Permutación Combinación

1. Sección 4.3
Permutación
Tomado de Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones. Rosen
Esteban Andrés Díaz Mina

2. Permutación
 Una permutación de un conjunto de objetos
distintos es una lista ordenada de estos objetos.
 Una lista ordenada de r elementos de un conjunto
se denomina r-permutación.
 Ex. Sea S={1, 2, 3}.
La lista 3, 1, 2 es una permutación de S.
La lista 3, 2 es una 2-permutación de S.

3. Permutación
 El número de r-permutaciones de un conjunto de n
elementos es denotado por P(n,r).
 Se puede encontrar P(n,r) usando la regla del
producto.
Teorema 1
 El número de r-permutaciones de un conjunto
de n elementos distintos es

4. Permutación
 Ex. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar 4
jugadores diferentes de un equipo de 10 jugadores,
para jugar 4 partidas de tenis, donde las partidas
están ordenadas?.
 Sol. La respuesta esta dada por el número de
4-permutaciones de un conjunto con 10 elementos.
Por el teorema 1, esto es, P(10,4)=10*9*8*7=5040.

5. Permutación
 Ex. ¿En cuántas formas se puede realizar una
primera, segunda, tercera y cuarta elección entre
12 lenguajes de programación?
Sol. P(12,4)=12*11*10*9.

 Ex. ¿De cuántas maneras diferentes puede un
director de televisión programar seis anuncios
durante seis pausas asignadas a comerciales en la
transmisión del primer tiempo de la final del
mundial de fútbol entre Alemania y Holanda.
Sol. P(6,6)=6*5*4*3*2*1= 6!=720.

6. Permutación
 Ex. Si se quiere premiar a tres de los cinco mejores
alumnos con un objeto distinto para cada uno,
¿De cuántas maneras distintas se puede hacer?
Sol. P(5,3)=5*4*3=60.
 Denominamos a las n-permutaciones simplemente
permutaciones.
P(n,n) = n! permutaciones.

7. Combinación
 En problemas de conteo donde el orden es
importante, las r-permutaciones son claramente
relevantes. Muchas veces el orden no importa, en
cuyo caso la habilidad para contar conjuntos
adquiere importancia.
 Una r-combinación de elementos de un conjunto es
una selección no ordenada de r elementos. Así, una
r-combinación es simplemente un subconjunto con
r elementos del conjunto inicial.

8. Combinación
 Ex. Sea S={1, 2, 3, 4}. Entonces {1, 2, 4} es una
3-combinación de S. El número de r-combinaciones
de un conjunto con n elementos distintos es
denotado por C(n,r).
 Ex. Se puede mostrar que del conjunto {a, b, c, d}
existen seis 2-combinaciones.
 Sol. {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}.

9. Combinación
 Teorema 2
El número de r-combinaciones de un conjunto con n
elementos, donde n es un entero positivo y r es un entero
tal que 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛, es igual a 𝐶 𝑛, 𝑟 =
𝑛!
𝑛−𝑟 ! ∙ 𝑟!
 Corolario 1
Sea n y r enteros no negativos con 𝑟 ≤ 𝑛.
Entonces 𝐶 𝑛, 𝑟 = 𝐶(𝑛, 𝑛 − 𝑟).
Una notación común para una r-combinación de un
conjunto con n elementos es
𝑛
𝑟
.
Por definición 0! = 1 =
𝑛
0
=
𝑛
𝑛

10. Combinación
 Ex. ¿Cuántas maneras existen de seleccionar 5
jugadores de un equipo de tenis que tiene 10 miembros
para realizar un torneo intercolegial?
Sol. C(10,5)=252.
Ex. ¿De cuántas diferentes maneras se puede elegir 3 de
20 monitores para las salas de sistemas?
Sol. C(20,3)
 Ex. ¿De cuántas formas diferentes puede el director
elegir a dos profesores de sistemas entre siete
aspirantes, y tres profesores de administración entre
nueve candidatos?
Sol. C(7,2)*(9,3)