Guia PSU de magnitudes escalares y vectoriales.

1. MAGNITUDES
Pitágoras de Samos (aproximadamente 582 a. C. - 507 a. C., en griego: Πυθαγόρας ο Σάμιος).
Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que
su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición
legendaria en torno a su persona.
Fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en
realidad pertenece a la escuela pitagórica y no sólo al mismo Pitágoras. Afirmaba que todo es
matemáticas, y estudió y clasificó los números.
El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de
bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del
cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante.

2. Magnitudes Escalares y Vectoriales
Sistema Internacional (SI)
En 1960, un comité internacional estableció un conjunto de patrones para estas magnitudes
fundamentales. El sistema que se ingresó es una adaptación del sistema métrico, y recibe el
nombre de Sistema Internacional (SI) de unidades.
También existen Magnitudes Derivadas que se obtienen a partir de las fundamentales por
medio de ecuaciones matemáticas. Como por ejemplo, el área que es derivada de longitud.
Nota: en cualquier fenómeno físico que se analiza, se debe tener en cuenta las unidades de
medidas con las cuales se trabaja, ya que deben ser compatibles, de lo contrario se procede a la
conversión de unidades.
Magnitudes
Fundamentales
Nombre Símbolo
Longitud metro m
Masa Kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente
eléctrica
ampere A
Temperatura kelvin K
Cantidad de sustancia mol mol
Intensidad luminosa candela cd
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3. Magnitudes Escalares
Son magnitudes físicas fáciles de reconocer, ya que para identificarlas sólo necesitamos saber su
magnitud o módulo.
Ejemplos: rapidez, masa, tiempo, distancia, área, perímetro, densidad, volumen, temperatura,
etc.
Magnitudes Vectoriales
Son aquellas que poseen tres características fundamentales: magnitud (modulo o largo), sentido
(indicado por la flecha) y dirección (indicado por la línea recta que pasa sobre el vector).
fig. 1
SENTIDO
DIRECCIÓN
ORIGEN
MAGNITUD
Una magnitud vectorial se simboliza con una letra que lleva una flecha en su parte superior A.
Si queremos referirnos a la magnitud del vector A se denota por ⎢A⎥.
Algunos ejemplos de magnitudes vectoriales son: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza,
momentum lineal, torque, etc.
Álgebra de vectores
i. Adición (método del triángulo)
Al sumar dos vectores A y B, primero se dibuja A y a continuación se dibuja B, procurando
mantener las proporciones, luego el origen de A se une con el final de B (punta de la flecha).
A
B
A
A + B
B
3

