Actividad 3 de la unidad 2

1. Matemática ll – Cindy Ortega
1
9.
𝑓( 𝑥) =
𝑥2 + 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
e) Calcule lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) y lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥)
f) Analice continuidad en 2 y en -2.
g) Calcule los límites al infinito.
h) Grafique la función.
e)
 Calcule lim
𝑥→2
𝑓( 𝑥) .
lim
𝑥→2
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
Tenemos aquí el límite de una función racional. Lo primero que hacemos es sustitución
directa en el denominador:
2 − 2 = 0
Habiendo comprobado que el denominador se anula, no podemos aplicar la propiedad
de sustitución directa en esta función.
Factorizamos el numerador:
𝑓( 𝑥) =
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
=
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 5)
𝑥 − 2
Si 𝑥 ≠ 2 simplificando 𝑥 − 2 de la expresión anterior tenemos la función:
𝑔( 𝑥) = 𝑥 + 5 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑓( 𝑥) 𝑠𝑎𝑙𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 2
Tenemos entonces dos funciones iguales salvo en un punto, y queremos saber el límite
de una de ellas justamente en “ese” punto. Podemos calcular el límite de la otra función,
dicho límites serán iguales. Entonces:
lim
𝑥→2
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 5)
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
𝑥 + 5

2. Matemática ll – Cindy Ortega
2
Ahora podemos realizar sustitución directa:
2 + 5 = 7
Por lo cual concluimos que:
lim
𝑥→2
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
= 7
 Calcule lim
𝑥→−2
𝑓( 𝑥).
lim
𝑥→−2
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
Tenemos aquí el límite de una función racional. Lo primero que hacemos es sustitución
directa en el denominador:
−2 − 2 ≠ 0
Habiendo controlado la condición de que el denominador no se anula, procedemos a
hacer sustitución directa en toda la función.
lim
𝑥→−2
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
=
(−2)2
+ 3(−2)− 10
−2 − 2
= 3
Entonces concluimos que:
lim
𝑥−−2
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
= 3
f)
 Analizamos la continuidad en 2 de:
𝑓( 𝑥) =
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2

3. Matemática ll – Cindy Ortega
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Como 2  Df resulta de inmediato que 𝑓 no es continua en 𝑥 = 2
A partir de la teoría sabemos que:
𝑓 es continua en a si y sólo si lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = 𝑓(𝑎).
Entonces para todo a  Df resulta que:
𝑓( 𝑎) =
𝑎2
+ 3𝑎 − 10
𝑎 − 2
lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
=
𝑎2
+ 3𝑎 − 10
𝑎 − 2
Por lo que concluimos que: 𝑓 es continua para todo punto de su dominio
También se puede decir que: 𝑓 es continua en ℜ − {2}
 Analizamos la continuidad en -2 de:
𝑓( 𝑥) =
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
Por lo analizado anteriormente, sabemos que:
𝑓 es continua para todo punto de su dominio
Como el valor -2 pertenece al Dominio de la función, concluimos que:
𝑓 es continua en -2
g) Calcule los límites al infinito.

4. Matemática ll – Cindy Ortega
4
lim
𝑥→∞
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
A partir de la teoría sabemos que:
𝑆𝑖 𝑓( 𝑥) =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + ⋯+ 𝑏1 𝑥 + 𝑏0
𝑐𝑜𝑛 𝑎 𝑛 ≠ 0 𝑦 𝑏 𝑚 ≠ 0
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim
𝑥→∞
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚
𝑦 lim
𝑥→∞
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→−∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚
Entonces:
lim
𝑥→∞
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
=
𝑥2
𝑥
= ∞
 Calculamos el límite al infinito:
Por lo establecido anteriormente concluimos que:
lim
𝑥→−∞
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
=
𝑥2
𝑥
= −∞

5. Matemática ll – Cindy Ortega
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h) Gráfico de la función:
𝑓( 𝑥) =
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2

