Calculo Numerico y manejo de errores (teoria)

1. Milagros López
Ingeniería Electrónica (44)
Análisis Numérico

2. El análisis numérico es una rama de la
matemática cuyos limites no son del todo
precisos. Se puede definir como la disciplina
ocupada de describir, analizar y crear algoritmos
numéricos que nos permitan resolver problemas
matemáticos, en los que estén involucradas
cantidades numéricas, con una precisión
determinada

3. Un algoritmo es un procedimiento que nos
puede llevar a una solución aproximada de un
problema mediante un número de pasos finitos
que pueden ejecutarse de manera lógica. En
algunos casos, se les da el nombre de métodos
constructivos a estos algoritmos numéricos.

4. Los métodos numéricos son técnicas
mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma que
puedan resolverse usando operaciones
aritméticas. El análisis numérico trata de
diseñar métodos para “ aproximar” de una
manera eficiente las soluciones de problemas
expresados matemáticamente.

5. El objetivo principal del análisis numérico es
encontrar soluciones “aproximadas” a
problemas complejos utilizando sólo las
operaciones más simples de la aritmética. Se
requiere de una secuencia de operaciones
algebraicas y lógicas que producen la
aproximación al problema matemático.

6. Ser aplicados para resolver procedimientos
matemáticos en: Cálculo de derivadas Integrales
Ecuaciones diferenciales Operaciones con matrices
Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios.

7. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para
resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de
derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales
Operaciones con matrices Interpolaciones Ajuste de
curvas Polinomios Los métodos numéricos se aplican en
áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química,
Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería
eléctrica.

8. Es un sistema numérico que consta de dos dígitos:
Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término
"representación máquina" o "representación binaria"
significa que es de base 2, la más pequeña posible;
este tipo de representación requiere de menos
dígitos, pero en lugar de un número decimal exige
de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de
que la unidad lógica primaria de las computadoras
digitales usan componentes de apagado/prendido, o
para una conexión eléctrica abierta/cerrada.

9. Son aquellos números cuya representación viene dada
de la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £
9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k"; De lo antes
descrito, se indica que las maxi computadoras IBM
(mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £
76

10. • Medir es comparar cierta cantidad de una magnitud, con
otra cantidad de la misma que se ha elegido como
unidad patrón. Por ejemplo, para medir longitudes las
comparamos con su unidad patrón, el metro.
• Magnitud es cualquier propiedad de un cuerpo que
puede ser medida.

11. Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o
indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de
los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de
errores que se utilizan en los cálculos:
• Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la
medida y el valor tomado como exacto. Puede ser
positivo o negativo, según si la medida es superior al
valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa).
Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
• Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error
absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se
obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el
error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo
sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o
por defecto. no tiene unidades.

12. • Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para
intentar neutralizar el error accidental.
• Se tomará como valor real (que se acerca al valor
exacto) la media aritmética simple de los resultados.
• El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada
una de las medidas y ese valor tomado como exacto (la media
aritmética).
• El error relativo de cada medida será el error absoluto de la
misma dividido por el valor tomado como exacto (la media
aritmética).

13. Ejemplo 1. Medidas de tiempo de un recorrido
efectuadas por diferentes alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s;
3,15 s
• Error absoluto y relativo de cada medida.
• Valor que se considera exacto.
Medidas Errores absolutos Errores relativos
3,01 s 3,01 - 3,12 = - 0,11 s -0,11 / 3,12 = - 0,036
(- 3,6%)
3,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s -0,01 / 3,12 = -0,003 (-0,3%)
3,20 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s +0,08 / 3,12 = + 0,026
(+ 2,6%)
3,15 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s +0,03 / 3,12 = + 0,010
(+ 1,0%)

14. • 1.-Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa
Una cota para el error relativo es:
• Cota de error relativo=cota del error absoluto/valor real.
Ejemplo nº 1.-
Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al
hacer las siguientes aproximaciones:
a) Precio de una casa: 275 miles de €.
b) 45 miles de asistentes a una manifestación.
c) 4 cientos de coches vendidos.
Solución:
a) |Error absoluto| < 500 €
error relativo<500/275000=0,0018
b) |Error absoluto| < 500 personas
error relativo=500/45000=0,011
c) |Error absoluto| < 50 coches
error relativo<50/400=0,125

15. • Existen dos causas principales de errores en los cálculos
numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El
Error de Redondeo se asocia con el número limitado de
dígitos con que se representan los números en una PC (para
comprender la naturaleza de estos errores es necesario
conocer las formas en que se almacenan los números y
como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC).
• El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones
utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de
Taylor es el medio más importante que se emplea para
obtener modelos numéricos y analizar los errores de
truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de
truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno
finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).

