Magnitudes Proporcionales y Semejanza de triángulos

PRESENTACIÓN
La Universidad de Ciencias y Humanidades saluda la participación
de los asesores de las diferentes instituciones educativas en el
presente 22.º Conamat 2019.
La problemática de la realidad educativa nacional, y en especial
de la matemática, no debe ser motivo de desaliento e indiferencia
sino, por el contrario, debe incentivar a la investigación para me-
jorar e innovar la calidad de la enseñanza en todos los niveles de
la educación.
Entre los objetivos de nuestra institución está el compromiso no
solo con la asesoría a través de seminarios y charlas, sino también
con la elaboración de material bibliográfico que contribuye a cu-
brir los requerimientos de los estudiantes del país.
En esta oportunidad presentamos el material correspondiente al
Seminario para asesores. Contiene tópicos sobre Magnitudes pro-
porcionales (aritmética), Semejanza de triángulos (geometría),
y Polígonos regulares (primaria). La teoría sintética y los ejerci-
cios seleccionados que forman parte del contenido permiten ex-
plorar y profundizar algunos de los temas más importantes de la
matemática.
Seguros de la utilidad del presente material, reiteramos nuestro
saludo por su participación, que realza el desarrollo del presente
evento académico.

ÍNDICE
Magnitudes proporcionales ....................................................... 4
Problemas resueltos .................................................................. 10
Problemas propuestos ............................................................... 12
Semejanza de triángulos ..... ...................................................... 14
Problemas resueltos .................................................................. 21
Polígonos regulares ................................................................... 26

INTRODUCCIÓN
Pensar en la matemática como una actividad humana es coherente con una
concepción científica, en tanto la matemática da cuenta de una realidad y se
distancia de posturas racionalistas que la ven desvinculada de las necesidades
más concretas de la vida cotidiana, limitándose a la validación de las inferencias
lógico-formales.
Generalmente, la matemática se presenta a los estudiantes como una ciencia de
naturaleza abstracta, donde los conocimientos se adquieren de forma mecánica;
además, los problemas que se plantean son enunciados verbales en lenguaje
matemático, ligados al tipo de operación o tema que se quiere desarrollar, don-
de la contextualización resulta irrelevante para su comprensión y resolución. Con
ello, se limita al alumno a adivinar o descifrar cuál es el tipo de operación a rea-
lizar, sin poner en juego su sentido común y lo que conoce sobre las cosas fuera
del entorno de la escuela.
Si abandonamos la contextualización, los alumnos se preguntarán cuál es el uso
o aplicación de lo que se aprende en la escuela. Actualmente, numerosos es-
tudios demuestran que el interés y los logros de los mismos con respecto a la
matemática mejoran cuando se conectan los conocimientos nuevos con las expe-
riencias y los conocimientos previos, cuando aprenden a través de la aplicación
de problemas a la vida diaria fuera del aula.
Para involucrar a nuestros estudiantes en la contextualización de problemas
matemáticos, se puede utilizar un enfoque histórico, lo cual implicará una con-
textualización y explicación histórica del tema. También se puede emplear el
contexto interdisciplinario, lo que permitirá relacionar la matemática con otras
asignaturas; el contexto del juego, en el que a partir de sus actividades lúdicas
se podrá involucrar la matemática; el contexto laboral, lo cual permitirá que el
estudiante pueda verse reflejado en una situación concreta de su futuro laboral;
y el contexto científico, en el que se producirá la demostración de teoremas o
experimentos.
Hay una tarea ardua para involucrar la contextualización en las preguntas de
matemática, ya que hay modelos preestablecidos. El uso de la contextualiza-
ción, en una sociedad en profundo cambio, debe mejorar la labor docente y la
educación en general, involucrando al estudiante en este cambio y haciéndolo
partícipe de su propio aprendizaje.

4
22.O
CONAMAT 2019
Aritmética
Magnitudes proporcionales
Existen magnitudes que no pue-
den ser medidas, por lo que
estas se manifiestan a través de
los sentimientos; por ejemplo, el
amor, la tristeza, el miedo, la ho-
nestidad, etc.
Medir consiste en comparar una
magnitud con un patrón de medi-
da. Por ejemplo, para la magnitud
“longitud”, el patrón de medida
que se usa es el metro, así como
también, el pie y la pulgada.
Observación
EL VALOR DE LA PUNTUALIDAD
En casa de la familia Quispe Rojas, de lunes a viernes, todos tienen
que alistarse muy temprano para salir a trabajar o a estudiar. Por
ello, el señor Fernando y la señora Martha han establecido un horario
bastante riguroso para acostarse, pues saben que si no descansan lo
suficiente, al día siguiente se sentirán cansados y no rendirán al cien
por ciento en el trabajo o en el aula de clases.
Para optimizar el tiempo del que disponen por las mañanas hasta antes de
salir, se han distribuido las tareas de la siguiente manera: la señora Martha
se encarga de la preparación del desayuno, el señor Fernando pone la mesa,
y Gonzalo y Elita se turnan diariamente para ir a comprar el pan. Cada uno
debe garantizar lo que le corresponde hacer para que ninguno tenga que irse
de casa sin desayunar porque no le alcanzó el tiempo.
Gonzalo va siempre a las 6:20 a. m. hacia la panadería. Esta se en-
cuentra a solo 5 cuadras de su casa, así que va caminando. Como no
le gusta demorarse mucho, trata de ir sin distraerse por el camino. Por
lo general, llega a la panadería a las 6:30 a. m. Cuando es el turno de
Elita, ella sale siempre 5 minutos después que él, pero llega a la misma
hora, ya que ella camina mucho más rápido. Gracias a la disciplina de
toda la familia, ambos hermanos han sido felicitados varias veces por
su puntualidad.
Lee, razona y responde
1. Si en el camino Gonzalo se detiene 5 minutos para leer los titulares
de los periódicos, ¿a qué hora llegará a la panadería?
2. Si al llegar a la mitad del camino hacia la panadería Gonzalo du-
plica la velocidad de sus pasos, ¿a qué hora llegará a esta?
3. ¿Qué debería pasar con la velocidad de Elita para que ella y su
hermano Gonzalo demoren igual en llegar a la panadería?
1. CONCEPTOS PREVIOS
1.1. Magnitud
Es todo aquello que puede aumentar o disminuir su intensi-
dad, y que se puede medir.
Ejemplos
• La distancia
• El tiempo
• La masa

