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1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-III
TRIGONOMETRÍA
“IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS TRIPLES’’
Docente: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez
ÁNGULOS TRIPLES
Sen3x = 3Senx − 4Sen3
x
Cos3x = 4Cos3
x − 3Cosx
Tan3x =
3Tanx − Tan3
x
1 − 3Tan2x
APLICACIÓN 1
1. Simplificar la expresión:
E =
Cos3
θ − cos3θ
Cosθ
a) 2Sen2
θ b) 3Sen2
θ c) 2Senθ
d) 4 e) Cos2θ
Formulas especiales:
Sen3x = Senx(2Cos2x + 1)
Cos3x = Cosx(2Cos2x − 1)
Tan3x = Tanx (
2Cos2x + 1
2Cos2x − 1
)
APLICACIÓN 2
2. Calcular ‘‘k’’ en:
Sen9°
Sen3°
+
Cos9°
Cos3°
= 2kCos3k°
a)-1 b) √2 c) 2
d)
√2
2
e) ½
Degradación:
4Sen3
x = 3Senx − Sen3x
4Cos3
x = 3Cosx + Cos3x
Propiedades:
4Senx. Sen(60° − x). Sen(60° + x) = Sen3x
4Cosx. Cos(60° − x). Cos(60° + x) = Cos3x
Tanx. Tan(60° − x). Tan(60° + x) = Tan3x
Tanx + Tan(60° − x) + Tan(60° + x) = 3Tan3x
APLICACIÓN 3
3. Calcular el valor de:
E = sen10°sen50°sen70°
a) 1 b) 1/3 c)1/8
d)1/5 e) -1
Observación:
4
15
36Cos
4
15
18Sen




Triángulo Notable de 18º y 72º
Triángulo Notable de 36º y 54º
4
72º
18º
5 – 1
10+ 2 5
4
36º
5 + 1
10 – 2 5
Semana Nª 10