16. • Los errores numéricos se generan al realizar
aproximaciones de los resultados de los cálculos
matemáticos y se pueden dividir en dos clases
fundamentalmente: errores de truncamiento, que
resultan de representar aproximadamente un
procedimiento matemático exacto, y los errores de
redondeo, que resultan de representar
aproximadamente números exactos. En cualquier
caso, la relación entre el resultado exacto y el
aproximado está dada por: Valor verdadero = valor
aproximado + error, de donde se observa que el error
numérico está dado por: Ev = valor verdadero - valor
aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del
error.

17. El error de redondeo se debe a la naturaleza
discreta del sistema numérico de máquina de
punto flotante, el cual a su vez se debe a su
longitud de palabra finita. Cada número (real) se
reemplaza por el número de máquina más
cercano. Esto significa que todos los números
en un intervalo local están representados por un
solo número en el sistema numérico de punto
flotante.

18. • Y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
• El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a yy
después truncar para que resulte un número de la forma
• fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
• El último método comúnmente se designa por
redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1)
a d k para obtener a fl; esto es, redondeamos hacia
arriba. Si dk+1 < 5, simplemente truncamos después de
los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo

19. Este tipo de error ocurre cuando un proceso que
requiere un número infinito de pasos se detiene en un
número finito de pasos. Generalmente se refiere al error
involucrado al usar sumas finitas o truncadas para
aproximar la suma de una serie infinita. El error de
truncamiento, a diferencia del error de redondeo no
depende directamente del sistema numérico que se
emplee.

20. • y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
• Si y está dentro del rango numérico de la máquina,
la forma de punto flotante de y, que se representará
por fl , se obtiene terminando la mantisa de y en k
cifras decimales. Existen dos formas de llevar a
cabo la terminación. Un método es simplemente
truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener
• flyes= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

21. • En la práctica muchas computadoras realizarán
operaciones aritméticas en registros especiales que más
bits que los números de máquinas usuales. Estos bits
extras se llaman bits de protección y permiten que los
números existan temporalmente con una precisión
adicional. Se deben evitar situaciones en las que la
exactitud se puede ver comprometida al restar
cantidades casi iguales o la división de un número muy
grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como
consecuencias valores de errores relativos y absolutos
poco relevantes.

22. • La condición de un problema matemático relaciona a su
sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Puede
decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la
incertidumbre de los valores de entrada aumentan
considerablemente por el método numérico. Un proceso
numérico es inestable cuando los pequeños errores que
se producen en alguna de sus etapas, se agrandan en
etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud
del cálculo en su conjunto.
• El que un proceso sea numéricamente estable o
inestable debería decidirse con base en los errores
relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal
condicionamiento.

23. • Si el número de condición es grande significa que se
tiene un problema mal condicionado; se debe tomar en
cuenta que para cada caso se establece un número de
condición, es decir para la evaluación de una función se
asocia un número condicionado, para la solución de
sistemas de ecuaciones lineales se establece otro tipo
de número de condición; el número condicionado
proporciona una medida de hasta qué punto la
incertidumbre aumenta.

24. Las palabras condición y condicionamiento
se usan de manera informal para indicar cuan
sensible es la solución de un problema
respecto de pequeños cambios relativos en los
datos de entrada. Un problema está mal
condicionado si pequeños cambios en los
datos pueden dar lugar a grandes cambios en
las respuestas. Para ciertos tipos de problemas
se puede definir un número de condición: "Un
número condicionado puede definirse como la
razón de los errores relativos".