Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores en el espacio tridimensional y ecuaciones paramétricas. Introduce vectores como objetos que requieren punto de aplicación, dirección y módulo para ser representados. Luego explica ecuaciones paramétricas como funciones de una variable que permiten representar curvas y superficies mediante coordenadas dependientes de un parámetro. Por último, aplica ecuaciones paramétricas para describir movimiento rectilíneo y curvilíneo.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZULEA
MINISTERIO DEL PODER PARA LA EDUCACION
INATITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
’’SANTIAGO MARIÑO’’
SEDE - BARCELONA
MATERIA: Matemática III
VECTORES EN EL ESPACIO
Alumna:
Antonia Babikian
C.I: 30.090.350
Ingeniería de sistema
Barcelona , octubre del 2020

2. Un vector en el espacio es todo aquel representado mediante un
sistema de coordenadas dado por x, y y z. Casi siempre el plano xy es
el plano de la superficie horizontal y el eje z representa la altura (o
profundidad).
En muchas ocasiones, cuando se habla de las dimensiones de una
habitación, por ejemplo, hay una referencia a las medidas que tiene:
anchura, longitud y altura.
Para conocer su tamaño es necesario conocer las tres medidas; se dice
por eso que la habitación es un objetivo tridimensional, como lo es una
mesa, un balón de futbol, una flor o casi cualquier objeto del mundo
físico que nos rodea.
Introducción

3. Álgebra vectorial
Este tipo de álgebra es una necesidad cuando se trabaja con
magnitudes:
Magnitud: es aquello que para existir necesita de las relaciones de
igualdad y suma.
Existen dos tipos de magnitudes, que son las siguientes:
• Magnitudes Escalares: Son aquellas que para ser representados solo
necesitan un número denominado medida y una unidad. Ej: 8cm
Generalidades del algebra vectorial

4.  Existen dos tipos de magnitudes, que son las siguientes:
• Magnitudes Escalares: Son aquellas que para ser representados solo
necesitan un número denominado medida y una unidad. Ej: 8 cm
medida unidad
En este caso la magnitud es la longitud. Son magnitudes escalares
también, el tiempo, la masa, etc.
• Magnitudes Vectoriales: Son magnitudes que para ser representadas
necesitan de un punto de aplicación, dirección, sentido y módulo.

5. En este caso la magnitud es la longitud. Son magnitudes
escalares también, el tiempo, la masa, etc.
• Magnitudes Vectoriales: Son magnitudes que para ser
representadas necesitan de un punto de aplicación,
dirección, sentido y módulo.

6. Ecuaciones paramétricas. Sistema de ecuaciones paramétricas permite
representar una curva o superficie en el plano o en el espacio,
mediante valores que recorren un intervalo de números reales,
mediante una variable , llamada parámetro, considerando cada
coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.
 Ejemplos
Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de
tiempo (t) para determinar la posición y la velocidad de un móvil.
En el caso de una función real de una variable real, y =f(x), en algunos
casos es preferible, tratándose del par ordenado (x,y) , expresar cada
una de las coordenadas como una función; esto es x= g(t) , y = h(t). De
tal manera que a t se le denomina parámetro' y al sistema formado por
x= g(t) , y = h(t) se denomina ecuaciones paramétricas. de la función.
Extendiendo este concepto para el caso de curvas se puede hablar que
las ecuaciones x= g(t) , y = h(t) definen una curva recorriendo algún
intervalo de números reales.
Ecuaciones paramétricas

7. Representación paramétrica de una curva
La representación paramétrica de una curva en un espacio n-
dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso
es la variable independiente o parámetro (habitualmente se considera
que t es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional
están representados por n coordenadas reales), de la forma
e_i=f_i(t),,f_i:[a,b] rightarrow {mathbb R}, donde ei representa la i-
ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo
[a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan
3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t).
Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto a
leq t < b le corresponda un punto distinto de la curva; si las
coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto
correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.

8. Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del
intervalo es un punto ordinario si las derivadas de las funciones
paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es
distinta de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos
ordinarios se denomina suave.
Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una
sola ecuación vectorial
vec{r}(t) = sum_{i=1}^n f_i(t)hat{e}_i = f_1(t)hat{e}_1 +
f_2(t)hat{e}_2 + dots + f_n(t)hat{e}_n,

9.  Grafica de ecuaciones paramétricas
se denominan ecuaciones paramétricas y t se llama parámetro.
El conjunto de puntos (x, y) obtenidos a medida que t varía a lo
largo del intervalo I se denomina gráfica de las ecuaciones
paramétricas. La gráfica junto con las ecuaciones paramétricas
se denomina asimismo curva paramétrica o curva plana, y se
denota por C.
Grafica de ecuaciones paramétricas