4. Nota 1:
Encontrar el opuesto de un vector equivale a hallar otro, que posea igual magnitud y dirección,
pero con sentido opuesto. Matemáticamente el opuesto de A es -A.
A
Nota 2:
Dos vectores paralelos y de sentido opuesto se llaman antiparalelos.
ii. Sustracción
Se procede como en la suma, es decir, para obtener A – B, se procede a efectuar la operación
A + (-B) obteniéndose así una suma de dos vectores.
-A
A + (-B)
-B
AB
A
Transformación de Unidades
En muchas situaciones en Física, tenemos que realizar operaciones con magnitudes que vienen
expresadas en unidades que no son homogéneas. Para que los cálculos que realicemos sean
correctos, debemos transformar las unidades de forma que se cumpla el principio de
homogeneidad.
Por ejemplo si tenemos una rapidez v0 que esta expresada en km/h y la queremos expresar en
m/s deberemos dividir v0 por 3,6 y así quedara v0 en m/s esto se debe a lo siguiente:
1 km = 1000 m; para pasar de kilómetro a metro debemos multiplicar por 1000
1 h = 3600 s; para pasar de hora a segundo debemos multiplicar por 3600
De lo anterior si tenemos v = 72km/h para llevarlo a m/s debemos hacer lo siguiente:
72km 1000m 1 m 1 m m
v = = 72 = 72 = 72 = 20
36001h 3600s s 3,6 s s
1000
⋅ ⋅ ⋅
es decir 72 km/h es equivalente a 20 m/s
Nota:
Para convertir de m/s a Km /h se debe multiplicar por un factor 3,6.
Para convertir de km /h a m/s se debe dividir por un factor 3,6.
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5. A continuación veremos los distintos tipos de proporcionalidad que se dan en las ecuaciones que
se ven en las ciencias físicas, es de mucha ayuda para la comprensión de los conceptos entender
cómo se relacionan las variables.
Proporcionalidad Directa
Si dos variables, x e y, cumplen que
y
=k
x
donde k es una constante, entonces se dice que
x e y son directamente proporcionales y al graficar los distintos valores que toman estas variables
se obtiene el siguiente gráfico:
y
Es decir una línea recta que pasa por el origen. Se
observa que a medida que crece la variable x también
aumenta la variable y en la misma medida.
x
Un ejemplo de esto en física es:
Cuando se aplican distintas fuerzas sobre una misma masa la relación entre estas variables es:
F = m · a
si m es constante la fuerza y la aceleración son directamente proporcionales, por ejemplo si se
duplica la fuerza entonces también se duplica la aceleración.
Proporcionalidad Inversa
En este caso las variables cumplen que y · x = k, con k constante y se dice que x e y son
inversamente proporcionales, al graficar los distintos valores que toman estas variables se tiene el
siguiente gráfico:
Se observa que si una variable aumenta la otra disminuye o
viceversa, la curva corresponde a una hipérbola.
x
y
Un ejemplo de esto en física es:
Un móvil que debe recorrer una misma distancia (d) con rapideces distintas (v) usamos la
relación d = v · t, donde d es constante y la rapidez es inversamente proporcional al tiempo.
Como la distancia es constante cuando el móvil recorra con una velocidad mayor entonces la otra
variable que es el tiempo disminuirá.
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6. Proporcionalidad al Cuadrado
Aquí una de las variables esta elevada al cuadrado y la relación entre estas variables puede ser de
la forma y = ax2
donde, a es constante, en este caso decimos que y es proporcional al cuadrado
de x. Otra forma de decirlo es que y es directamente proporcional al cuadrado de x. Cuando
estamos en esta situación la figura que se obtiene al graficar los valores que toman las variables x
e y es:
y
La curva corresponde a una parábola, cuando una de las
variables se duplica (x) la otra se cuadruplica (y).
x
Un ejemplo de esto en física es:
La relación entre la energía cinética (EC) y la velocidad (v) es una proporcionalidad de este tipo
siendo la ecuación que las relaciona la siguiente:
donde 1/2 m es constante. En esta expresión si la velocidad se duplica entonces la energía
cinética se cuadruplica, o si v disminuye a la mitad entonces EC disminuye a la cuarta parte, etc.
Proporcionalidad Inversa al Cuadrado
Esta situación se da cuando la relación entre las variables es de la forma
2
k
y =
x
donde k es
constante, se dice que y es inversamente proporcional al cuadrado de x. Si se tienen distintos
valores de x e y al graficarlos obtendremos lo siguiente:
Un ejemplo de esto en física es:
La famosa Ley de la Gravitación Universal donde se muestra la forma en que se atraen dos
masas. Por ejemplo la atracción entre la Tierra (m1) y el Sol (m2), la relación es la siguiente:
donde el producto Gm1m2 es constante. Si la distancia entre ambos cuerpos celestes fuese la
mitad de la actual entonces la fuerza de atracción entre ambos sería 4 veces mayor de lo que es
ahora.
Aquí también como en el caso de la proporcionalidad
inversa si una de las variables crece la otra disminuye pero
como una de las variables esta elevada al cuadrado, la
variable x, si esta crece al doble por ejemplo la variable y
disminuye a la cuarta parte.
EC =
1
2
mv2
F = G ·
⋅1 2
2
m m
d
y
x
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7. EJEMPLOS
1. La unidad fundamental de las siguientes unidades es:
A) hora
B) coulomb
C) ohm
D) kelvin
E) joule
2. De las siguientes afirmaciones para el cuadrado que muestra la figura 1:
I) El punto D es el origen del vector DB
II) El vector BC es igual al vector CB.
BA
CD
III) El vector CD es igual al vector AB.
Es (son) verdadera(s)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III fig. 1
D) Sólo II y III
E) I, II, y III
3. La figura 2 muestra dos vectores perpendiculares (P y Q) donde ⎢P⎥ = 5 y ⎢Q⎥ = 20, y un
vector R antiparalelo al vector Q, con ⎢R⎥ = 8, entonces la magnitud del vector resultante de
la suma de los tres vectores es
A) 7
B) 8
C) 13
D) 17
E) 23
4. 20 m/s es equivalente a:
A) 20 Km/h
B) 25 Km/h
C) 90 Km/h
D) 36 Km/h
E) 72 Km/h
P
QR
fig. 2
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8. PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
1. De acuerdo al Sistema Internacional de unidades de las magnitudes siguientes, no es una
unidad fundamental:
A) metro
B) ampere
C) kilogramo
D) celsius
E) segundo
2. Dos vías se cruzan en el punto P justo donde se encuentra parada una persona, que se pone
a caminar y se dirige al suroeste, después de varios minutos se dirige a la vía uno en
dirección paralela a la vía dos, al llegar a la vía uno parte con dirección noreste y a los pocos
segundos se detiene, entonces esta persona debería estar con mayor probabilidad en el
cuadrante:
IVIII
II I
P
A) I Vía Dos
B) II
C) III
D) IV Vía Uno
fig. 3E) no se puede determinar
3. Un volumen V = 20 m3
es mayor que un volumen V = 10 m3
en una cantidad igual a
A) 10 cm3
B) 103
cm3
C) 106
cm3
D) 107
cm3
E) 108
cm3
4. Sea x posición con dimensión L y t tiempo con dimensión T, la dimensión de k · z, en la
siguiente ecuación es
x = z + k · t2
A) T
B) LT-1
C) L2
T-2
D) LT-2
E) LT
5. Se sabe que la aceleración sirve para describir el comportamiento de un cuerpo que esta
siendo sometido a una fuerza y que su unidad de medida es m/s2
, si las dimensiones de
longitud, masa y tiempo son respectivamente L, M, T. ¿Cuál es la dimensión de la
aceleración?
A) M
B) MT2
C) LT-2
D) MT-2
E) MLT
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9. 6. Dados los vectores A y B, de igual módulo (figura 4), entonces el vector 2A – B es
A)
fig. 4
A
BB)
C)
D)
E)
7. Una persona comienza a caminar desde un punto P, si camina tres cuadras hacia el norte, de
ahí camina 2 cuadras hacia el sureste, luego se dirige una cuadra hacia el oeste y finalmente
camina 4 cuadras hacia el noroeste, en base a lo anterior, el vector que mejor representa la
posición de la persona con respecto a su punto de partida P es
A)
B)
C)
D)
E)
8. Dados los vectores:
A de magnitud 10 en la dirección positiva del eje x.
B de magnitud 2 en la dirección negativa del eje x.
C de magnitud 15 en la dirección positiva del eje y.
D de magnitud 9 en la dirección negativa del eje y.
La magnitud de la suma de los vectores es
A) 5
B) 0
C) 10
D) 5
E) 10
9

