integrales

1. Tenemoslaintegral
∫
𝑑𝑥
2 + cos 𝑥
La resolveremosconayudade sustituciónuniversal paraellose debe tenerencuentalosvalores
de dx y cos x
dx=
2𝑑𝑡
1+𝑡2
cos x =
1−𝑡2
1+𝑡2
Ahoraremplazamosestosvaloresenlafunción
∫
2𝑑𝑡
1 + 𝑡2
2 +
1 − 𝑡2
1 + 𝑡2
El siguientepasoque se debe realizaresoperarel denominadorse debe hacercomounasumade
fraccionarios,yse debe dejarensu mínimaexpresiónasociandotérminoscomunes.
2
1
+
1 − 𝑡2
1 + 𝑡2 =
2 ∗ (1 + 𝑡2) + 1 − 𝑡2
1 + 𝑡2 =
2 + 2𝑡2 + 1 − 𝑡2
1 + 𝑡2 =
3 + 𝑡2
1 + 𝑡2
Debemostranscribirel numerador
∫
2𝑑𝑡
1 + 𝑡2
3 + 𝑡2
1 + 𝑡2
Ahorase debe aplicarlaleyde extremosymedios
∫
2 𝑑𝑡 ∗ 1 + 𝑡2
1 + 𝑡2 ∗ 3 + 𝑡2
Comose puede observarel término1+𝑡2se repite tantoenel numeradoryel denominadorporlo
tanto podemoseliminarloyaque al tenerese términoydividirloporel mismotenemoscomo
resultadoque se lomultiplicaríapor2dt y nohabría ningúncambioporesose dice que lo
podemossimplementecancelar.
∫
2𝑑𝑡
3 + 𝑡2
El 2 que multiplicaadt lopodemossacar de la integral yaque este esuna constante

2. 2 ∫
𝑑𝑡
3 + 𝑡2
Esta integral presentalaforma √ 𝑎2 ± 𝑥2 . Para continuarcon el desarrollode estaintegral
debemosaplicarraízcuadrada a el denominador (3 + 𝑡2) quedandode lasiguiente forma √(√3)
^2 + 𝑡2 , y basándonosenuntriángulorectánguloyconayuda de lasrazonestrigonométricas.
Con ayudade las razonestrigonométricasencontraremoslosvaloresde tydt para poderlos
remplazarenla funciónaintegrar.En este casoaplicaremosTan 𝜃
Tan 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Entoncesaplicamosahoraestarazón trigonométricaenfunciónde nuestroproblema
Tan 𝜃 =
𝑡
√3
Ahorapodemosencontrarel valorde t despejandoenlaecuación
t= √3 ∗tan 𝜃
Para poderencontrarel valorde dt se debe derivar t implícitamente
Este lado máslargo esla hipotenusa.Aquíse
ubicaratoda la expresiónyaque lostérminos
dentrode ellaestánsumando
√(√3) ^2 + 𝑡2
√3 (𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒)
t (cateto opuesto)
En cada uno de loscatetos ubicamos
un términoaplicandoraíz
El Anguloformadopor
estaslíneasesteta ( 𝜃)

3. dt= √3 *𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃
Procedemosahoraa sustituirlosvaloresencontradosenlafunción 2 ∫
𝑑𝑡
3+𝑡2
ytenemoslo
siguiente
2 ∫
√3 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃
3 + ( √3 ∗ 𝑇𝑎𝑛 𝜃)^2
= 2 ∫
√3 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃
3 + (( √3 )
2
∗ 𝑡𝑎𝑛2 𝜃)
Al elevar√3 a las2 la raíz se cancelaya que √322
por propiedadesde laradicaciónse puede
expresarcomo 3
2
2 locual daría 3
2 ∫
√3 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃
3 + (3 ∗ 𝑡𝑎𝑛2 𝜃)
Factorizamos el denominador
2 ∫
√3 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃
3 ∗ (𝑡𝑎𝑛2 𝜃 + 1)
El puntode control para saberque el desarrollode unaintegral de este tipoescorrectoes que
aparezca unaidentidadtrigonométrica.
𝑡𝑎𝑛2 𝜃 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 por lo tantoremplazamosparatenertodoenfunciónde 𝑠𝑒𝑐2 𝜃
2 ∫
√3 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃
3 ∗ 𝑠𝑒𝑐2 𝜃
Para que podamosresolverestaintegral debemosahorasacar lasconstantes √3 y3 como
√3
3
y
multiplicarconlaconstante que yaestá afuera(2)
2 ∗
√3
3
∫
𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑐2 𝜃
Podemossimplificarahoralafuncióna integrarya que tenemoslos mismostérminostantoenel
numeradoryel denominador.
2 ∗ √3
3
∫ 𝑑𝜃

4. En este puntopodemosresolverlaintegral fácilmente portablasde integralesyse conoce que
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 entoncesaplicamosennuestrafunción.
2∗√3
3
∗ 𝜃
Mas sinembargoaúnno conocemosel valorde 𝜃 pero solodebemosretrocederunpocoy tomar
la siguienteecuación.
Tan 𝜃 =
𝑡
√3
para poderdejarla igualdadentérminosde 𝜃 debemoscancelarTanpara estousamos
su funcióncontraria(Atan) yla multiplicamosenambosladosde laigualdad
Atan* Tan 𝜃 = Atan
𝑡
√3
Entoncesde estamanera desaparece Tangente yobtenemosel valorde teta.
𝜃 = Atan
𝑡
√3
Ahorasustituimoseste valor enel resultadode laintegral yoperamosparaobtenerel resultado
2∗√3
3
∗ Atan
𝑡
√3
=
2∗3
1
2
3
*Atan t*3
−1
2
=
2
3
∗ 3
−1
2 * Atant*3
−1
2
=
2
3
* 3−1* Atan t