10.  Para transformar una ecuación paramétricas a cartesianas
 primero sumamos
 Sumemos
 x+y = 5v
 Después
 Despejamos ''v'' y obtenemos:
 v= (x+y)/5
 Después
 reemplazamos en la ecuacion z= 3u + 2v y obtenemos:
 z= 3u + 2 [ (x+y)/5] (*)
 Pero u= t+v
 luego u= t + (x+y)/5 ; luego reemplazamos este resultado en la
ecuacion (*) y obtenemos
 z= 3[ t + (x+y)/5] + 2 [ (x+y)/5] es la respuesta de la ecuacion
cartesiana
Transformar las ecuaciones
paramétricas a las cartesianas

11. Longitud de arco en ecuaciones
paramétricas
 Si C es una curva plana regular parame trizada
c: x=f(t)
y= g (t) , t E[a,b]
Entonces la longitud de C esta dada por la integral
L= 𝑎
𝑏
(𝑓 𝑙 𝑡 )2+ 𝑔𝑙 𝑡
2
dt

12. Cinemática y dinámica Se dice que un cuerpo se halla en movimiento
respecto a otro cuando existe un cambio continuo de su posición
relativa a lo largo del tiempo. La rama de la Física que se dedica al
estudio del movimiento de los cuerpos es la Mecánica, y ésta se
subdivide en las siguientes disciplinas: cinemática: que describe
geométricamente el movimiento sin atender a sus causas Dinámica:
que conecta el movimiento y sus características con las causas
(fuerzas) que lo producen. Estática: que establece las condiciones de
equilibrio mecánico (ausencia de movimiento). Para poder desarrollar
la Cinemática es necesario establecer una serie de conceptos previos,
que permitan sostener todo el entramado matemático. Entre estos
postulados están •Espacio •Tiempo •Partícula (o punto material)
•Sólido rígido
Aplicación de ecuaciones paramétricas

13. Cinemática del movimiento rectilíneo Antes de considerar el problema
completo del movimiento de una partícula en el espacio de tres
dimensiones, examinaremos el problema unidimensional, más simple,
de una partícula que realiza un movimiento rectilíneo. Posición
Cuando tenemos una partícula cuyo movimiento se ciñe a una recta,
no necesitamos el álgebra vectorial para identificar las diferentes
posiciones de la partícula. Nos basta con una etiqueta x(t) que designa
la posición a lo largo de la recta.

14.  Esta cantidad tiene un signo que indica si nos encontramos a la
izquierda o a la derecha de la posición a lo largo de la recta que
hayamos etiquetado como x = 0. En el caso unidimensional
podemos representar la posición frente al tiempo, colocando el
tiempo en el eje de abscisas y la posición en el de ordenadas. Esta
posibilidad no existe en el caso tridimensional.

15.  Cuando una partícula cambia de posición pasando de encontrarse en x1
en el instante t1 a una posición x2 en el instante t2 se dice que en el
intervalo de tiempo Δt = t2 − t1 ha experimentado un desplazamiento El
desplazamiento que, como la posición, se mide en unidades de distancia
(m, en el SI), posee la propiedad de que es independiente de que punto
se toma como origen de posiciones. Velocidad Velocidad media Si una
partícula realiza un desplazamiento Δx en un intervalo Δt, se define la
velocidad media (en una dimensión) como el cociente entre el
desplazamiento y el intervalo empleado en realizarlo

16.  De la definición se desprende que: •Posee unidades de distancia
dividida por tiempo, que en el sistema internacional serán m/s. •La
velocidad media depende del desplazamiento neto entre dos puntos, por
tanto si al final del intervalo la posición es la misma que al principio, la
velocidad media es 0, independientemente de las idas y vueltas que se
hayan dado.
 La velocidad no es igual a espacio partido por tiempo, sino a un
desplazamiento dividido por un intervalo, esto es, lo que cuenta no es el
valor absoluto de la distancia o la hora que marca el reloj, sino cuánto
ha cambiado la posición y cuánto tiempo se ha empleado en realizar
dicho desplazamiento.

17.  En la gráfica de la posición frente al tiempo, la velocidad media
representa la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
(t1,x1) y (t2,x2). En particular si la posición inicial y la final son la
misma, resulta una recta horizontal de pendiente nula. Velocidad
instantánea El concepto de velocidad media no es especialmente
útil, ya que solo nos informa del ritmo promedio, pero un
movimiento concreto puede hacerse de forma irregular y
normalmente interesa definir la velocidad en un momento dado,
conocida como velocidad instantánea.
 Hoy día, con la presencia de velocímetros en los automóviles, el
concepto de velocidad instantánea es intuitivo y todos tenemos una
experiencia directa de la magnitud. Se trata de precisar
matemáticamente el concepto. Cuando decimos que en un instante
dado la velocidad es de 120 km/h, ¿qué estamos diciendo
exactamente?