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Simplifique la expresión
7𝑠𝑒𝑛3
𝜃 + 𝑠𝑒𝑛3𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃(1 − 𝑠𝑒𝑛4
𝜃 )
A) 3tan 𝜃 B) 3cot 𝜃 C) – 2tan 𝜃
D)
1
3
cot 𝜃 E) 3sen 𝜃
2. Simplifique la expresión
𝑠𝑒𝑛2
3𝐴𝑐𝑠𝑐2
𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2
3𝐴𝑠𝑒𝑐2
𝐴 + 2𝑐𝑜𝑠4𝐴
A) 6𝑐𝑜𝑠2
2𝐴 B) 6cos2A C) 8𝑠𝑒𝑛2
𝐴
D) 12senA E) 12𝑐𝑜𝑠2
2A
3. Calcule el valor de (
2𝑠𝑒𝑛
𝜋
18
+1
2𝑠𝑒𝑛
𝜋
18
−1
) 𝑐𝑜𝑡
𝜋
18
A) −
√3
2
B) −√3 C) 1 D)
√3
2
E) √3
NIVEL INTERMEDIO
4. Si 𝑡𝑎𝑛 (𝛼 +
7𝜋
12
) = 2 , calcule el valor de
cot3𝛼.
A)
13
11
B)
13
9
C)
11
13
D)
9
13
E)
8
13
5. Determine el equivalente de
12𝑐𝑜𝑠2
20º𝑠𝑒𝑛20º – 4𝑠𝑒𝑛3
20º
A) 4cos30º B) 4cos40º
C) 2sen20ºcos40º D)
√3
2
E) 2
6. Determine el equivalente
de
( 1−2𝑐𝑜𝑠12º )( 1−2𝑐𝑜𝑠36º )
( 1+2𝑐𝑜𝑠12º )( 1+2𝑐𝑜𝑠36º )
A) tan12ºcot18º B) cot6ºtan54º
C) tan54º D) tan18ºcot12º E) tan6ºcot54º
7. Calcule el valor de la expresión
4( 𝑐𝑜𝑠3
10º + √3𝑠𝑒𝑛3
10º)
𝑐𝑜𝑠10º + √3𝑠𝑒𝑛10º
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
8. Simplifique la expresión
𝑐𝑜𝑠4𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛4𝜃𝑠𝑒𝑛2
𝜃
4𝑐𝑜𝑠2
𝜃 − 3
A)
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝜃 B) sen2𝜃 C) cos𝜃
D) sen𝜃 E)
1
2
𝑠𝑒𝑛2𝜃
9. Simplifique la expresión √√3−6𝑠𝑒𝑛20º
√3+6𝑐𝑜𝑠10º
3
A) 2cos10º B) sen10º C) – cos10º
D) – 2sen10º E) cos20º
10. Si 2𝑡𝑎𝑛3
𝛼 – 3𝑡𝑎𝑛2
𝛼 – 6𝑡𝑎𝑛𝛼 + 1 = 0
calcule el valor de 𝑡𝑎𝑛9𝛼.
A) 4,5 B) 5,5 C) 6,5 D) 7,5 E) 8,5
11. Calcule el valor de
√3𝑐𝑜𝑡110º (𝑐𝑜𝑠60º + 2𝑐𝑜𝑠20º)
A) – 3/2 B) – 2/3 C) 2/3 D) 3/2 E) 5/3
12. Calcule el valor de csc27º – sec27º
A) 3 − √5 B) √2(3 − √5) C)
3+√5
2
D) 3 + √5 E) 5 + √5
13. Calcule el valor de
𝑠𝑒𝑐80º + 8𝑐𝑜𝑠2
80º
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
14. Simplifique la expresión
(3𝑠𝑒𝑐18º – 4𝑐𝑜𝑠18º)(1 + 𝑐𝑜𝑠36º)
A) 2cos36º B) – sen54º C) cos54º
D) – 2sen36º E) – 2cos18º
15. Simplifique la expresión
𝑐𝑜𝑠198º𝑡𝑎𝑛(– 66º) – 2𝑠𝑒𝑛66º
A) sen66º B) – sen18º C) – sen66º
D) sen18º E) cos22º
16. Calcule el valor de la expresión
√3
2
+ 3𝑐𝑜𝑠10º
√3
2
− 3𝑠𝑒𝑛20º

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
A) −
𝑐𝑠𝑐340º
8
B) −
𝑐𝑠𝑐310º
8
C) −
𝑐𝑠𝑐320º
8
D) −
𝑠𝑒𝑐310º
8
E) −
𝑠𝑒𝑐340º
8
17. Reducir:






sen
3sensen
cos
3coscos
k
33
A) 1 B) 2 C) 3
D) 1/3 E) 1/2
18. Reducir:
xcossenx
x3cosx3sen
senxxcos
x3cosx3sen
R






A) -1 B) -2 C) 1
D) 2 E) 0
19. Si:  20cos420ctg3tg ,
calcular  , siendo agudo.
A) /3 B) /6 C) /4
D) /12 E) 5/12
20. Calcular:
13
9
cos
13
3
cos
13
cos
13
9
cos
13
3
cos
13
cos 333










A) 3/4 B) 4/3 C) 1/3
D) 1/4 E) 5/3
21. De la ecuación:
01tg6tg3tg2 23

Calcular: tg6
A) 1/3 B) 2/3 C) 1
D) 4/3 E) 5/3
22. Calcular el valor del cos 111º
A)
25
22
 B)
125
44
 C)
125
22

D)
250
44
E)
125
33

23. Siendo:
3(senx – cosx) – 4(sen3
x – cos3
x) = n
Calcular sen 3x + cos 3x
A)-n B)2n C) n
D)
2
n
 E)
2
n
24. Dada la siguiente igualdad:
2𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑥
Calcular: a + b
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
25. Calcular el valor de la expresión:
𝑀 = 𝑠𝑒𝑛 70º. (4𝑐𝑜𝑠2
20º − 3)
A)
2
1
B)
3
1
C)
4
1
D)
2
1
 E)
4
1