5
SEMINARIO PARA ASESORES
1.2. Cantidad
Es el resultado de medir la variación de una magnitud en un
determinado momento.
Ejemplo
Magnitud Cantidad
La distancia 4 m; 10 km; 2 cm
El tiempo 60min;2h,15segundos
La masa 58 kg; 200 g; 50 TN
2. RELACIONES ENTRE DOS MAGNITUDES
En muchos acontecimientos cotidianos se presentan las re-
laciones de dos o más magnitudes, de tal forma que una de
ellas depende de la otra. Por ejemplo, el tiempo que se demora
uno en recorrer una distancia depende de la velocidad que se
emplea; o la cantidad de artículos que una máquina produce
depende del tiempo que esta esté prendida. Estas relaciones
que se pueden establecer entre las magnitudes serán los obje-
tos de estudio de este capítulo.
2.1. Magnitudes directamente proporcionales (DP)
Dos magnitudes son directamente proporcionales (DP ) cuan-
do al aumentar o disminuir una de ellas, la otra aumenta o
disminuye.
Ejemplo
Jorge vive en Lima y ha decidido ir de vacaciones a Pucallpa.
Para ello, compra sus boletos en una empresa, cuyo ómnibus
suele avanzar a 80 km/h y sigue la siguiente ruta:
Destino Huánuco Tingo María Pucallpa
Distancia desde
Lima (km)
400 560 720
Tiempo
empleado (h)
5 7 9
Se observa que al aumentar la distancia a recorrer, también
aumenta el tiempo, empleando una misma proporción.
Es decir
(distancia) DP (tiempo)
En general, para dos magnitu-
des, A y B, cuyos valores son los
siguientes:
A a1 a2 a3
B b1 b2 b3
• Si A DP B, se cumple

valor de
valor de
cte
A
B
( )
( )
= .
Es decir

a
b
a
b
a
b
1
1
2
2
3
3
= = = cte.
• Si A IP B, se cumple

valor
de
valor
de
cte
A B( )× ( )= .
Es decir

a1×b1=a2×b2=a3×b3=cte.
Importante

6
22.O
CONAMAT 2019
Gráficamente
Distancia
Tiempo
720
560
5 7 9
400
gráfica de una
proporcionalidad
directa
Se cumple que el cociente de la distancia y el tiempo es cons-
tante.
→
distancia
tiempo
( )
( )
= = = =
400
5
560
7
720
9
80
2.2. Magnitudes inversamente proporcionales (IP)
Dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP) cuando
al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye o
aumenta en la misma proporción.
Ejemplo
La distancia de Lima a Cusco es de 1200, km aproximada-
mente. Susana calcula el tiempo que tardará en ómnibus te-
niendo en cuenta que la velocidad varía.
Velocidad (km/h) 100 50 200
Tiempo (h) 12 24 6
Se observa que
• Si la velocidad aumenta, el tiempo disminuye.
• Si la velocidad disminuye, el tiempo aumenta.
Es decir
(velocidad) IP (tiempo)
Regla de tres simple
directa
Este método se utiliza cuando
las magnitudes que intervienen
tienen una relación directamente
proporcional (DP).
Forma típica
DP
Magnitud A Magnitud B
a b
c x
x
b
c
a
=
Ejemplo
Si 5 kg de azúcar cuesta 28 soles,
¿cuánto costará 15 kilogramos?
kilogramos
5
15
costo
28
x
DP
x
x
28
15
5
15 28
5
84= → = =
·
Por lo tanto, por 15 kilogramos de
azúcar se pagará S/84.
Importante