10. 9. En la figura 5, C es el vector resultante de
B
D
E
A) A + E
B) B + A + E
C) -B + D
D) E – A + D
E) A + B + D
10. En la figura 6, todos los vectores son tangentes a la circunferencia, tienen igual módulo,
además A con C son antiparalelos y B con D paralelos, entonces la suma de A + B + C + D
es igual a
A) 2A
B) B – D
C) A + C
D) 2C
E) 2D
11. Se afirma que A = B · C · D, donde B y C son escalares y D es un vector, teniendo en cuenta
lo anterior podemos afirmar que el vector A posee
A) La misma dirección que tiene B · C
B) El mismo sentido que tiene B · C
C) La misma dirección y el mismo sentido que D
D) La misma dirección que D pero no necesariamente el mismo sentido
E) A y D no tienen necesariamente la misma dirección
12. De las siguientes afirmaciones:
I) Dos vectores antiparalelos tienen igual dirección.
II) Si dos vectores solo difieren en su signo entonces pueden ser iguales.
III) El módulo de un vector puede ser negativo.
Es (son) verdaderas(s)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
fig. 5
C
A
B
C
fig. 6
A
D
10

11. 13. De la figura 7, se puede asegurar que son falsas
D E
FG
I) GD = DE + EG
II) GD = -DE + EF + FG
III) GD + DE - EG = 0
A) Sólo I
fig. 7B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
14. El vector resultante de -A – B + C tiene la dirección y el sentido dado por:
A)
A
B
C
fig. 8
B)
C)
D)
E)
15. En la relación F = m · a, m es una constante y F con a son variables, entonces es correcto
afirmar que la relación entre F y a es
A) una proporcionalidad directa
B) una proporcionalidad inversa
C) una proporcionalidad al cuadrado
D) una proporcionalidad con el inverso del cuadrado
E) nada se puede afirmar
16. En la relación x = x0 + v0 · t + (1/2) · a · t2
, v0, x0 y a son constantes mientras que x y t
son variables, entonces el gráfico que podría representar la relación entre x y t es
A) B) C) D) E)x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
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12. 17. En la relación Q = c · m · ΔT, c y m son constantes mientras que Q y ΔT son variables, luego
es correcto afirmar que
A) Al duplicar ΔT se cuadruplica Q
B) Si disminuye a la mitad ΔT entonces se duplica Q
C) Si Q se cuadruplica es porque ΔT se cuadruplica
D) Lo que pase con Q sólo depende del producto c · m
E) El gráfico Q versus ΔT es una parábola
18. A continuación se muestran los gráficos I, II, III. En relación a estos gráficos es correcto
decir que
I II III
t
x x
t
x
t
A) en II, x es directamente proporcional al cuadrado con t.
B) en III, x es inversamente proporcional con t.
C) el gráfico I muestra una proporcionalidad al cuadrado.
D) en III se muestra una proporcionalidad al cuadrado.
E) el gráfico I muestra una proporcionalidad inversa entre x y t.
Claves de los ejemplos
1 D 2A 3C 4E
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