1. Criterio de Optimalidad Para problemas de Programaci´on
Geom´etricas Generalizado sin Restricciones
Sea g : Dg → R, una funci´on (donde Dg ⊂ Rn
es el dominio de g) dada. Denotamos
h(y) := sup
x∈Dg
{g(x) − x, y } ,
donde la funci´on h : Rn
→ R es la funci´on conjugada de g definida sobre el conjunto
Dh := {y ∈ Rn
: sup
x∈Dg
{g(x) − x, y } < +∞} ⊂ Rn
.
DEFINICI´ON 1 (Funci´on conjugada).
Algunas de las propiedades b´asicas de la funci´on conjugada son resumidas a continuaci´on:
Observaci´on 2.1:
Sea A un subconjunto de Dg y
ˆh(y) := sup
x∈A
{g(x) − x, y } ,
donde ˆh es la funci´on conjugada de g definida sobre el conjunto
Dˆh := {y ∈ Rn
: sup
x∈A
{g(x) − x, y } < +∞} .
Entonces Dh ⊂ Dˆh y h(y) ≥ ˆh(y) (∀y ∈ Dh)
Observaci´on 2.2
(Desigualdad de Fenchel) La siguiente desigualdad puede ser derivada de la definici´on 1.
g(x) − g(y) ≤ x, y (∀x ∈ Dg, ∀y ∈ Dh) .
De la definici´on 1 se puede ver que la funci´on conjugada puede no existir para todas las funciones
g ya que Dg puede ser un conjunto vac´ıo .
Sea la funci´on conjugada h : Rn
→ R de la funci´on dada g. El conjunto
{(y, a) : a ≥ g(x) − h(y , (y ∈ Dh, a ∈ R, ∀x ∈ Dg)}
es llamado ep´ıgrafo de h y este es denotado por epih.
DEFINICI´ON 2 (Ep´ıgrafo).
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