26. Simplificar la expresión:
1
xcossenx
x3cosx3sen
E 



A) –sen2x B) sen2x
C) 2sen2x D) –2sen2x E) 3sen2x
27. Si:
4
3
tgx  ; x es agudo
Calcular: cos3x
A)
25
44
B)
125
44
C)
125
44

D)
25
44
 E)
11
44


4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
28. Simplificar la expresión:
)1x18cos2)(1x6cos2)(1x2cos2(
)1x18cos2)(1x6cos2)(1x2cos2(
M



A)
𝑡𝑔 6𝑥
𝑡𝑔𝑥
B)
𝑡𝑔 30𝑥
𝑡𝑔𝑥
C)
𝑡𝑔 27𝑥
𝑡𝑔𝑥
D)
𝑡𝑔 9𝑥
𝑡𝑔𝑥
E)
𝑡𝑔 18𝑥
𝑡𝑔𝑥
29. Si para un ángulo agudo " " se
cumple:
Calcular: " ".
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
30. Si: .
Calcular: "sen3x".
A) B) C)
D) E)
31. Calcular el máximo valor de:
K = Senx (3 - 4sen2x)
A) ¼ B) ½ C) 1
D) E)
32. Calcular el mínimo valor de:
L = Cosx(4Cos2x - 3)
A) -½ B) C) -¼
D) E) -1
33. Reduzca la expresión
𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3
𝑥
sen2x
A) −
3
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 B)
3
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 C)
3
2
𝐶𝑜𝑠 𝑥
D) −
3
2
𝐶𝑜𝑠 𝑥 E) −𝑠𝑒𝑛 3𝑥
34. Si 9𝑠𝑒𝑛2
𝑥 – 24𝑠𝑒𝑛4
𝑥 + 16𝑠𝑒𝑛6
𝑥 = 𝑛,
Calcule 𝑐𝑜𝑠2
3𝑥
A) 1 – 𝑛2
B) 1+n C) 𝑛2
– 1 D) 1 – n E) – 𝑛2
35. De la siguiente identidad
𝐶𝑜𝑠3𝑥 − 𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
= 𝐴 − 𝐵senBx
calcule A+B.
A) 1 B) 0 C) – 1 D) 2 E) 3
36. Si 𝑡𝑎𝑛(60º − 𝑥) =
1
3
,
Calcule tan3x.
A) −
13
9
B)
13
9
C)
9
13
D) –
9
13
E)
5
13
37. De la igualdad
4𝑡𝑎𝑛3
𝑥 – 3𝑡𝑎𝑛2
𝑥 – 12𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1 = 0,
Calcule 4sen3x – cos3x
A) 3 B) – 3 C) 2 D) 1 E) 0
38. Reduzca la expresión
3 − (tan20º +tan40º )
A) cot80º B) tan80º C) √3 tan80º
D) 3cot80º E) √3
39. Tenemos un triángulo con ángulos
interiores α; 2α; 2α y lados b; a; a.
Entonces el valor de a/b es:
A) √5 B) 2(√5 −1) C)
1+ √5
2
D) √2 E) √2 +1
40. Simplifique la siguiente expresión
𝑆𝑒𝑛3
𝑥
𝑠𝑒𝑛3𝑥
−
𝐶𝑜𝑠3
𝑥
𝐶𝑜𝑠3𝑥
+
1
2
A) 3sen2x · csc6x
B) – 3sen2x · csc6x
C)
3
2
𝑠𝑒𝑛2𝑥 ⋅ 𝑐𝑠𝑐6𝑥
D) −
3
2
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑠𝑐6𝑥
E) – sen2x · csc6x

3
16cos 3sen 4cos3    
tg
2
senx 3cosx
3
 
15
19

12
13

23
27

19
25

9
14

2
2
3
2
2
2

3
2
