Jhan Mendez 27224466

1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Departamento de Formación General
Escuela de Ingeniería de Mantenimiento Mecanico
Cabudare - Edo Lara
Alumno:
Jhan Mendez
V.-27.224.466
Cabudare, Noviembre del 2017
Análisis Numérico

2. El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de
las matemáticas encargada de diseñar algoritmos para, a través de números y
reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos
aplicados a procesos del mundo real.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores.
Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente
complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones
matemáticas simples.
Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo
el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos
matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en
algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos
empleando números.
Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto
de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden
llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez
alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo
y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un
ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo
deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del
problema.
Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación,
tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como
los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación en ordenadores
de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del
empleado por la matemática convencional.
En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como
solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos"
(manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos
de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son
procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha
visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la
precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por
ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran
mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos
medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.
Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:
 Problemas de dimensión finita: aquellos cuya respuesta son un conjunto
finito de números, como las ecuaciones algebraicas, los determinantes, los
problemas de valores propios, etc.
 Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya solución o
planteamiento intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de

3. números, como integración y derivación numéricas, cálculo de ecuaciones
diferenciales, interpolación, etc.
Clasificación atendiendo a su naturaleza o motivación[editar]
Asimismo, existe una subclasificación de estos dos grandes apartados en tres
categorías de problemas, atendiendo a su naturaleza o motivación para el empleo
del cálculo numérico:
 Problemas de tal complejidad que no poseen solución analítica.
 Problemas en los cuales existe una solución analítica, pero ésta, por
complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la
práctica.
 Problemas para los cuales existen métodos sencillos pero que, para elementos
que se emplean en la práctica, requieren una cantidad de cálculos excesiva;
mayor que la necesaria para un método numérico.

1. REPRESENTACIONES DE NÚMEROS EN UNA MÁQUINA Y ERRORES
La mayoría de las computadoras hacen los cálculos aritméticos usando el sistema
binario (base 2) y no el sistema decimal (base 10). Cuando se introducen números
en base 10, la computadora los convierte en números en base 2 (0 quizás en base
16), lleva a cabo los cálculos en base 2 y finalmente presenta los resultados en
base 10. La computadora al convertir el número en base 10 a base 2 utiliza la
llamada representación de punto flotante y en muchos casos trabaja con
aproximaciones de los números que quiere representar dando lugar a errores en
los cálculos.
Antes de presentar la representación de punto flotante de un número real se
realizará un breve repaso sobre sistemas numéricos y notación científica.
Si x es un número real entonces la representación de x en una base b es:
,donde ei y dj son dígitos entre
0 y b – 1.
Si el valor de x se escribe en una forma más explícita entonces el valor de x es:
A continuación se escriben los números x = 13.625 y y = 401.3 en base 10, 2, 8 y
16.

4. Ejemplo 1. (sistema decimal o base 10)
Observe que se utilizan potencias de 10 junto con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9.
Ejemplo 2. (sistema binario o base 2)
Para representar un número en binario se descompone el número en potencias de
2 y sólo se escribe utilizando los dígitos 0 y 1.
Los subíndices 10 y 2 indican la base en la que se encuentra el número.
Ejemplo 3. (sistema octal o base 8)
Para representar un número en octal se descompone el número en potencias de 8
y si el resultado no es exacto se multiplican las potencias por dígitos del 0 al 7. El
número se escribe usando los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

5. Ejemplo 4. (sistema hexadecimal o base 16)
Para representar un número en base 16 se descompone el número en potencias
de 16 y si el número no es exacto se multiplican las potencias por dígitos del 0 al
15; se usan las letras A,B,C,D,E y F en vez de los números del 10 al 15.
Definición
Un número real x se dice que está escrito en notación científica si tiene la forma:
x = ±M ×10n
donde 1 M < 10 (si x 0) y n es un entero. M se conoce como la
mantisa, 10 es la base y n es el exponente o característica.
Por ejemplo: x = 1231 = 1.231×103
y = - 0.0000738 = - 7.38 ×10-5
De la misma forma se puede utilizar la notación científica en el sistema binario. En
este caso x = ±M ×2n donde 1 M < 2 (si x 0) y n es un entero.
Por ejemplo x = (1101.101)2 = (1.101101)2 ×23.
Tipos de Errores
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar
las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen de truncamiento que
resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y
los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números
exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o
verdadero y el aproximado está dado por:

