1. SOLUCION DE PROBLEMAS DE P.L. Y ANALISIS DE SENSIBILIDAD CON
LINDO
LINDO = Linnear Interactive aNd Discrete Optimizer
Para ingresar un nuevo modelo:
Elegir: File>New
Ingresar el modelo:
Tener cuidado en dejar un espacio entre los coeficientes, las variables y los
operadores +, - , <= , >=
Una vez ingresado hallar la solución haciendo clic en la opción solve:
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2. El problema:
MAX 60 X1 + 30 X2 + 20 X3
SUBJECT TO
1) 8 X1 + 6 X2 + X3 <= 48
2) 4 X1 + 2 X2 + 1.5 X3<= 20
3) 2 X1 + 1.5 X2 + 0.5 X3 <= 8
4) X2 <= 5
Solución traducida:
LP OPTIMO HALLADO EN EL PASO 2
VALOR DE LA FUNCION OBJETIVO
1) 280.0000
VARIABLE VALOR COSTO REDUCIDO
X1 2.000000 0.000000
X2 0.000000 5.000000
X3 8.000000 0.000000
FILA HOLGURA O EXCESO PRECIOS DUALES
1) 24.000000 0.000000
2) 0.000000 10.000000
3) 0.000000 10.000000
4) 5.000000 0.000000
NO. ITERACIONES= 2
RANGOS EN LOS CUALES LA BASE NO CAMBIA:
RANGOS DE LOS COEFICIENTES DE LA F.O.
VARIABLE COEFICIENTE INCREMENTO DECREMENTO
ACTUAL PERMITIDO PERMITIDO
X1 60.000000 20.000000 4.000000
X2 30.000000 5.000000 INFINITO
X3 20.000000 2.500000 5.000000
RANGOS DE LOS COEFICIENTES DEL Lado Derecho
DE LAS Restricciones
ROW ACTUAL INCREMENTO DECREMENTO
LDR PERMITIDO PERMITIDO
1 48.000000 INFINITO 24.000000
2 20.000000 4.000000 4.000000
3 8.000000 2.000000 1.333333
4 5.000000 INFINITO 5.000000
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3. Interpretación
OBJECTIVE FUNCTION VALUE:
1) 280.0000
El valor de la F.O. es Z = 280
Análisis de las Variables:
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 2.000000 0.000000
X2 0.000000 5.000000
X3 8.000000 0.000000
y Z se obtiene con la solución optima: X1=2, x2=0 y X3=8
COSTO REDUCIDO (REDUCED COST): Permite conocer hasta cuanto puede
aumentar el coeficiente de una variable en la Función Objetivo sin que se altere
la solución Optima (es decir los valores obtenidos para X1, X2 y X3 ).
En el ejemplo la F.O. es: MAX 60 X1 + 30 X2 + 20 X3
El costo reducido de X2 es 5, es decir el coeficiente de X2 puede pasar de 30 a
30+5 y la solución optima no se alterará.
(Restablecer el modelo original y probar cambiando la F.O. a: MAX 60 X1 + 36
X2 + 20 X3)
Análisis de las restricciones:
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
1) 24.000000 0.000000
2) 0.000000 10.000000
3) 0.000000 10.000000
4) 5.000000 0.000000
HOLGURA O EXCESO (SLACK OR SURPLUS): Para cada restricción,
muestra cuanto del recurso queda disponible.
Por ejemplo para la primera restricción:
1) 8 X1 + 6 X2 + X3 <= 48
con la solución optima hallada (X1=2, x2=0 y X3=8 )
se tiene 8(2) + 6(0) + (8) = 24.
Dado que se ha empleado 24 unidades y se cuenta como máximo con 48,
tenemos un sobrante de 24 unidades.
En la segunda y tercera restricción se ha empleado el total de recursos
disponibles, por lo cual no hay holgura.
En la cuarta restricción X2 <= 5 y dado que x2=0 su holgura es de 5
unidades.
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4. PRECIOS DUALES (DUAL PRICES)): Para cada restricción, muestra en
cuanto se incrementa el valor de la Función Objetivo por cada unidad
aumentada en el lado derecho de la restricción. También se puede interpretar
como lo máximo que estaríamos dispuestos a pagar por incrementar una
unidad de la restricción.
Las restricciones que tienen holgura cero representan recursos que se están
utilizando a su plena capacidad. Un incremento en la capacidad del recurso
llevará a cambios en la solución óptima.
Por ejemplo:
La restricción 2) tiene holgura 0 y precio dual 10
Si incrementamos el lado derecho de la restricción en dos unidades (de 20 a
22)
2) 4 X1 + 2 X2 + 1.5 X3<= 22
se debería hallar una nueva solución óptima en la que el valor de la función
objetivo se incrementara en (2 unidades) x (Precio Dual) = 2 x 10 = 20
(probar restableciendo el modelo original y cambiando el lado derecho de
restricción (2) a 22 y correr el paquete).