7
Gráficamente
Velocidad
Tiempo
200
100
50
6 12 24
gráfica de una
proporcionalidad
inversa
Se cumple que el producto de la velocidad y el tiempo es cons-
tante.
→ (velocidad) × (tiempo)=100×12=50×24=200×6=1200
3. APLICACIONES DE LAS MAGNITUDES PROPORCIONALES
3.1. Regla de tres compuesta (problemas de obras)
La regla de tres compuesta es un método que se utiliza cuan-
do se relacionan tres o más magnitudes, como por ejemplo en
los problemas de obras que analizaremos a continuación.
En los problemas de este tipo, las magnitudes que intervie-
nen son “número de obreros”, “obra”, “dificultad”, “número de
días”, “horas” y “eficiencia”. Tomando como base el número de
obreros, se relacionan de la siguiente manera:
DP (obra)
DP (dificultad)
IP (n.º de días)
IP (horas diarias)
IP (eficiencia)
(n.º de obreros)
Se cumple
n.º de obreros n.º de días horas diarias eficiencia( ) ( ) ( ) (× × × ))
( ) ( )×
=
obra dificultad
cte.
Regla de tres simple
inversa
Este método se utiliza siempre
y cuando las magnitudes que
intervienen tienen una relación
inversa (IP).
Forma típica
Magnitud
A
Magnitud
B
a b
c x
IP
a ⋅ b = c ⋅ x
Ejemplo
Si 20 obreros hacen un puente
en 6 días, ¿cuántos días tardarán
15 obreros en hacer el mismo
trabajo?
Obreros Días
IP
20 6
15 x
15 ⋅ x = 20 ⋅ 6
x= =
20 6
15
8
·
Por lo tanto, 15 obreros tardarán
8 días en ejecutar la obra.
Importante

8
22.O
CONAMAT 2019
Ejemplo
Se desea construir 500 m de pista. Si los primeros 200 m lo
construyeron 24 obreros en 4 días, ¿en cuántos días podrán 12
obreros construir lo que falta?
Resolución
200 m
24 obreros
4 días
300 m
12 obreros
x días
500 m
Se cumple
n.º de obreros n.º de días
obra
cte
( ) × ( )
( )
= .
Entonces

24 4
200
12
300
2
2
1
3
×
=
× x
∴ x =
× ×
=
2 4 3
2
12
3.4. Reparto proporcional
Consiste en distribuir o repartir una cantidad de dinero, obje-
tos, bienes, etc., en forma DP o IP a ciertos números, llamados
números repartidores o índices de reparto.
Se cumple
(suma de partes)=(cantidad repartida)
Ejemplos
1. Repartimos S/234 en forma DP a 3; 4 y 6, y hallamos las
partes.
De los datos
Partes (S/) A B C
Números 3 4 6
Para saber si dos magnitudes
son DP o IP, estas se comparan
haciendo variar sus valores.
Si ambas aumentan o dismi-
nuyen a la vez en la misma
proporción, diremos que son
DP, pero si al aumentar una
de ellas, la otra disminuye y,
al disminuir la primera, la otra
aumenta su valor en la misma
proporción, diremos que son IP.
Ejemplos
• cantidad
de víveres
↑ ↓ ↑ ↓
n.º de
personasDP
• n.º de
ejercicios
resueltos
↑ ↓ ↑ ↓
tiempoDP
• eficiencia
de un
obrero
↑ ↓ ↓ ↑
tiempo
que
demora
IP
Observación

9
Se cumple
A+B+C=234
Además, si el reparte es DP
→
A B C
3 4 6
234
13
18= == =
+
+
∴ A=3×18=54; B=4×18=72; C=6×18=108
2. Repartimos S/234 en forma IP a 3; 4 y 6 y hallamos las
partes.
Partes (S/) M N P
Números 3 4 6
Se cumple
M+N+P=234
Además, si el reparto es IP se cumple

M N P×
=
×
=
×3
12
4
12
6
12
,
donde 12=MCM(3; 4; 6)
Así tenemos

M N P
4 3 2
234
9
26= = = =
+
+
∴ M=4×26=104; N=3×26=78; P=2×26=52
¿Cómo desarrollar un proble-
ma de magnitudes?
• Identifica las magnitudes
presentes en el problema.
• Analiza solo las magnitudes
que varían.
• Toma una de ellas como
referencia y compárala con
cada una de las demás es-
tableciendo una relación DP
o IP.
• Construye una expresión
que encierre a todas las
magnitudes analizadas.
Importante
Cuando se pida repartir una
cantidad en forma DP a ciertos
números, se cumple
(partes) DP (números)
Pero, si el reparto fuese en for-
ma IP, se cumplirá
(partes) IP (números)
Observación

10
22.O
CONAMAT 2019
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema N.˚ 1
Lidia puede leer un libro de 640 páginas en
40 días. ¿Cuántos días se demorará en leer
un libro de 480 hojas?
Resolución
Tengamos en cuenta que si Lidia lee 480 ho-
jas, esto equivale a decir que lee 960 páginas.
Según el enunciado, tenemos las magnitudes
N.º de páginas 640 960
N.º de días 40 x
Entonces

n.º de páginas
n.º de días
cte.
( )
( )
=
Luego
640
40
960 40 960
640
60
1
16
= → =
×
=
x
x
∴ x=60
Problema N.˚ 2
Un albergue tiene víveres para 33 días, pero
si llegaran 4 personas más, los víveres dura-
rían solo 30 días. ¿Cuántas personas hay en
dicho albergue?
Resolución
Según el enunciado
N.º de personas x x + 4
N.º de días 33 30
Entonces
(n.º de personas)×(n.º de días)=cte.
Luego
x · 33=(x+4) · 30
33x=30x+120
3x=120
∴ x= =
120
3
40
Problema N.˚ 3
Del gráfico, calcula el valor de (m+n)2.
1 4 8 B
A
m
n
16
Resolución
Del gráfico se concluye que las magnitudes A y
B tienen relación inversamente proporcional IP.
A 16 n m
B 1 4 8
Se cumple
A IP B ↔ A×B=cte.
→ 16×1=n×4=m×8=16
Luego
• n×4=16 → n= =
16
4
4
• m×8=16 → m= =
16
8
2
Nos piden (m+n)2.
∴ (4+2)2=62=36

