CAPÍTULO N°5 - MOMENTOS DE FUERZA Y METODOS .pdf

Momento de una fuerza con respecto a un punto
- Consideramos una Fuerza F que actúa sobre un cuerpo sólido.
- F es una magnitud vectorial.
- El efecto que ejerce F sobre el sólido depende de su punto de aplicación “A”
- La posición de “A” puede definirse con el vector posición r.
- Los vectores r y F se encuentran en un mismo plano.
CAP. 5 - MOMENTOS Y SISTEMAS DE FUERZAS EQUIVALENTE

- Representando con 𝜃 el ángulo entre las líneas de acción del vector r y
la fuerza F , la magnitud de Mo quedaría:
𝑀𝑜 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝐹𝑑
- Donde “d” es la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción
de F.
- Se puede decir que la magnitud de Mo mide la tendencia de la fuerza F a
hacer rotar al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de Mo.

- Unidades:
- Para el Sistema Internacional: N.m
- Para el Sistema Británico: Lb. Ft ó Lb.in.

Momentos en Dos Dimensiones
- Consideramos una placa rígida sobre la que actúa una fuerza F.
- EL momento de F con respecto al punto O está representado por el
vector Mo. ¿Cuál sería su dirección y sentido?

- Mo es perpendicular a la placa y el sentido del vector sería saliendo
de la placa.
- La fuerza tiende a hacer rotar la placa en un sentido antihorario.
- ¿Qué pasaría si la fuerza F estaría en sentido contrario?

- Mo es perpendicular a la placa y el sentido del vector sería entrando
a la placa.
- La fuerza tiende a hacer rotar la placa en un sentido horario.

Teorema de Varignon
- Tenemos un sistema de fuerzas concurrentes en el punto A

Consideramos una fuerza F sobre un sólido rígido.
5.7.- Descomposición de una Fuerza en una Fuerza y un Par.
A .
0.
Se puede desplazar dicha fuerza a otro punto fuera de su línea soporte, sin
alterar su efecto sobre el sólido.
¿Cómo se logra?
1.- Se traslada la fuerza al punto de interés.
2.- Se coloca un par, cuyo momento sea igual
al momento que genera F respecto al
punto de interés.
3.- El sistema quedaría reducido a una fuerza
y un momento par.
ത
𝐅
ത
𝐅
-ത
𝐅
ҧ
r
M0
¿Qué pasaría si trasladamos la fuerza a un punto de su misma recta soporte?
¿Qué pasaría si traslado la fuerza a otro punto arbitrario O´?

5.7.- Descomposición de una Fuerza en una Fuerza y un Par.
A .
0.
ത
𝐅
M0
¿Qué pasaría si traslado la fuerza a otro punto arbitrario O´?
0´.
-ത
𝐅
ഥ
r´
M´0 M´𝑇
ത
𝐅
Donde:
M´𝑇 =M0 + M´0

5.8.- Sistemas Equivalentes de Fuerzas
Dos sistemas de fuerzas son equivalentes, si éstas ejercen sobre el cuerpo
el mismo empuje neto y la misma acción neta de giro (momentos).
Sistema I Sistema II
x
y
z
F1
F2 F3
F4
x
y
z
F1´
F2´ F3´
F4´
Si se cumple que:
෍ ത
F = ෍ ഥ
F´
෍ ഥ
M = ෍ M´
Se puede afirmar que los dos sistemas son
Equivalentes.

5.8.- Sistemas Equivalentes de Fuerzas
También se debe de cumplir la igualdad entre las componentes rectangulares
de las fuerzas y los momentos.
෍ F𝑥 = ෍ Fx´
෍ Fy = ෍ Fy´
෍ Fz = ෍ Fz´
෍ M𝑥 = ෍ Mx´
෍ My = ෍ My´
෍ Mz = ෍ Mz´

5.9.- Reducción de un Sistema de Fuerzas a una Fuerza y un Par
Tenemos un sistema de fuerzas: F1, F2, F3, … … . , F𝑛 aplicados en un sólido en
los puntos: A1, A2, A3, …….., A𝑛.
F1
A1
F2
F3
F𝑛
A2
A3
A𝑛
Trasladamos cada una de las fuerzas al
Punto de interés O, generando varios
momentos pares debido a dicho traslado.
O.
ഥ
r1
ഥ
r2
ഥ
r3
ഥ
r𝑛
M1
M2
M3
M𝑛
F𝑅
Sumamos todas las Fuerzas y Momentos.
M𝑅
F𝑅 = F1 + F2 + F3 + ⋯ + F𝑛
M𝑅 = M1 + M2 + M3 + ⋯ + M𝑛
Estos dos vectores no necesariamente son
perpendiculares entre sí.