6. E = P* - P
Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una
fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos
tipos de errores que se utilizan en los cálculos:
Error absoluto.
Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede
ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la
resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto
definido como:
EA = | P* - P |
Error relativo.
Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica
por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto
puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser
por exceso o por defecto. no tiene unidades.
Y el error relativo como
ER = | P* - P| / P , si P =/ 0
El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:
ERP = ER x 100
Ejemplo:
Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache,
obteniendose 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 10 000 y 10 cm,
calcúlese a) el error y b) el error relativo porcentual de cada caso.
Solución: a) El error de medicion del puente es:
EA = 10 000 - 9 999 = 1cm
y para el remache es de
EA = 10 - 9 = 1cm
b) El error relativo porcentual para el puente es de:
ERP = 1/ 10 000 x 100% = 0.01%

7. y para el remache es de
ERP = 1/10 x 100% = 10%
por lo tanto ambas medidas tiene un erro de 1 cm, el error relativo procentual del
remache es mucho m´s grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen
trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja
mucho que desear.
Errores de Redondeo
Error de redondeo. La casi totalidad de los números reales requieren, para su
representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo
sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su representación,
procediéndose a su determinación mediante un adecuado redondeo.
Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un
número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan
esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si sólose guardan siete cifras
significativas, la computadora puede alamcenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592,
omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo.
Ya que la mayor parte de las computadoras tiene entre 7 y 14 cifras significativas,
los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos
razones del porqué pueden resultar crítico en algunos métodos numéricos:
1. Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener
una respuesta. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual
puede ser pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran
cantidad de cálculos puede ser significativo.
1. El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo
operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes
al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos
numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.
Reglas de Redondeo
Las siguientes reglas dan la pauta a seguir en el redondeo de números cuando se
realizan cálculos a mano.
1. En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se
descarta. El último dígito que se conserva se aumenta en uno si el
primer dígito descartado es mayor de 5. De otra manera se deja igual.

8. Si el primer digito descartado es 5 o es 5 segundo de ceros. entonces el
último dígito retenido se incrementa en 1, sólo si es impar.
2. En la suma y en la resta, el redondeo se lleva acabo de forma tal que el
último dígito en la columna de las milésimas.
3. Para la multiplicación y para la división el redondeo es tal que la
cantidad de cifras significativas del resultado es igual al número más
pequeño de cifras significativas que contiene la cantidad en la
operación.
4. Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos
generales. Se puede sumar o restar el resultado o de las divisiones.
(Multiplicación o División) +/- (multiplicación o división)
o también se pueden multiplicar o dividir los resultados de las sumas y las restas.
Ejemplos:
Los siguientes ejemplos tiene por objeto ilustrar las reglas de redondeo.
5.6723 -------------------------- 5.67´ 3 Cifras Significativas
10.406 ---------------------------- 7.4 4 Cifras Significativas
10.406 ---------------------------- 7.4 2 Cifras Significativas
88.21650 ------------------- 88.216 5 Cifras Significativas
1.25001 -------------------------- 1.3 2 Cifras Significativas
Errores de Truncamiento
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación
en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener
conocimineto de las características de estos errores se regresa a la formulación
matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar
Funciones en forma polinomial: Serie de Taylor
Por ejemplo:
La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un
punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en
un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un
punto x está dado por:
La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un
polinomio de n-ésimoorden.

9. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o
sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de
términos.
El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de
términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución
verdadera para propósitos prácticos.
¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?
La ecuación para el término residual se puede expresar como:
Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1
. El error es proporcional al
tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.