11
Problema N.˚ 4
El precio de una entrada al parque de diver-
siones es directamente proporcional al cua-
drado del peso de una persona. Si una perso-
na pagó S/50 y pesa 75 kilogramos, ¿cuánto
pagará Lucas si pesa 45 kilogramos?
Resolución
Según el enunciado
(precio de entrada) DP (peso)2
Se concluye

(precio)
(peso)2
= =
50
75 452 2
N

50
75 75 45 45×
=
×
N
5 5 3 3

50
25 9
2
9
18= → = → =
N N
N
Por lo tanto, Lucas pagará S/18.
Problema N.˚ 5
Emerson vende productos y su ganancia es
proporcional a lo que recauda en un día. Hoy
lunes vendió S/800 y ganó S/120. ¿Cuánto re-
caudó Emerson el sábado si ganó S/150?
Resolución
Según el enunciado, tenemos
(ganancia) DP (venta del día)
→
(ganancia)
(venta del día)
cte= .
Relacionamos la venta y la ganancia.
Lunes Sábado
Venta del día 800 x
Ganancia 120 150
Efectuamos.

(ganancia)
(venta del día)
= =
120
800
150
x

3
20
150
=
x
→ 20×50=1000
Por lo tanto, Emerson vendió S/1000 el
sábado.
Problema N.˚ 6
Un auto de carrera recorre 570 km en 3 ho-
ras. ¿Qué distancia recorrerá en 5 horas si
viaja a la misma velocidad?
Resolución
De acuerdo al enunciado, tenemos
Distancia (km)
570 3
x 5
Tiempo (h)
DP
Por regla de tres simple directa
3 ⋅ x=5 ⋅ 570
3x=2850
x x= → =
2850
3
950
Por lo tanto, en 5 horas recorrerá 950 km.

12
22.O
CONAMAT 2019
PROBLEMAS PROPUESTOS
1 Si A es DP a B cuando A=16 y B=12,
calcula el valor de A cuando B=27.
2 Si A y B son magnitudes proporcionales
representadas en el siguiente gráfico:

8
b
3
A
a
16 24 B
calcula el valor de (b-a)2.
3 Una obra está prevista para ser realiza-
da por 120 obreros en 56 días. Si al final
se requiere que la obra sea terminada en
30 días, ¿cuántos obreros deberán au-
mentarse?

4 Del gráfico, calcula y-x.

y Q
P
x4
2
6
18
5 Si una piedra preciosa que pesa 80 gra-
mos cuesta S/3200, ¿cuánto costará otra
similar de 100 gramos de peso?
6 El precio de un celular prepago es propor-
cional al número de funciones que reali-
za. Si un celular que realiza 20 funciones
cuesta S/60, ¿cuánto costará otro celular
cuyo número de funciones es de 120?
7 Andrés trabaja como chofer y gana pro-
porcional a lo que se recauda en un día.
Hoy lunes se recaudó S/800 y ganó S/120.
¿Cuánto fue la recaudación el día domin-
go si le pagaron S/450?
8 Luis publicó en Instagram una foto de su
viaje a Cusco. En las primeras 4 horas
tiene 15 me gusta. En 12 horas, ¿cuántos
me gusta tendrá?
9 En un avión boeing 747, el consumo de
combustible es proporcional al tiempo de
vuelo. Si 4 litros de combustible se con-
sumió en un segundo de vuelo, ¿cuánto
combustible se consumirá para ir a Cus-
co si el vuelo demora 45 minutos?

13
10 Si un carpintero tarda 21 días en fabri-
car 7 mesas, ¿cuántos días necesitará
para fabricar 5 mesas?
11 Doce obreros pueden construir un muro
en 20 días. ¿Cuántos días emplearán 10
obreros en hacer el mismo muro?
12 Un profesor de Matemática decidió pre-
miar a sus tres mejores alumnos rega-
lándoles 9 libros para que se los repar-
tan en forma directamente proporcional
al número de problemas resueltos de la
guía. El primero resolvió 10 problemas;
el segundo, 15; y el tercero, 20. Indica
cuántos libros le tocó al segundo.
13 Luis desea repartir 50 canicas entre sus
dos sobrinos en forma DP a sus notas
que son 12 y 18. ¿Cuánto recibirá el que
sacó mayor nota?
14 Nidia es el doble de rápida que su her-
mana Lucía. Si la más lenta puede ha-
cer un trabajo en 12 horas, ¿en cuántas
horas podrán terminar dicho trabajo si
trabajan Nidia y Lucía juntas?
15 Una oveja puede comer todo el pasto a
su alcance en 8 días si está atada a un
poste con una cuerda de 6 m de longitud.
Si la longitud de la soga es reducida a
su mitad, ¿cuánto demorará en comer el
pasto a su alcance?

16 El transporte en camión de 20 toros
(cada toro pesa 400 kg) hasta una distan-
cia de 800 km ha costado S/4000. ¿Qué
distancia, en kilómetros, se habrá trans-
portado a 50 toros de 1200 kg cada uno si
el transporte cuesta S/18 000?
17 Ronald resuelve 20 problemas de álge-
bra en 4 horas. ¿En cuántas horas podrá
resolver 15 problemas de doble dificultad
que los anteriores?

18 Diez obreros que trabajan en una ca-
rretera hacen las tres quintas partes de
aquella en 9 días. Si se retiran 6 obreros,
¿cuántos días emplearán los restantes
para terminar la obra?

14
22.O
CONAMAT 2019
Semejanza de triángulos
LA MEDIDA DEL GRAN ÁRBOL
Un fin de semana, la familia Quispe Rojas salió de paseo al cam-
po, y lo estaban pasando excelente. En eso se encontraron con
otra familia y congeniaron, por lo que decidieron compartir la tarde de
excursión con ellos.
Gonzalo y Elita quisieron sorprender a sus nuevos amigos y enseñarles
algo. Ellos les aseguraron que podían medir la altura del gran árbol
que tenían frente a ellos en ese momento. Sus nuevos amigos se veían
un poco incrédulos y los imaginaban trepándose al árbol para medir
su altura.
Para convencer a sus nuevos amigos, Gonzalo y Elita procedieron con
la medida. Elita cogió una cuerda y midió su estatura, luego con un
radio igual a la estatura de su hermana, Gonzalo trazó una circunfe-
rencia. Elita se paró en el centro de la circunferencia y esperó un buen
rato hasta que su sombra llegó al borde de la circunferencia. En ese
momento, corrió al árbol para medir con una wincha la sombra que
emitía el gran árbol. Entonces exclamó: “¡El árbol tiene ocho metros de
altura!”. Sus nuevos amigos quedaron sorprendidos por la hazaña y les
pidieron a Gonzalo y Elita que les enseñen a hacerlo. “Es muy simple
- dijo Elita -, si mi sombra mide igual que mi estatura, entonces para el
árbol también su sombra medirá igual que su altura”.
Lee, razona y responde
1. ¿Qué utilidad puedes rescatar de este caso?
2. ¿De qué otra manera podrías calcular la altura del árbol?
3. Usando ese criterio, calcula la altura de un poste de luz.
1. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Cuando fotocopiamos una figura, podemos hacerlo también
con una ampliación o una reducción.
α α
β
β
θ θ
65
7 21
15 18
figura inicial
figura ampliada
Si realizamos la ampliación
o reducción de un triángulo
ABC, podemos encontrar trián-
gulos PQR y MNL semejantes
al triángulo inicial.
A
ampliación
reducción
B
C
L
N
Q
R
P
M
Importante
Geometría

15
• Observamos que las medidas de los ángulos interiores no
varían.
• Se puede observar que la figura ampliada es el triple de la
figura inicial.
• A los lados que se oponen al mismo ángulo se les llaman
lados homólogos.
• Los homólogos 5 y 15 están en la razón de 1 a 3.
• Los homólogos 6 y 18 también están en la razón de 1 a 3.
• Los homólogos 7 y 21 también están en la razón de 1 a 3.
α α
θ
θ
β β
ba
c 
m n
B
CA RP
Q
ABC ∼ PQR
El símbolo ∼ se lee “es semejante con”.
Se cumple
a
m
b
n
c
k= = =

k: constante de proporcionalidad
Aplicación 1
Dados los triángulos semejantes, calcula x.
65
β
α θ
2x β
α θ
Si se observa
θ θ
bk b
ak
a
podemos concluir que dichos
triángulos son semejantes.
Observación
Si se observa que
ck
bk
c
ak a b
se puede concluir que estos
triángulos son semejantes.
Observación

16
22.O
CONAMAT 2019
Resolución
Como son semejantes, entonces a ángulos de igual medida se
oponen lados de longitudes proporcionales.

6
2
5
6 10= → =
x
x
∴ x =
5
3
2. ¿CÓMO IDENTIFICAMOS QUE DOS TRIÁNGULOS SON
SEMEJANTES?
Si dos ángulos de un triángulo son iguales en medida que dos
ángulos de otro triángulo, entonces dichos triángulos son se-
mejantes.
Si
α θα θ
A C P R
Q
B
Entonces
ABC ∼ PQR
Aplicación 2
Según el gráfico, AB=6; BC=8 y PR=3. Calcula QR.
R
Q
B
CPA
En el siguiente gráfico:
θ
θ
A D
B
C
ABD ∼ ACB
Importante
Si dos triángulos rectángulos
son semejantes, sus lados se
pueden relacionar usando ra-
zones trigonométricas.
b
a ∼
n

m
θθ
→ = = ∨
= =
tan
sen
θ
θ
a
b
m
n
a
c
m

Importante

17
Resolución
Completamos medidas angulares
• m  BAC=m  RQP= q
• m  BCA=m  RPQ= a
Entonces, ABC ∼ QRP
Luego

QR
QR
6
3
8
18
8
= → =
∴ QR =
9
4
2.1. Casos frecuentes donde se presenta semejanza de
triángulos
CA
M N
B

Si MN // AC
se cumple
MBN ∼ ABC
CA
B
P Q

Si PQ // AC
se cumple
PQB ∼ CAB
R
3
Q
θθθ
B
CPA
α
ααα
θ
6 8
1. Sea MN//AC.

B
M
A C
N
y
x
a
b
Se cumple

x
y
a
b
=
2. Sea PQ//AC.

