Investigación Sobre Cosenos Directores de una Recta en el Espacio

1. RepúblicaBolivarianade Venezuela
Ministeriodel Poder Popular parala EducaciónUniversitaria,
Cienciasy Tecnología.
InstitutoUniversitarioPolitécnicoSantiago Mariño
Área: geometría analítica
Carrera: Ingenieríaelectrónica
Código: 44
Facilitador:
Domingo Méndez
Estudiante:
C.I. 27. 313.993 Luis Meza
Abril, 2019
COSENOS DIRECTORES DE
UNA RECTA EN EL ESPACIO.

2. COSENOS DIRECTORES:
La dirección de una recta
cualquiera en el espacio se
determina por los ángulos
que forma con los ejes
coordenados.
Ejemplo: Sea l cualquier
rectadirigidaen el espacio
que no pasapor el origen( 0
), y tenemos otra rectal’ que
si pasa por el origen, es
paralela a l y en el mismo
sentido, entonces los
ángulos α, β , y y formados
por las partes positivas de
los ejes X, Y y Z, y la recta se
llamanángulos directores
de la recta dirigidal .

3. Se llaman Cosenos directores del vector Å a los cosenos
de los ángulos que forman cada uno de los ejes
coordenados. En un plano tridimensional se
representan:

4. En la resolución de nuestros
problemas, veremos que
generalmente es mas conveniente
usar los cosenos de los ángulos
directores en lugar de los ángulos
mismos. Estos cosenos, cos a , cos
β , cos y , se llamancosenos
directores de la recta dirigida l. Si
las rectas fuesende sentido
opuestos sus valores serian
iguales pero con el signo opuesto
en este caso serian -cos a , -cos β y
-cos y. Si determinamos los
cosenos directores de una rectal
que pasa por los puntos
P1 (x1, y1, z1 )
P2 (x2, y2, z2)
Por cada uno de los puntos P1 y P2, debemos pasarplanos paralelos
a los coordenados, formando así un paralelepípedorecto
rectangular cuya diagonal es P1 P2 , y cuyas aristas paralelas a los
ejes X, Y y Z son, respectivamente, P1V1, P1 V2, P1V3 ,. Si cadaarista
tiene el mismo sentido que el eje a que es paralela, los ángulos
directores son: α= ángulo P2 P1 v1
β= ánguloP2 P1 V2
y= ánguloP2 P1 V3

5. Ahoraconsideremos ( b ) , (c) y ( d ) ] los tres triángulos
rectángulosformados por los dos puntos P1 y P2 y cada uno de
los vértices V1 , V2 y V3. Paracada unode estos triángulossea d=
lP1 P2l, en que d se determinasegún el siguienteteorema:
P1V1 = x2 - x1
P1 V2 = y2 - y1
P1 V3 = Z2 - Z1
Por tanto, de los tres triángulos, tenemos, paralos cosenos
directores: Si elevamos al cuadradoambos miembros de cada
una de las ecuaciones y sumamos, obtenemos:
𝐜𝐨𝐬𝛂 =
𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏
𝒅
𝐜𝐨𝐬 𝜷 =
𝒚 𝟐− 𝒀 𝟏
𝒅
𝐜𝐨𝐬 𝒚 =
𝒛 𝟏 − 𝒛 𝟏
𝒅

6. Si elevamos al cuadrado ambos miembros de cada una
de las ecuaciones y sumamos, obtenemos:
𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜶 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜷 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐
=
𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 𝟐 + 𝒛 𝟐 − 𝒛 𝟏 𝟐
𝒅 𝟐
Tambiéntenemos que:
𝒅 𝟐
= 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 2+ 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 𝟐 + 𝒛 𝟐 − 𝒛 𝟏 2
Por lo tantoaplicamos un teorema muy importante
que dice:
La suma de los cuadrados de los cosenos directores de
cualquier recta es igual a la unidad
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜷 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚 = 𝟏