TEMA 1

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
AREA DE TECNOLOGIA
COMPLEJO ACADEMICO “EL SABINO”
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMATICA
U
UN
NE
EF
FM
M
GUIA DE ESTUDIO
PARA LA UNIDAD CURRICULAR
MATEMATICA V

2. Guía de estudio Matemática V
2
TEMA 1
SISTEMAS Y ERRORES NUMERICOS
Antes de tratar los métodos numéricos y sus aplicaciones, es necesario entender
el concepto de error, como una característica presente en la mayor parte de las
técnicas numéricas de cálculo.
Es tal la importancia del error, que en la práctica profesional, los errores pueden
llegar a resultar costosos y, en algunas ocasiones, catastróficos. Si una estructura
o un dispositivo falla, esto puede costar vidas. Por ende es un deber de los
estudiantes y los practicantes de ingeniería trabajar constantemente en limitar este
tipo de errores en sus actividades.
1.1. SISTEMAS NUMERICOS:
A lo largo de la historia se han usado multitud de sistemas numéricos. En realidad,
cualquier número mayor que 1 puede ser utilizado como base. Algunas
civilizaciones usaban sistemas basados en los números 3, 4 o 5. Los babilonios
utilizaron el sistema sexagesimal, basado en el número 60, y los romanos (en
ciertas aplicaciones) el sistema duodecimal, con el número 12 como base. El
sistema binario, o en base 2, fue usado por algunas tribus antiguas.
Sistemas numéricos: Se conocen como tales a varios sistemas de notación que
se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas
números.
Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base es el número
de símbolos diferentes (llamados guarismos) necesarios para representar un
número cualquiera, de los infinitos posibles, en el sistema. En los sistemas

3. Guía de estudio Matemática V
3
posicionales, la posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los
valores exponenciales de la base.
1.1.1. Sistema decimal:
El sistema decimal, utilizado hoy de forma universal (con la excepción de los
ordenadores o computadoras), necesita diez símbolos diferentes o dígitos para
representar un número —0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9— y es, por tanto, un sistema
numérico en base 10.
En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos
depende de su posición en el número completo.
Por ejemplo, el número 3.098.323 es la representación de (3 × 106) + (0 × 105) +
(9 × 104) + (8 × 103) + (3 × 102) + (2 × 101) + (3 × 100).
El primer 3 (empezando por la derecha) representa 3 unidades; el segundo, 300
unidades y el tercero, 3 millones de unidades.
1.1.2. Comparación entre el sistema decimal y el binario:
Dos dígitos —0 y 1— son suficientes para representar un número en el sistema
binario.
Los ordenadores o computadoras normalmente procesan los números decimales
en forma binaria. Por ejemplo, en el sistema decimal codificado en binario (BCD)
cada uno de los dígitos decimales del 0 al 9 se codifica con 4 bits. Los cuadros de
esta tabla son similares a los grupos de cuatro bits del BCD.

4. Guía de estudio Matemática V
4
ACTIVIDAD No. 1
1. ¿Cómo se representan los números en los sistemas numéricos sextil, Octal y
hexadecimal? Ilustre mediante ejemplos.
2. ¿Porque los ordenadores o computadoras normalmente procesan los números
decimales en forma binaria? Ilustre mediante ejemplos las operaciones aritméticas
con números en base 2 (Suma, resta, multiplicación)
3 ¿Cuál es el significado de las siglas IEEE, AIEE, IRE, ANSI?. Agregue el
significado de otras siglas relacionadas.
1.2. ERRORES NUMERICOS:
Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar
operaciones y cantidades matemáticas exactas. Estas incluyen los errores de
redondeo o corte de cifras significativas y los errores por truncamiento que
resultan del empleo de aproximaciones en lugar de un procedimiento matemático
exacto.
1.2.1. Error absoluto y relativo:
Si p* es una aproximación de p, el error absoluto es:
*
p
p
E 
 = Valor verdadero – valor aproximado
el error relativo es:
Er =
p
p
p *

=
Y el error relativo porcentual es:
Er% = Er x 100%
1.2.2. Redondeo:
Redondeo es el proceso mediante en el cual se eliminan decimales a un número
tomando en cuenta su significancia.
Reglas de redondeo
1. Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se
modifica.
Ejemplo: 2,65412. Redondeando a 4 decimales se debe tener en cuenta que
el quinto decimal es 2<5: 2,65412 ≈ 2,6541.
Valor verdadero – valor aproximado
Valor verdadero