18.  Evidentemente, no que durante la última hora se han recorrido
120 km, ya que igual sólo se llevan 10 minutos de marcha.
Podríamos decir que durante el último minuto se han recorrido
2 km. ya que Esto ya es más preciso, pero aun no es del todo
satisfactorio, ya que en un minuto hay tiempo suficiente a acelerar o
frenar. Una mejor aproximación sería afirmar que en el último
segundo se ha recorrido (1/30) km = 33.3 m. O podríamos decir que
en la última décima de segundo se han recorrido 3.33 m,…

19.  En todos los casos la velocidad es de 120 km/h, pero cuanto más
pequeño es el intervalo de tiempo considerado, más nos
acercamos al ideal de medir la velocidad en un instante dado.
Definimos entonces la velocidad instantánea en una dimensión
como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de
tiempo tiende a cero (se reduce a un instante)
Matemáticamente, esto quiere decir que la velocidad
instantánea es la derivada respecto al tiempo de la posición
instantánea. En mecánica, una derivada respecto al tiempo suele
representarse con un punto sobre la magnitud.

20.  De esta definición se deduce que: •Las unidades de la velocidad
instantánea son la de una distancia dividida por un tiempo, en el SI
m/s, aunque otras unidades como km/h son de uso frecuente. •La
velocidad tiene un signo: es positiva si el valor de x está
aumentando (nos movemos hacia la derecha del punto de
referencia) y es negativa si está disminuyendo (nos movemos hacia
la izquierda). •La velocidad puede ser nula. En ese caso se dice que
la partícula se encuentra en un estado de reposo instantáneo. •La
velocidad no es igual al espacio partido por tiempo. Es la derivada
de la posición respecto al tiempo.
 •En la gráfica de la posición frente al tiempo, la velocidad
representa la pendiente de la recta tangente a la curva x(t) en el
punto (t,x(t)). •Si el estado es de reposo instantáneo esta tangente es
horizontal. En ese momento usualmente la posición alcanza un
máximo o un mínimo.

21.  Conocida la velocidad en cada instante y la posición inicial, puede
hallarse la posición instantánea, sumando los desplazamientos
infinitesimales, esto es, integrando Gráficamente, si trazamos la
curva de la velocidad como función del tiempo, el desplazamiento
desde la posición inicial es el área bajo la curva v = v(t).

22.  Ecuación vectorial Para determinar la ecuación vectorial de una
recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector
de posición o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la ecuación a
partir de un punto y un vector de posición, si tuviésemos dos puntos
A, B entonces el vector AB es un vector de posición. La ecuación
de una recta es una expresión analítica que permite identificar todos
los puntos de la recta. Dados un punto de la recta y un vector de
dirección , un punto genérico de la recta tendrá como vector de
posición . Es claro que , como el vector y están en la misma
dirección existe un número tal que , por tanto esta expresión se
conoce como ecuación vectorial de la recta.

23.  Los son cantidades físicas que necesitan de magnitud y dirección
para ser descritos, puedes representar cantidad física vectorial
mediante un sistema coordenado cartesiano o mediante un sistema
coordenado polar, según te sea mas conveniente
 Las reglas aritméticas no aplican en la suma y resta de vectores, con
este fin se utilizan métodos gráficos y analítico. Los mas
recomendados, por su sencillez y comodidad, son el método grafico
del polígono y el método analítico de las componentes
rectangulares.
 Sumar o restar dos o mas vectores, es equivalente a representa ríos
por un solo vector nombrando vectores resultante, este provoca el
mismo efecto que el sistema de vectores. La equilibran té de un
sistema de vectores tiene el mismo valor numérico que la resultante,
esta dirigido en la misma dirección, pero en sentido contrario.
Conclusión

24.  https://www.bing.com/videos/search?q=grafica+de+e
cuaciones+parametricos+&view=detail&mid=7F4F907
95B1A97291FEC7F4F90795B1A97291FEC&FORM=VIRE
 https://www.youtube.com/watch?v=DJVgP_fD4YQ
 https://www.bing.com/videos/search?q=longitud+de+
arco+en+ecuaciones+parametricas+&view=detail&mi
d=020B625F359989937363020B625F359989937363&
FORM=VIRE
Anexos

25.  www.lifeder.com/algebra-vectorial-fundamentos-
magnitudes-vectores/
 www.ecured.cu/Ecuaciones_paramétricas
 https://www.desmos.com/calculator/d5r5kifxjt
 https://tescicalculo3.files.wordpress.com/2010/10/unid
ad-ii...
Bibliografía