La nueva solución óptima será:
X1=1
X2=0
X3=12
El valor de la función Objetivo será 300 (se observa que se incremento de 280
a 280 + 20 )
Si la restricción 2 es por ejemplo la capacidad de procesamiento de una
máquina, sabemos que si invertimos en hacer que ésta máquina pueda
procesar mas productos, por cada unidad en que se incremente la función
objetivo se incrementará en 10
Las restricciones que tienen holgura diferente de cero representan recursos
que se están utilizando por debajo de su capacidad. Incrementar en una unidad
su capacidad (incrementar el lado derecho) no provocará cambio alguno el la
solución óptima y por consiguiente en el valor de la Función Objetivo. En estos
casos su precio dual es cero.
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5. Análisis de los rangos en los cuales la base no cambia:
RANGOS EN LOS CUALES LA BASE NO CAMBIA:
RANGOS DE LOS COEFICIENTES DE LA F.O.
VARIABLE COEFICIENTE INCREMENTO DECREMENTO
ACTUAL PERMITIDO PERMITIDO
X1 60.000000 20.000000 4.000000
X2 30.000000 5.000000 INFINITO
X3 20.000000 2.500000 5.000000
RANGOS DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO (OBJ
COEFFICIENT RANGES): Permite determinar hasta cuánto pueden aumentar
o disminuir los coeficientes de las variables de decisión en la Función Objetivo
sin que se altere la solución Optima.
En nuestro ejemplo la F.O. es:
MAX 60 X1 + 30 X2 + 20 X3
El coeficiente de X1 es 60. Su incremento permitido es 20 y su decremento
permitido es 4. Es decir el coeficiente de X1 podría variar entre 60-4 y 60+20 y
la solución Optima no cambiará (Obviamente el valor de la F.O. sí cambiará)
El coeficiente de X2 es 30. Su incremento permitido es de 5 unidades, es decir
con 35 X2 la solución óptima no cambia. Pero si incrementamos el coeficiente a
36 (o mas) será ahora mas conveniente producir unidades del producto X2
(cambiando la solución óptima)
(probar restableciendo el modelo original y cambiando la F.O. a
MAX 60 X1 + 36 X2 + 20 X3 )
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6. RANGOS DE LOS COEFICIENTES DEL Lado Derecho
DE LAS Restricciones
ROW ACTUAL INCREMENTO DECREMENTO
LDR PERMITIDO PERMITIDO
1 48.000000 INFINITO 24.000000
2 20.000000 4.000000 4.000000
3 8.000000 2.000000 1.333333
4 5.000000 INFINITO 5.000000
RANGOS DE LOS COEFICIENTES DEL LADO DERECHO DE LAS
RESTRICCIONES [LDR] (RIGHTHAND SIDE RANGES [RHS]): Permite
determinar hasta cuánto pueden aumentar o disminuir los coeficientes del lado
derecho de las restricciones sin que se altere la solución Optima.
Para la segunda restricción:
2) 4 X1 + 2 X2 + 1.5 X3<= 20
El lado derecho de la restricción puede variar de (20 - 4) a (20 + 4 ) sin que la
solución óptima cambie.
(probar restableciendo el modelo original y cambiando la segunda restricción a
4 X1 + 2 X2 + 1.5 X3 <= 15
Luego probar con:
4 X1 + 2 X2 + 1.5 X3 <= 25
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7. RANGOS DE LOS COEFICIENTES DEL Lado Derecho
DE LAS Restricciones
ROW ACTUAL INCREMENTO DECREMENTO
LDR PERMITIDO PERMITIDO
1 48.000000 INFINITO 24.000000
2 20.000000 4.000000 4.000000
3 8.000000 2.000000 1.333333
4 5.000000 INFINITO 5.000000
RANGOS DE LOS COEFICIENTES DEL LADO DERECHO DE LAS
RESTRICCIONES [LDR] (RIGHTHAND SIDE RANGES [RHS]): Permite
determinar hasta cuánto pueden aumentar o disminuir los coeficientes del lado
derecho de las restricciones sin que se altere la solución Optima.
Para la segunda restricción:
2) 4 X1 + 2 X2 + 1.5 X3<= 20
El lado derecho de la restricción puede variar de (20 - 4) a (20 + 4 ) sin que la
solución óptima cambie.
(probar restableciendo el modelo original y cambiando la segunda restricción a
4 X1 + 2 X2 + 1.5 X3 <= 15
Luego probar con:
4 X1 + 2 X2 + 1.5 X3 <= 25
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