A C
b
a
B
P Qm
Se cumple

m a
b
=
Propiedad

18
22.O
CONAMAT 2019
Aplicación 3
Del gráfico, calcula la altura del edificio.
270 m270 m270 m
6 m6 m6 m
h
5 m5 m5 m
Resolución
Utilizamos la propiedad 1.
5 6
270
5 270
6h
h= → =
×
∴ h=225 m
2.2. Teorema de las antiparalelas
α
α
b
a
x
Se cumple
x2=a·b
Aplicación 4
Según el gráfico, ¿a qué distancia se encuentra el avión del
punto B?
100 m100 m 800 m800 m
A
B
α
α
Sea
ABC ∼ PQR
A C
B
H
a
P R
Q
h
b
a
b
H
h
=
Observación
En dos triángulos semejantes,
no solamente los lados ho-
mólogos guardan la misma
relación, sino cualquier par de
elementos homólogos como
alturas, medianas, inradios, cir-
cunradios, etc.
Observación

19
Resolución
Por teorema
(AB)2=900 × 100
∴ AB=300 m
2.3. Teorema de las tres paralelas
Si L1 // L2 // L3, se cumple
D
B
F
C EA
L1 L2 L3
b
a
x
x
ab
a b
=
+
Aplicación 5
Se tiene dos postes de 6 m y 9 m, respectivamente. Calcula x.
xx
6 m
9 m
Resolución
Al observarse las paralelas, se plantea el teorema.
x =
+
6 9
6 9
·
∴ x=3,6 m
El teorema de las antiparalelas
también se puede presentar de
la siguiente forma:
x
θ
θθ
a
b
Se cumple
x2=a×b
Importante
Si MN // AC
A C
NM
B
a b
x y
se cumple
x
y
a
b
=
Observación

20
22.O
CONAMAT 2019
2.4. Teorema de las paralelas en el trapecio

D
QP
B C
A a
x
m
b Si BC // PQ // AD, se cumple
x
am b
m
=
+
+


Aplicación 6
En cierta mesa infantil, se desea saber la separación entre los
puntos A y B. (AB // PQ). Considera BQ=2(BM).
AAA
BBB
P
Q
120 cm
60 cm M
Resolución
60 cm
120 cm
BA
2

Utilizamos el teorema anterior.
AB =
× + ×
+
120 60 2
2
 
 
AB =
240
3


∴ AB =80 cm
Si AB // CD
C D
A B
n m
x y
se cumple
x
y
m
n
=
Importante

21
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema N.˚ 1
Del gráfico, calcula la profundidad del río.
120 m 3 m
2 m
ddd
ríoríorío
Resolución
Utilizamos una de las propiedades.

d
2
120
3
=
∴ d=80 m
Problema N.˚ 2
En la figura 1, se observa una imagen de un
camión, en el cual sus llantas tienen un diá-
metro de 2 cm y su carrocería rectangular tie-
ne sus lados que miden 10 cm y 16 cm. Luego
de sacar una fotocopia de ampliación, se ob-
tiene la figura 2, en la cual el diámetro de las
llantas mide 3 cm. Calcula el perímetro del
rectángulo que representa la carrocería en la
figura 2.
fig. 2fig. 2fig. 2fig. 1fig. 1fig. 1
Resolución
Piden 2P.
2P: perímetro de la carrocería en la figura 2
101010
222 333
161616
bbb
aaa
fig. 1fig. 1fig. 1 fig. 2fig. 2fig. 2
En la figura 1, el diámetro era 2 cm, luego de
la ampliación, el diámetro mide 3 cm.
Eso quiere decir que la razón entre la figura 1
y la figura 2 es de 2 a 3.
→
a b
10 16
3
2
= =
→
a
10
3
2
= → a=15
→
b
16
3
2
= → b=24
Luego, hallamos el perímetro
2P=2a+2b
2P=2(15)+2(24)
∴ 2P=78 cm
Problema N.˚ 3
A partir del gráfico, calcula ED si AB=12.
A C E
B
D
37º
α
α

22
22.O
CONAMAT 2019
Resolución
Piden ED.
A C E
D
B
12
3k3k3k
ααα
ααα
37º37º37º
4k
En el ADC notable de 37º, sus catetos están
en razón de 3 a 4.
Dos ángulos del ABC (a y 90º) son iguales
que dos ángulos del CDE.
→ ABC ∼ DEC
→
DE CD
AC12
=

DE k
k12
3
4
=
∴ DE=9
Problema N.˚ 4
Del gráfico, calcula la altura de la casa.
1,6 m
3,5 m
h
25,5 m25,5 m25,5 m 1,5 m1,5 m1,5 m
Resolución
Podemos utilizar un teorema.
3 5
1 5 1 6 25 5
25 5 1 5
,
, , ,
, ,
=
( )( )+ ( )( )
+
h
94,5=(h)(1,5)+40,8
53,7=h(1,5)
∴ h=35,8 m
Problema N.˚ 5
Sea ABCD y PCQR cuadrados, calcula x.
B C
Q
R
P
x
DA
Resolución
Nos piden x.
B m
m
C
Q
R
S
P
x
DA


m 2
 2
β β
θ
45º
45º45º45º
Al ser cuadrados
m  ACD = m  RCQ=45º
Luego
ACR ∼ DCQ
Utilizamos el criterio (L - A - L).
→ m  CAR = m  CDQ= b
En la figura ACDS
x + = +β β 45º
∴ x=45º

23
PROBLEMAS PROPUESTOS
1 En el gráfico se muestran dos postes:
uno de 6 m y otro de 4 m. Calcula la se-
paración entre los postes.

αα αα
4 m4 m
2 Sea ABCD un cuadrado, calcula
BQ
QD
.

A D
B Mm 2m C
Q
3 Del gráfico, halla el valor de x.