6. Matemática ll – Cindy Ortega
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19.
Dada 𝑔( 𝑥) =
𝑥2−9
𝑥−3
a) Analice de manera explícita la continuidad en x=3. En caso de no serlo, ¿Cómo la
redefiniría para que lo sea?
b) Analice en forma explícita la existencia de asíntotas.
c) Calcule los límites al infinito.
d) Grafique la función.
a) Analice de manera explícita la continuidad de x=3. En caso de no serlo ¿Cómo
la re definiría para que lo sea?
Como 3  Df resulta de inmediato que 𝑔 no es continua en 𝑥 = 3
A partir de la teoría sabemos que:
𝑓 es continua en a si y sólo si lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = 𝑓(𝑎).
Entonces para todo a  Df resulta que:
𝑔( 𝑎) =
𝑎2
− 9
𝑎 − 3
lim
𝑥→𝑎
𝑔( 𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
=
𝑎2
− 9
𝑎 − 3
Por lo que concluimos que: 𝑔 es continua para todo punto de su dominio
También se puede decir que: 𝑔 es continua en ℜ − {3}
Entonces decimos que:

7. Matemática ll – Cindy Ortega
7
𝑔( 𝑥) =
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 3
La teoría establece que:
𝑆𝑒𝑎 𝑓 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛, 𝑓 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑎
𝑆𝑖 lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒.
Entonces evaluamos:
lim
𝑥→3
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
Tenemos aquí el límite de una función racional. Lo primero que hacemos es sustitución
directa en el denominador:
3 − 3 = 0
Habiendo comprobado que el denominador se anula, no podemos aplicar la propiedad
de sustitución directa en esta función.
Factorizamos el numerador:
𝑔( 𝑥) =
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
=
( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 3)
𝑥 − 3
Si 𝑥 ≠ 3 simplificando 𝑥 − 3 de la expresión anterior tenemos la función:
𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 3 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑔( 𝑥) 𝑠𝑎𝑙𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 3
Tenemos entonces dos funciones iguales salvo en un punto, y queremos saber el límite
de una de ellas justamente en “ese” punto. Podemos calcular el límite de la otra función,
dicho límites serán iguales. Entonces:
lim
𝑥→3
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 3)
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
𝑥 + 3
Ahora podemos realizar sustitución directa:
3 + 3 = 6
Por lo cual concluimos que:
lim
𝑥→3
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
= 6

8. Matemática ll – Cindy Ortega
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Entonces podemos concluir que:
𝐴𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟 lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒.
La función redefinida sería:
𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 3
b) Analice de forma explícita la existencia de asíntotas.
Analizamos la existencia de asíntotas horizontales:
La teoría establece que:
La recta 𝑦 = 𝐿
Es una asíntota horizontal de la curva 𝑦 = 𝑓( 𝑥)
Si se cumple cualquiera de las dos condiciones siguientes:
lim
𝑥→∞
𝑓( 𝑥) = 𝐿 ó lim
𝑥→−∞
𝑓( 𝑥) = 𝐿
𝑔( 𝑥) =
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
Entonces verificamos si el límite de la función cumple alguna de las condiciones
anteriores:
lim
𝑥→∞
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
=
(∞2
− 9)
∞ − 3
= ∞
Entonces concluimos que no posee asíntota horizontal.
Analizamos la existencia de asíntota vertical:

9. Matemática ll – Cindy Ortega
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La teoría establece que:
La recta 𝑥 = 𝑐
Es una asíntota vertical de la curva 𝑦 = 𝑓( 𝑥)
Si y solo si se cumple cualquiera de las tres condiciones siguientes:
lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = +∞ ó lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = −∞ ó lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = ∞
𝑔( 𝑥) =
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
Al ser 𝑔(𝑥) una función racional su denominador deber ser distinto a 0, para que esto
ocurra debe ser:
𝑥 ≠ 3
Entonces verificamos si la recta x=3 es una asíntota vertical:
lim
𝑥→3
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
= 3
Por lo cual concluimos que no posee asíntota vertical.
c) Calcule los límites al infinito.
lim
𝑥→∞
𝑥2
− 9
𝑥 − 3

10. Matemática ll – Cindy Ortega
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A partir de la teoría sabemos que:
𝑆𝑖 𝑓( 𝑥) =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + ⋯+ 𝑏1 𝑥 + 𝑏0
𝑐𝑜𝑛 𝑎 𝑛 ≠ 0 𝑦 𝑏 𝑚 ≠ 0
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim
𝑥→∞
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚
𝑦 lim
𝑥→∞
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→−∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚
Entonces:
lim
𝑥→∞
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
=
𝑥2
𝑥
= ∞
 Calculamos el límite al infinito:
Por lo establecido anteriormente concluimos que:
lim
𝑥→−∞
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
=
𝑥2
𝑥
= −∞
d) Gráfico de la función:

11. Matemática ll – Cindy Ortega
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𝑔( 𝑥) =
𝑥2
−9
𝑥−3