1. Calculodel Exponente de
Lyapunov de sistemas dinámicos
por medio del programa
educativo Interactive Physics
Miguel Bustamante S. Universidad Adolfo Ibañez
Patricio Pacheco INACAP
Sidney Villagran Universidad de Las Américas
1

2.  El exponente Lyapunov describe el
comportamiento de los vectores en el
espacio tangente al espacio-fase
 De manera sencilla, si todas las soluciones de un
sistema dinámico descrito por una función X(t) que se
encuentre cerca de un punto de equilibrio Xo en una
vecindad acotada por , entonces las trayectorias de la
función X(t) son estables según Lyapunov. De
manera fuerte, si la solución comienza en la vecindad
de X(0) y converge a Xo, entonces X(t) es
asintóticamente estable en el sentido de Lyapunov.
2

3. 3

4. Punto de Estabilidad
Supongamos que tenemos un sistema descrito por la
ecuaciones
x = f  x , y
˙
y =g  x , y 
˙
4

5. Puntos de Estabilidad
Puntos de Estabilidad
(0,0) y (5,2)
(0,0) y (5,2)
5

6. El Exponente Lyapunov o Exponente característico
Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad
que caracteriza el grado de separación de dos
trayectorias infinitesimalmente cercanas
Exponente de Lyapunov

6

7. Sistemas Físico, Dinámico
Masa resorte, sin perdida de
Energía
7

8. Sistema masa Resorte
El programa simula la siotuación, y exporta los
datos de magnitud de velocidad y magnitud de
posición, en formato txt (ASCII)
#Toggles grid snap on/offresorte
#Grid Snap
#Velocity of Square 5
#x Vx
0.417 0.000
0.462 1.816
0.597 3.545
0.814 5.104
1.103 6.416
1.450 7.417
1.839 8.058
2.250 8.309
2.663 8.155 λ=0, radio no
3.059 7.606 cambia
3.417 6.687
3.722 5.442
3.957 3.933
4.112 2.233
8

9. Resorte con masa oscilante en medio viscozo
9

10. #Toggles grid snap on/offresorte
#Grid Snap
#Velocity of Square 5 Time
#x Vx frame t
0.417 0.000 0.000 0.000
0.462 1.788 1.000 0.050
0.593 3.435 2.000 0.100
0.802 4.869 3.000 0.150
1.075 6.028 4.000 0.200
1.399 6.864 5.000 0.250
1.756 7.346 6.000 0.300
2.128 7.463 7.000 0.350
2.496 7.220 8.000 0.400
2.844 6.638 9.000 0.450
3.155 5.757 10.000 0.500
3.416 4.628 11.000 0.550
3.615 3.312 12.000 0.600
3.745 1.878 13.000 0.650
3.802 0.398 14.000 0.700
3.785 -1.055 15.000 0.750
3.698 -2.413 16.000 0.800
3.546 -3.614 17.000 0.850
3.340 -4.604 18.000 0.900
3.090 -5.344 19.000 0.950
2.810 -5.806 20.000 1.000
2.514 -5.975 21.000 1.050
2.217 -5.854 22.000 1.100
1.934 -5.456 23.000 1.150
1.676 -4.809 24.000 1.200
1.456 -3.953 25.000 1.250
Resultados 1.283 -2.934 26.000 1.300
1.165 -1.806 27.000 1.350
1.104 -0.627 28.000 1.400
1.102 0.546 29.000 1.450
1.157 1.656 30.000 1.500
10

11. #Resorte con viscosidad r(t)=Aexp(λt)
#on/offresorte
#t r
12.5000 0.16700
13.2000 0.13500
13.9000 0.10802
14.6000 0.08705
15.3000 0.06907
16.0000 0.05508
16.7000 0.04410
17.4500 0.03601
18.1500 0.02802
18.8500 0.02309
19.6500 0.01803
20.3000 0.01503
λ=-0,309
11

12. Con fuerza de roce
12

13. Toggles grid snap on/offresorte
Grid Snap
Velocity of Square 5 Time
x Vx frame t
0.417 0.000 0.000 0.000
0.459 1.665 1.000 0.050
0.581 3.203 2.000 0.100
0.776 4.545 3.000 0.150
1.031 5.635 4.000 0.200
1.334 6.428 5.000 0.250
1.669 6.894 6.000 0.300
2.018 7.019 7.000 0.350
2.365 6.808 8.000 0.400
2.693 6.279 9.000 0.450
2.988 5.469 10.000 0.500
3.236 4.422 11.000 0.550
3.427 3.197 12.000 0.600
3.554 1.865 13.000 0.650
13

14. # con roceon/offresorte
#t r
0.35 7.02593
1.05 4.87443
1.8 3.12554
2.55 0.64952
λ=-0,629
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15. Conclusiones
● Por medio del programa Interactive Physics, se
puede obtener las varibales de un sistema como
datos.
● Con estos datos, podemos obtener información,
como en este caso del exponente de Lyapunov.
● Se pueden modelar mas sistemas desde el punto
de la vista de la mecánica
15