5. Guía de estudio Matemática V
5
Er = 6
10
5355
,
7
65412
,
2
6541
,
2
65412
,
2
* 




x
p
p
p
2. Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior
se incrementa en una unidad.
Ejemplo: 2,045615. Redondeando a 5 decimales se debe tener en cuenta el
sexto decimal es 5≥5: 2,045615= 2,04562.
Er = 6
10
44425
,
2
045615
,
2
04562
,
2
045615
,
2
* 




x
p
p
p
1.2.3. Corte:
Corte es el proceso mediante en el cual se eliminan decimales sin tomar en cuenta
su significancia.
Ejemplo: 2,65419. Corte a 4 decimales: 2,65419 ≈ 2,6541.
Er = 5
10
3909
,
3
65419
,
2
6541
,
2
65419
,
2
* 




x
p
p
p
Si el mismo número se redondea a 4 decimales: El quinto decimal es 9>5:
2,65419 ≈ 2,6542.
Er = 6
10
7676
,
3
65419
,
2
6542
,
2
65419
,
2
* 




x
p
p
p
Observe que el error al redondear el número es menor que cuando es
cortado.
ACTIVIDAD No. 2
1. Calcule el error absoluto y relativo en las aproximaciones de p=2,65419, si p*
se obtuvo mediante redondeo o corte con 1, 2 y 3 decimales.
p* Error absoluto Error relativo
1 Redondeo
Corte
2 Redondeo
Corte
3 Redondeo
Corte
Escriba sus conclusiones al respecto.

6. Guía de estudio Matemática V
6
2. Determine el mayor intervalo en que debe estar p* para aproximar a p con un
error relativo a lo sumo de 10-4 para cada valor de p
a)  b) e c) 2 d) 3
7
3. Suponga que se tiene que medir la longitud del ala de un avión y la de un
remache, y se obtiene 9995 y 9 cm respectivamente. Si los valores de diseño son
10000 y 10 cm. Usted como responsable de seguridad deberá decidir el criterio a
utilizar en cada caso para rechazar el elemento que usted considere que no
cumple con las condiciones de diseño.
1.2.4. Representación del Punto flotante:
Es un método de representación de números reales que se puede adaptar al
orden de magnitud del valor a representar, usualmente trasladando el punto
decimal —mediante un exponente— hacia la posición de la primera cifra
significativa del valor. El estándar de la IEEE (IEEE Standard for Binary Floating-
Point Arithmetic ANSI/IEEE Std 754-1985) es el estándar más extendido para las
computaciones en punto flotante.
Forma decimal normalizada:
Ejemplo:
Dados los siguientes números reales: 3135.07; 0.04576 y 69233704.063.
expreselos en notación de punto flotante normalizado, redondeando a 5 dígitos
significativos.
Solución:
En punto flotante normalizado, la mantisa tiene primero cero dígito, asi se
obtienen: 0.31351×104 ; 0.45760×10-1 y 0.69234×108.
Como se observa en estos ejemplos, el punto decimal se ha desplazado hacia la
derecha o hacia la izquierda para obtener la misma estructura en la notación.
Aritmética de números en punto flotante:
Ejemplo:
Dados los siguientes números reales: x = 5/7 e y =100/3, use la aritmética de
números en punto flotante cortando a 5 dígitos significativos para calcular:
a) x + y , b) x – y , c) x x y , d) x / y
Solución:
Expreselos en notación de punto flotante normalizado, cortando a 5 dígitos
significativos.
x ≈ 0.71428 x 100, x ≈ 0.33333 x 102

7. Guía de estudio Matemática V
7
a) x + y El número con el exponente menor se modifica de tal forma que los
exponentes sean los mismos:
0.0071428 x 102
0.33333 x 102
0.3404728 x 102
El resultado se normaliza y es cortado a 0.34047 x 102
b) x – y Similar a la suma en cuanto a los exponentes:
0.0071428 x 102
-0.33333 x 102
-0,3261872 x 102
El resultado se normaliza y es cortado a -0.33261 x 102
c) x × y Se multiplican las mantisas y se suman los exponentes:
0.71428 x 100 x 0.33333 x 102 = 0.2380909524 x 102
El resultado se normaliza y es cortado a 0.23809 x 102
d) x  y Se dividen las mantisas y se restan los exponentes:
0.71428 x 100 / 0.33333 x 102 = 2.142861429 x 10-2
El resultado se normaliza y es cortado a 0.21428 x 10-1
ACTIVIDAD No. 3
1. Sea 2
3
1
1
)
(
x
x
f

 . ¿Esperaría el estudiante dificultades para evaluar )
(
' x
f en
x = 0,57735? Inténtelo con aritmética de 3 y 4 dígitos con corte.
2. Evalúe el polinomio 35
.
0
8
7 2
3



 x
x
x
y en x = 1.37. Utilice aritmética de 3
dígitos con corte. Evalúe el error relativo porcentual. Si el polinomio dado se
expresa como   35
.
0
8
)
7
( 


 x
x
x
y Evalúe el error relativo porcentual y
compárelo con el anterior.
3. Sea
senx
x
senx
x
x
x
f



cos
)
( Use aritmética de redondeo a cuatro cifras para
evaluar )
1
,
0
(
f . Si el valor real es )
1
,
0
(
f =-1.99899998, determine el error relativo
para el valor obtenido

8. Guía de estudio Matemática V
8
1.2.5. Error de Truncamiento:
Estos son debidos al empleo de aproximaciones en lugar de un procedimiento
matemático exacto. En particular ocurre cuando se utiliza parte de una serie que
tiene un número infinito de términos como aproximación.
1.2.6. Serie de Taylor:
En cálculo, el Teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico
Brook Taylor, quien lo enunció en 1712. Este teorema permite aproximar una
función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a, mediante un
polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese
punto.
Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que
contiene a y x, entonces el valor de la función en x esta dado por:
Rn
a
x
n
a
f
a
x
a
f
a
x
a
f
a
f
x
f n
n











 )
(
!
)
(
)
(
!
2
)
(
)
(
!
1
)
(
'
)
(
)
(
)
(
2
)
2
(
Rn
a
x
k
a
f
x
f k
n
k
k


 

)
(
!
)
(
)
(
1
)
(
Donde n! denota el factorial de n, y Rn se llama el termino del residuo (o error de
truncamiento). Existen dos expresiones para Rn que se mencionan a continuación:
dt
t
f
n
t
x
R n
n
x
a
n )
(
!
)
( )
1
( 

  forma integral del residuo
1
)
1
(
)
(
!
1
)
( 



 n
n
n a
x
n
f
R

forma de Lagrange del residuo
1.2.7. Serie de Maclaurin:
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
Rn
x
n
f
x
f
x
f
x
f
f
x
f n
n







!
)
0
(
...
!
3
)
0
(
!
2
)
0
(
!
1
)
0
(
'
)
0
(
)
(
)
(
3
)
3
(
2
)
2
(
Ejemplo
4. Sea
senx
x
senx
x
x
x
f



cos
)
( reemplace cada función trigonométrica por su tercer
polinomio de Maclaurin. Si el valor real es )
1
,
0
(
f =-1.99899998, determine el error
relativo para el valor obtenido
Solución:
El polinomio de Maclaurin está dado por:

9. Guía de estudio Matemática V
9
3
)
3
(
2
)
2
(
!
3
)
0
(
!
2
)
0
(
)
0
(
'
)
0
(
)
( x
f
x
f
x
f
f
x
f 



Para la función )
cos(
)
( x
x
g 
1
)
0
cos(
)
0
(
)
cos(
)
( 


 g
x
x
g
0
)
0
(
)
0
(
'
)
(
)
(
' 




 sen
g
x
sen
x
g
1
)
0
cos(
)
0
(
'
'
)
cos(
)
(
'
' 





 g
x
x
g
0
)
0
(
)
0
(
))
(
(
)
(
'
'
' 




 sen
g
x
sen
x
g
2
2
1
1
)
cos( x
x 

Para la función )
(
)
( x
sen
x
h 
0
)
0
(
)
0
(
)
(
)
( 


 sen
g
x
sen
x
h
1
)
0
cos(
)
0
(
'
)
cos(
)
(
' 


 h
x
x
h
0
)
0
(
)
0
(
'
)
(
)
(
'
' 




 sen
h
x
sen
x
h
1
)
0
cos(
)
0
(
)
cos(
)
(
'
'
' 





 h
x
x
h
3
6
1
)
( x
x
x
sen 

sustituyendo:
2
6
1
3
1
6
1
6
1
2
1
6
1
6
1
2
1
1
)
(
3
3
3
3
3
3
3
2


































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
)
1
.
0
( 

f
             











x
y
Er = 4
10
0026
.
5
99899998
.
1
)
2
(
99899998
.
1
* 







x
p
p
p
        








x
y
        








x
y

10. Guía de estudio Matemática V
10
ACTIVIDAD No. 4
1. Obtenga la serie de Maclaurin para las funciones que a continuación se
indican.
a) x
e
x
f 
)
( b) )
(
)
( x
sen
x
f  c)
x
x
f


1
1
)
(
Grafique la serie y la función, variando n
2. Los primeros términos no nulos de la serie de Maclaurin para la función arco
tangente son 5
3
5
1
3
1
x
x
x 
 . Calcule el error absoluto y el error relativo al usar
el polinomio dado en lugar de la función arco tangente en la expresión





















3
1
arctan
2
1
arctan
4
3. El número e se puede definir como 

0 !
1
n n
. Calcule el error absoluto y el error
relativo en las siguientes aproximaciones de e .
a) 

5
0 !
1
n n
b) 

10
0 !
1
n n
4. Sea
x
e
e
x
f
x
x 


)
( (a) Use aritmética de redondeo a tres cifras para evaluar
)
1
,
0
(
f . (b) Reemplace cada función exponencial por su tercer polinomio de
Maclaurin y repita el inciso (b).Si el valor real es )
1
,
0
(
f = 2.003335000, determine
el error relativo para los valores obtenido en (a) y (b)
WINPLOT
Para la elaboración de las graficas se pone a
disposición de todos los estudiantes del
programa educativo WINPLOT.
Podrá descargar una guía ilustrativa para el
uso del programa en la dirección
www.neptalifranco.blogspot.com