(1) Números factoriales: se define n! mediante la ley de recurrencia
n! = n · (n-1)!
Y la condición inicial 0! := 1. De forma iterativa, se tiene
n! = n · (n-1) · (n-2) ·... · 3 · 2 · 1
n! es el número de permutaciones de n elementos, es decir, es el
número total de formas de ordenar n elementos de todas las formas
19. distintas posibles.
(2) Coeficientes binomiales: se definen por la fórmula
El número "n sobre k" es el número de combinaciones de n
elementos tomados de k en k, es decir, el número de subconjuntos
distintos de k elementos que tiene un conjunto con n elementos.
Los coeficientes binomiales tienen dos propiedades básicas:
(a)
(b)
Como aplicación de los números combinatorios y del Binomio de
Newton, podemos contar el número total de subconjuntos que tiene
un conjunto A con n elementos, es decir, el cardinal de partes de A;
para ello, notemos que el número de tales subconjuntos se obtiene
sumando el número de subconjuntos de 0 elementos más los de 1
elemento, más los de 2 elementos, y así hasta los de n elementos, es
decir:
20. Pero esta cantidad corresponde a desarrollar mediante el binomio de
Newton la expresión
(1+1)n
= 2n
Así pues se obtiene que # (A) = 2n
si # A = n.
10.- Conclusión:
La conclusión es que un conjunto es la agrupación de elementos
considerados como objetos, ya que los objetos pueden ser cualquier
cosa como personas, números, frutas, letras, figuras, etc. y que cada
uno de esos objetos son miembros que forman un conjunto.