θ
2
3
A
P
C
B
5
x
θ
4 En el gráfico, ABCD es un rectángulo y
3(EQ)=2(QD). Si BE=4, calcula AD.

A D
CB E
Q
5 Desde un punto A del piso, se observan
los puntos M y D, que son las partes más
altas de un poste y un árbol, respectiva-
mente. El poste tiene una longitud de
2 m, la distancia de A hacia B es 3 m y la
distancia de B hacia C es 24 m. Calcula
la altura del árbol.
C B
M
D
A
6 Según el gráfico, AC=CD, AE=2 y
EB=5.
Calcula CD.
C
E
B
A D

24
22.O
CONAMAT 2019
7 Del gráfico, calcula el área de la región
cuadrada sombreada.
A C
B
Q
3
P 7
8 En el gráfico, se muestra la escalera de un
puente peatonal. Si la altura del puente
respecto del piso es 5 m, ¿a qué altura res-
pecto del piso se encuentra la persona que
está subiendo la escalera? Considera que la
escalera tiene 12 peldaños.
9 Según el gráfico, M está a 5 m de al-
tura respecto del piso. Si PH=12 m y
MA=104 m, ¿a qué altura respecto del
nivel del piso se encuentra la antena pa-
rabólica?
AAA
MMM
HHHPPP
10 Según el gráfico, determina la altura del
árbol intermedio.
2 m
5 m
h
4 m4 m4 m 3 m3 m3 m
11 Del gráfico que se muestra, calcula el pe-
rímetro de la región sombreada si AC=5
y AQ=4.
αααα 2α2α2α
Q A C
B
12 Del gráfico, T es punto de tangencia.
Determina
AT
TQ
.

T
A
Q
B
3
1

25
13 En el gráfico, AD=2 y DC=6. Calcula
AE.
α
α
A D C
E
B
14 En el gráfico, ABCD es un cuadrado,
AE=2 y ED=3. Calcula AM.
θ
θ
A E D
B C
M
15 Según el gráfico, las regiones sombrea-
das son cuadrados. Calcula el perímetro
de la menor región.

5 cm
6 cm
16 Del gráfico, A y C son puntos de tangen-
cia. Calcula AB.
5
A
B C
7
17 Una escalera está apoyada en la pared.
Si la distancia del extremo inferior de la
escalera hacia la pared es 4 m, calcula la
distancia de AB hacia la pared.





P
B
...
...
A
Q



18 Del gráfico, calcula IG si IG//AC, BQ es
bisectriz y BM es mediana. Considera G:
baricentro de la región triangular ABC.

α
α
7
CM
B
QA
86
GI

26
22.O
CONAMAT 2019
Seminario Primaria
Polígonos Regulares
Competencia
- Resuelve problemas de forma, movimien-
tos y localización.
Capacidades
- Modela objetos con formas geométricas.
- Comunica su comprensión sobre las for-
mas y relaciones geométricas.
- Usa estrategias y procedimientos para
orientarse en el espacio.
- Argumenta afirmaciones sobre relacio-
nes geométricas.
Desempeños
- Establece relaciones entre las caracterís-
ticas de objetos reales o imaginarios, los
asocia y representa con formas bidimen-
sionales (triángulo equilátero, cuadrado,
pentágono y hexágono), sus elementos,
perímetros y áreas.
- Comunica su comprensión sobre las for-
mas y relaciones en el espacio.
- Argumenta afirmaciones sobre relacio-
nes geométricas.
Pastor (1985) afirma: “El rey de Egipto dividió el
suelo del país entre sus habitantes, asignando
lotes cuadrados de igual extensión a cada uno de
ellos y obteniendo sus principales recursos de las
rentas que cada poseedor pagaba anualmente. Si
el río arrasaba una parte del lote de un habitante,
este se presentaba al rey y le exponía lo ocurrido,
a lo cual el rey enviaba personas a examinar y
medir la extensión exacta de la pérdida; más ade-
lante la renta exigida era proporcional al tamaño
reducido del lote. Es en virtud de esta práctica
que pienso, comenzó a conocerse la geometría
en Egipto, de donde pasó a Grecia” (p. 18).
1. FORMACIÓN DE POLÍGONOS CON TIRAS
DE PAPEL
1.1. Triángulo equilátero con la tira del papel
Cortamos el papel, de modo que formemos
una tira, tal como se muestra.
A
B
D
C
A partir de la tira de papel, en 3 pasos forme-
mos un triángulo equilátero.
Primero: Giramos el extremo (A) hacia abajo.
A B
B
D
C
A
Segundo: Giramos 180º el extremo (B) en sen-
tido antihorario.
AB
D
C
B
Tercero: Hacemos coincidir el extremo (A) al
vértice más cercano del triángulo.
A
B
P
Q
D
C
Si medimos los lados y ángulos del triángulo
APQ, verificaremos que los lados tienen la mis-
ma medida y lo mismo ocurre con sus ángulos.

