Este documento presenta un plan de mejoramiento en matemáticas sobre límites de funciones. Incluye actividades para calcular límites a partir de gráficas, tablas, sustitución directa y aplicando propiedades de límites. También contiene ejercicios resueltos sobre cálculo de límites involucrando factorización de polinomios y verificación de existencia de límites.

1. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo3 NOVIEMBRE
LIMITE DE FUNICIONES
POR MEDIO DE GRAFICAS, TABLAS Y SUSTITUCION DIRECTA
ACTIVIDADES
1. A continuación,se presentanvariasgráficasde funcionesdefinidasenlosnúmerosreales.
Para cada una de ellasdeterminarel valorhaciadonde se acercanlosde “y=f(x)”cuando
“x” se aproximaal valor indicado,escribiendoel resultadoconnotaciónde límites:
lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = 2
lim
𝑥→−1−
𝑓(𝑥) = 2 lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = 2
lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = −2
lim
𝑥→−1−
𝑓(𝑥) = −2 lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = −2
lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 4
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 4 lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4
lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) = 2
lim
𝑥→−2−
𝑓(𝑥) = 2 lim
𝑥→−2+
𝑓(𝑥) = 2
lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = −2
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = −2 lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = −2

2. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo3 NOVIEMBRE
lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = 4
lim
𝑥→−1−
𝑓(𝑥) = 4 lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = 4
lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 6.8
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 6.8 lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 6.8
ALBUM DE LIMITES
2. Aplicandodirectamente laspropiedadesde loslimites;calcularlossiguientessi esque
existen.
a. lim
𝑥→2
𝑥2
lim
𝑥→2
𝑥2 = [lim
𝑥→2
𝑥]
2
= 22 = 4
b. lim
𝑥→0
(4𝑥 + 5)
lim
𝑥→0
(4𝑥 + 5) = lim
𝑥→0
4𝑥 + lim
𝑥→0
5 = 4(0) + 5 = 5
c. lim
𝑥→−2
(5𝑥 − 2)
lim
𝑥→−2
(5𝑥 − 2) = lim
𝑥→−2
5𝑥 − lim
𝑥→−2
2 = (5 ∗ −2) − 2 = −10 − 2 = −12
d. lim
𝑥→4
6
lim
𝑥→4
6 = 6

3. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo3 NOVIEMBRE
e. lim
𝑥→
1
2
𝑥
lim
𝑥→
1
2
𝑥 =
1
2
f. lim
𝑥→2
(
2𝑥2+𝑥−1
4𝑥−2
)
lim
𝑥→2
(
2𝑥2 + 𝑥 − 1
4𝑥 − 2
) =
lim
𝑥→2
2𝑥2 + lim
𝑥→2
𝑥 − lim
𝑥→2
1
lim
𝑥→2
4𝑥 − lim
𝑥→2
2
=
2 ∗ 22 + 2 − 1
4 ∗ 2 − 2
=
9
6
=
3
2
g. lim
𝑥→2
(𝑥2 − 4)
lim
𝑥→2
(𝑥2 − 4) = lim
𝑥→2
𝑥2 − lim
𝑥→2
4 = (lim
𝑥→2
𝑥)
2
−4 = 4 − 4 = 0
h. lim
𝑥→−1
5𝑥 = ( lim
𝑥→−1
5)( lim
𝑥→−1
𝑥) = 5 ∗ −1 = −5
i. lim
𝑥→−2
3𝑥2
lim
𝑥→−2
3𝑥2 = ( lim
𝑥→−2
3)( lim
𝑥→−2
𝑥2) = 3 ( lim
𝑥→−2
𝑥)
2
= 3 ∗ (−2)2 = 3 ∗ −4 = −12
j. lim
𝑥→1
(4𝑥2 − 8𝑥 + 5)
lim
𝑥→1
4𝑥2 − lim
𝑥→1
8𝑥 + lim
𝑥→1
5 = (lim
𝑥→1
4)(lim
𝑥→1
𝑥2) − (lim
𝑥→1
8) (lim
𝑥→1
𝑥) + 5
= 4 (lim
𝑥→1
𝑥)
2
− 8 ∗ 1 + 5 = 4 ∗ 1 − 3 = 1
k. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥+1
2𝑥+3
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
(𝑥+1)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
(2𝑥+3)
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥+𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
1
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
2𝑥+𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
3
=
3+1
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
2∗𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥+3
=
4
2∗3+3
=
4
9

4. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo3 NOVIEMBRE
l. lim
𝑥→2
√3𝑥2 + 4 = √lim
𝑥→2
(3𝑥2 + 4) = √lim 3𝑥2
𝑥→2
+ lim
𝑥→2
4 = √3 ∗ 4 + 4 = √16 = 4
HACER 3 ejercicios
a. lim
𝑥→2
√𝑥2 − 1
3
√lim
𝑥→2
(𝑥2 − 1)
3
= √lim
𝑥→2
𝑥2 − lim
𝑥→2
1
3
= √4 − 1
3
= √3
3
b. lim
𝑥→10
(log100𝑥) = log ( lim
𝑥→10
(100𝑥)) = log1000 = 3
c. lim
𝑥→2
(5 + 𝑥2)
lim
𝑥→2
(5 + 𝑥2) = lim
𝑥→2
5 + lim
𝑥→2
𝑥2 = 5 + 22 = 5 + 4 = 9
3. Calculalos siguienteslímites:
a. lim
𝑥→2
𝑥2+𝑥−6
𝑥−2
Se factoriza el numerador:
𝑥2
+ 𝑥 − 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠:
lim
𝑥→2
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
Se resuelve el límite:
lim
𝑥→2
(𝑥 + 3) = 2 + 3 = 5
b. lim
𝑥→−4
𝑥2+5𝑥+4
𝑥2+3𝑥−4
Se factoriza numerador y denominador:
𝑥2
+ 5𝑥 + 4 = (𝑥 + 4)(𝑥 + 1)
𝑥2
+ 3𝑥 − 4 = (𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠:

5. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo3 NOVIEMBRE
lim
𝑥→−4
(𝑥 + 4)(𝑥 + 1)
(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
Se resuelve el límite:
lim
𝑥→−4
(𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)
=
lim
𝑥→−4
(𝑥 + 1)
lim
𝑥→−4
(𝑥 − 1)
=
lim
𝑥→−4
𝑥 + lim
𝑥→−4
1
lim
𝑥→−4
𝑥 − lim
𝑥→−4
1
=
−4 + 1
−4 − 1
=
−3
−5
=
3
5
c. lim
𝑥→6
𝑥2−36
𝑥−6
Se factoriza el numerador (diferencia de cuadrados perfectos):
𝑥2
− 36 = (𝑥 + 6)(𝑥 − 6)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠:
lim
𝑥→6
(𝑥 + 6)(𝑥 − 6)
𝑥 − 6
Se resuelve el límite:
lim
𝑥→6
(𝑥 + 6) = 6 + 6 = 12
d. lim
𝑥→5
𝑥3−25𝑥
𝑥2−5𝑥
Se factoriza el numerador:
𝑥3
− 25𝑥 = 𝑥(𝑥2
− 25)
Nuevamente factorizamos:
𝑥(𝑥 − 5)(𝑥 + 5)
Para simplificar el denominador necesitamos resolver los dos
primeros factores:
(𝑥2
− 5𝑥)(𝑥 + 5)
Reemplazamos y simplificamos:
lim
𝑥→5
(𝑥2
− 5𝑥) (𝑥 + 5)
𝑥2 − 5𝑥
Se resuelve el límite:
lim
𝑥→5
(𝑥 + 5) = 5 + 5 = 10
e. lim
𝑥→−4
𝑥2+3𝑥−4
𝑥2+8𝑥+16
Se factoriza numerador y denominador:

6. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo3 NOVIEMBRE
𝑥2
+ 3𝑥 − 4 = (𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
𝑥2
+ 8𝑥 + 16 = (𝑥 + 4)(𝑥 + 4)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠:
lim
𝑥→−4
(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
(𝑥 + 4)(𝑥 + 4)
Se resuelve el límite:
lim
𝑥→−4
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 4)
=
lim
𝑥→−4
(𝑥 − 1)
lim
𝑥→−4
(𝑥 + 4)
=
lim
𝑥→−4
𝑥 − lim
𝑥→−4
1
lim
𝑥→−4
𝑥 + lim
𝑥→−4
4
−4 − 1
−4 + 4
=
−5
0
𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑜 𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒:

7. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo3 NOVIEMBRE
lim
𝑥→−4−
(𝑥−1)
(𝑥+4)
= −∞
lim
𝑥→−4+
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 4)
= ∞
Al ser los resultados de los limites diferentes, el limite diverge.
HACER 3 ejercicios
lim
𝑥→0
(𝑥2
− 1)
(𝑥 + 1)
Se factoriza el numerador:
(𝑥2
− 1) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
Se reemplaza y simplifica:
lim
𝑥→0
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)
Se resuelve el límite:
lim
𝑥→0
(𝑥 − 1) = lim
𝑥→0
𝑥 − lim
𝑥→0
1 = 0 − 1 = −1
lim
𝑥→1
2𝑥
(𝑥 + 1)
=
lim
𝑥→1
2𝑥
lim
𝑥→1
(𝑥 + 1)
=
lim
𝑥→1
2 ∗ lim
𝑥→1
𝑥
lim
𝑥→1
𝑥 + lim
𝑥→1
1
=
2 ∗ 1
1 + 1
=
2
2
= 1
lim
𝑥→−1
(𝑥 − 2)
(𝑥 + 1)
=
lim
𝑥→−1
(𝑥 − 2)
lim
𝑥→−1
(𝑥 + 1)
=
lim
𝑥→−1
𝑥 − lim
𝑥→−1
2
lim
𝑥→−1
𝑥 + lim
𝑥→−1
1
=
−1 − 2
1 + 1
=
−3
2
Límitesque contieneninfinito:
Ejercicios:
4. Calcularlossiguienteslímites:
lim
𝑥→∞
(𝑥 + 15)
𝑥 − 14
Se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia
de x en el denominador:

8. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo3 NOVIEMBRE
lim
𝑥→∞
(
𝑥
𝑥
+
15
𝑥
)
𝑥
𝑥
−
14
𝑥
= lim
𝑥→∞
(1 +
15
𝑥
)
1 −
14
𝑥
Por propiedades de los límites:
lim
𝑥→∞
(1 +
15
𝑥
)
lim
𝑥→∞
1 −
14
𝑥
=
lim
𝑥→∞
1 + lim
𝑥→∞
1 (
15
𝑥
)
lim
𝑥→∞
1 − lim
𝑥→∞
1 (
14
𝑥
)
=
1 + 0
1 − 0
=
1
1
= 1
lim
𝑥→∞
(𝑥2
+ 5𝑥 − 36)
𝑥2 − 16
Se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia
de x en el denominador:
lim
𝑥→∞
(
𝑥2
𝑥2 +
5𝑥
𝑥2 −
36
𝑥2)
𝑥2
𝑥2 −
16
𝑥2
= lim
𝑥→∞
(1 +
5
𝑥
−
36
𝑥2 )
1 −
16
𝑥2
Se aplican propiedades y se resuelvelos límites:
lim
𝑥→∞
(1 +
5
𝑥
−
36
𝑥2)
lim
𝑥→∞
1 −
16
𝑥2
=
lim1
𝑥→∞
+ lim
𝑥→∞
5
𝑥
− lim
𝑥→∞
36
𝑥2
lim
𝑥→∞
1 − lim
𝑥→∞
16
𝑥2
=
1 + 0 − 0
1 − 0
= 1
lim
𝑥→∞
(𝑥3
+ 5𝑥 − 44)
𝑥2 − 72
Se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia
de x en el denominador:
lim
𝑥→∞
(
𝑥3
𝑥2 +
5𝑥
𝑥2 −
44
𝑥2 )
𝑥2
𝑥2 −
72
𝑥2
= lim
𝑥→∞
(𝑥 +
5
𝑥2 −
44
𝑥2)
1 −
72
𝑥2
Se aplican propiedades y se resuelvelos límites:

9. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo3 NOVIEMBRE
lim
𝑥→∞
(𝑥 +
5
𝑥2 −
44
𝑥2 )
lim
𝑥→∞
1 −
72
𝑥2
=
lim 𝑥
𝑥→∞
+ lim
𝑥→∞
5
𝑥2 − lim
𝑥→∞
44
𝑥2
lim
𝑥→∞
1 − lim
𝑥→∞
72
𝑥2
=
∞ + 0 − 0
1 − 0
= ∞
lim
𝑥→∞
(7𝑥5
+ 4𝑥2
− 8)
3 − 2𝑥5
Se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia
de x en el denominador:
lim
𝑥→∞
(
7𝑥5
𝑥5 +
4𝑥2
𝑥5 −
8
𝑥5)
3
𝑥5 −
2𝑥5
𝑥5
= lim
𝑥→∞
(7 +
4
𝑥3 −
8
𝑥5)
3
𝑥5 − 2
Se aplican propiedades y se resuelvelos límites:
lim
𝑥→∞
(7 +
4
𝑥3 −
8
𝑥5)
lim
𝑥→∞
(
3
𝑥5 − 2)
=
lim
𝑥→∞
7 + lim
𝑥→∞
4
𝑥3 − lim
𝑥→∞
8
𝑥5)
lim
𝑥→∞
3
𝑥5 − lim
𝑥→∞
2
7 + 0 − 0)
0 − 2
= −
7
2
lim
𝑥→∞
9𝑥4
+ 𝑥2
3𝑥4 + 3𝑥3 − 3𝑥 − 3
Se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia
de x en el denominador:
lim
𝑥→∞
9𝑥4
𝑥4 +
𝑥2
𝑥4
3𝑥4
𝑥4 +
3𝑥3
𝑥4 −
3𝑥
𝑥4 −
3
𝑥4
= lim
𝑥→∞
9 +
1
𝑥2
3 +
3
𝑥
−
3
𝑥3 −
3
𝑥4

10. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo3 NOVIEMBRE
Se aplican propiedades y se resuelvelos límites:
lim
𝑥→∞
(9 +
1
𝑥2)
lim
𝑥→∞
( 3 +
3
𝑥
−
3
𝑥3 −
3
𝑥4)
=
lim
𝑥→∞
9 + lim
𝑥→∞
1
𝑥2
lim
𝑥→∞
3 + lim
𝑥→∞
3
𝑥
− lim
𝑥→∞
3
𝑥3 − lim
𝑥→∞
3
𝑥4
=
9 + 0
3 + 0 − 0 − 0
=
9
3
= 3
Referencias:
 https://www.geogebra.org/classic?lang=es