Ejercicio
Se aplican fuerzas a los puntos A, B y C de la barra presentada en la figura,
sustituir el sistema de fuerzas indicado por una fuerza y un par ubicado en el
Origen de coordenadas.

5.10.- Reducción de un Sistema de Fuerzas Especiales a una Única Fuerza
Los sistemas de fuerzas se pueden reducir a una sola fuerza cuando la ഥ
R
y el momento de dicha resultante con respecto a un punto son perpendiculares
entre sí.
=
Mejor dicho todo lo contrario a la descomposición de una fuerza en
una fuerza y un momento par.
Dicha condición de perpendicularidad es difícil tenerla en 3D, solo puede
darse en algunos casos especiales de sistemas de fuerzas:

a) Sistemas de Fuerzas Concurrentes:
=
- Son fuerzas aplicadas en el mismo punto.
- Pueden ser sumadas y obtener una Fuerza Resultante.
- Siempre se reduce a R.
- σ M = 0

b) Sistemas de Fuerzas Coplanarias:
=
- Son fuerzas que actúan en el mismo plano.
- La Resultante estará en el mismo plano.
- El momento resultante será perpendicular a dicho plano.

Trasladando la Fuerza Resultante hasta que se obtenga el mismo
Momento Resultante.
=
Donde d =
M0
ഥ
R

Para hallar la ubicación exacta del punto de aplicación de la resultante:
1.- Se descompone R en Rx y Ry.

2.- Se traslada Rx y Ry en cada uno
de los ejes cartesianos hasta
obtener un momento Mo para
cada componente
d𝑥 =
M0
R𝑦

2.- Se traslada Rx y Ry en cada uno
de los ejes cartesianos hasta
obtener un momento Mo para
cada componente
d𝑥 =
M0
R𝑦
d𝑦 =
M0
R𝑥

c) Sistemas de Fuerzas Paralelas:
La Resultante tendrá la misma dirección paralela a las fuerzas.
=

c) Sistemas de Fuerzas Paralelas:
Trasladando la Resultante a un punto que cumpla con la generación
del Momento Resultante reduciríamos el sistema a una sola Fuerza.
=
Donde se cumple que: M𝑜 = ҧ
r x ഥ
R

Ejercicio
Se aplican 4 fuerzas y un par a una placa rectangular, tal como se indica
en la figura. Se pide:
a) Determinar el sistema fuerza-par en el origen de coordenadas equivalente
al sistema, en el origen de coordenadas.
b) Hallar la distancia en el eje x, desde el punto “O” a la intersección con el
eje x de la recta soporte de la fuerza única.

5.11.- Reducción de un Sistema de Fuerzas a un Torsor
¿Qué es un TORSOR?

Tenemos un sistema de una Resultante con un Momento Par, cuyo ángulo
formado entre sus vectores es distinto de 90°.
O

Para formar un Torsor necesitamos descomponer el Momento Par en dos
vectores, uno paralelo a la Fuerza Resultante y otro perpendicular al mismo.
O

Para formar un Torsor necesitamos descomponer el Momento Par en dos
vectores, uno paralelo a la Fuerza Resultante y otro perpendicular al mismo.
El Momento perpendicular puede ser sustituido por la misma Fuerza R
trasladada a una nueva recta soporte.
Cuyo paso Torsor viene definido por P =
M𝐼𝐼
R
=
M𝑜.𝑒𝑅
R
=
M𝑜.ഥ
R
R2

Ejercicio
Una plancha de acero es entornillada a una pieza de madera por medio
de dos torsores aplicados en los tornillos en A y B. Se pide:
a) Reducir las fuerzas y los pares aplicados a los tornillos A y B a un torsor
equivalente.
b) Hallar el punto del eje central que corta al plano xy.

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