27
Completa la siguiente tabla:
Nombre
Número de
vértices y sus
nombres
Número de lados
y sus medidas de
cada lado
Número y sus
medidas de
cada ángulo
Medida
de su
perímetro
Medida de
su área
Verifique si se cumple la relación
Número de vértices Número de lados Número de ángulos Conclusión
Verifique el teorema, para todo polígono
Suma de ángulos interiores = 180º (n – 2), donde n es número de lados del polígono
1.2. Cuadrado con una hoja de papel.
A
B
D
C
Primero: Formaremos un triángulo rectán-
gulo, para ello giramos el extremo (A) hacia
abajo, de modo que el extremo (A) coincida
con el perímetro del lado CB. Se forma el
triángulo (ANB).
N
A/M B
D
C
A
Segundo: Doblamos la tira por el punto N y
M, formando así la figura MNAB.
N A
M B
Nombre
Número de
vértices y sus
nombres
Número de lados
y sus medidas de
cada lado
Número y sus
medidas de
cada ángulo
Medida
de su
perímetro
Medida de
su área

28
22.O
CONAMAT 2019
1.3. Pentágono con una tira de papel
C
D
A
B
Primero: Giramos los extremos (A; B) hacia
la derecha con inclinación hacia abajo; y el
extremo (C; D), hacia la izquierda con incli-
nación hacia abajo.
A
A
B
C
D
C
BD
Segundo: Cruzamos los extremos a modo de
lazo.
O
M N
Q
B
A
C
D
P
La figura OMNQP es un pentágono regular.
Nombre
Número de
vértices y sus
nombres
Número de lados
y sus medidas de
cada lado
Número y sus
medidas de
cada ángulo
Medida
de su
perímetro
Medida de
su área

29
1.4. Hexágonos con dos tiras de papel
Primero: Formamos las dos tiras de papel.
A C
B D
A C
B D
Segundo: Colocamos cada tira de papel como
brazos cruzados.
AC
BD
A
B
C
D
Tercero: Cruzamos las 2 tiras de papel a
modo de un nudo. Se acomoda de modo que
se forma la figura MNOPQR.
M
N
O
P
Q
R
Nombre
Número de
vértices y sus
nombres
Número de lados
y sus medidas de
cada lado
Número y sus
medidas de
cada ángulo
Medida
de su
perímetro
Medida de
su área

30
22.O
CONAMAT 2019
POLÍGONO
Es aquella figura geométrica que se forma al
unir tres o más puntos no colineales median-
te segmentos de recta.
A
B
C
E
Da
b q
y
fx
y
z
w
u
Elementos
• vértices: A, B, C, D, E
• lados: AB, BC, CD, DE, EA
• ángulos interiores: a, b, q, f, y
• ángulos exteriores: x, y, z, w, u
Los polígonos se nombran según su número
de lados.
N.º de
lados
Nombre
N.º de
lados
Nombre
3 triángulo 9 nonágono
4 cuadrilátero 10 decágono
5 pentágono 11 endecágono
6 hexágono 12 dodecágono
7 heptágono 15
pentadecá-
gono
8 octágono 20 icoságono
En todo polígono se cumple
n.º de
lados
n.º de
vértices
n.º de ángulos
interiore



 =



 =
ss




CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS
Polígono regular Polígono irregular
a a
aa
a
a
aa
a aa a
Todos los lados tie-
nen igual longitud y
sus ángulos interio-
res de igual medida.
a
d
b
c
a
b
q
f
Sus lados tienen
diferentes longitu-
des y sus ángulos
interiores, diferen-
tes medidas.
TEOREMAS
Sea n el número de lados de un polígono.
1. Suma de las medidas de los ángulos inte-
riores
suma de ángulos
interiores



 = −( )180 2º n
2. Número total de diagonales
n.º de diagonales( ) =
−( )n n 3
2
3. Suma de los ángulos exteriores de un po-
lígono convexo
suma de ángulos exteriores=360º

31
Observa como resolvemos
En el gráfico, calcula el valor de q.
q
3q
5q
4q 2q
Resolución
Se observa que los ángulos en el polígono
son exteriores.
Por lo tanto, la suma de las medidas de
los ángulos exteriores es 360º.
q + 2q + 3q + 4q + 5q = 360º
15q = 360º
q = 24º
Respuesta: El valor de q es 24º.
1 Grafica los polígonos según su número
de lados y escribe el número de diagona-
les correspondientes.
Polígono
Polígono
regular
Número de
diagonales
4
6
7
2 En el gráfico mostrado, calcula el valor
de a.
2a
4a
3a
3 En el salón de Gonzalo, hay una mesa
como la de la imagen. Calcula el valor de q.
2q
3q q
4 ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono?
5 Si la suma de los ángulos interiores de
un polígono es 360º, ¿cómo se llama di-
cho polígono?
6 Fuera del colegio de Gonzalo, hay un le-
trero de “Pare” como se ve en la imagen.
Si este letrero tiene forma de un polígono
regular, calcula la medida de uno de sus
ángulos interiores.

32
22.O
CONAMAT 2019
7 En la casa de la abuela Filomena, hay un
mueble antiguo como el que se ve en la
imagen. Calcula el valor de q.
θ
θ θ
θ
8 Para redecorar su terraza, el señor Fer-
nando desea comprar nuevos cerámicos
que tengan forma de hexágono regular.
¿Cuántas diagonales se le puede trazar
al cerámico?
9 Gonzalo está recortando letras para co-
locar “Feliz Aniversario” en la puerta de
su salón. Si la letra F tiene la forma de
un polígono, calcula la suma de las me-
didas de los ángulos interiores de dicha
letra.
10 ¿Cuántos lados tiene un polígono regular
si la diferencia de la suma de las medi-
das de los ángulos exteriores e interiores
es 180º?
11 Si un polígono tiene 27 diagonales,
¿cuántos lados tiene?

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