El documento presenta el concepto de funciones definidas por partes, explicando cómo se definen a partir de intervalos y se ilustran mediante gráficas. Se incluyen varias actividades para evaluar y graficar este tipo de funciones, así como ejemplos de funciones continuas y escalonadas. Además, se discuten los dominios y rangos de estas funciones, proporcionando ejemplos específicos y ejercicios para los estudiantes.

1. Funcione definidas por partes
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Escuela Normal Superior de Villavicencio
NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ____________________________________________________
ÁREA: CÁLCULO GRADO: UNDÉCIMO -__ FECHA: _______
DOCENTE: ARMANDO GONZÁLEZ PERÍODO: DOS GUÍA: 02
Existen muchos tipos de funciones, como la siguiente, que están definidas como funciones por partes.
Primero se define como se comporta en un intervalo, luego se define como se comporta en el siguiente intervalo, y así
para cuantos intervalos tenga la función. Este tipo de funciones se llaman funciones definidas por partes. También se le
puede llamar funciones definidas por pedazos o por trozos.
1. Vamos a observar la siguiente gráfica y analizar el comportamiento de cada intervalo.
1) Es una constante: (−8, −5]
2) Es una constante: (−5, −1]
3) Es una constante: (−1,4]
2. Considera la siguiente función por pedazos.
𝑓(−11) 𝑓(−10) = (−10)2
− 5(−10) = 150
𝑓(−10)
𝑓(−5)
𝑓(−2)
𝑓(1)
𝒙
𝒚 = 𝒇( 𝒙)
𝑓( 𝑥)
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬ 𝑡2
− 5𝑡 , 𝑡 ≤ −10
𝑡 + 19 , −10 < 𝑡 < −2
𝑡3
𝑡 + 9
, 𝑡 ≥ −2
( 𝑥) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬

2. Funcione definidas por partes
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3. Considera la siguiente función por pedazos:
ℎ(−1)
ℎ(0)
ℎ(2)
ℎ(8)
ℎ(10)
4. Se tiene la gráfica de 𝑔(𝑥).
Relaciona cada expresión con su valor.
𝟐 𝟓 −𝟑 Indefinido
𝑔(−4.0001)
𝑔(1.99999)
𝑔(2.00001)
𝑔(7)
Actividad
Evalúa las funciones definidas por partes dadas sus expresiones matemáticas.
1. Inventa una
𝑔(0)
𝑔(6)
𝑔(10)
𝑔(12)
𝑔(15)
ℎ( 𝑥) =
‫ە‬
‫۔‬
‫ۓ‬
𝑥3
, 𝑥 ∈ (−∞, 0]
24
𝑥
− 1 , 𝑥 ∈ (0,8]
( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 3), 𝑥 ∈ (8, ∞)
𝒙
𝒚
𝑔( 𝑡) =
‫ە‬
‫۔‬
‫ۓ‬

3. Funcione definidas por partes
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2.
𝑓(−5)
𝑓(−1)
𝑓(0)
𝑓(1)
𝑓(2)
3.
𝑓(0)
𝑓(8)
𝑓(9)
𝑓(10)
𝑓(12)
4.
𝑓(−12)
𝑓(−10)
𝑓(−5)
𝑓(−2)
𝑓(1)
5.
𝑔(−5)
𝑔(−3)
𝑔(0)
𝑔(6)
𝑔(10)
Evalúe funciones escalón a partir de su gráfica y determine la función que la denota
𝑓( 𝑡) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬
6𝑡 − 1 , 𝑡 ∈ (−∞, −1)
10𝑡
𝑡 + 1
, 𝑡 ∈ ሾ−1,1]
( 𝑡 − 2)( 𝑡 + 7), 𝑡 ∈ (1, ∞)
𝑓( 𝑡) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫−ۓ‬
64
𝑡
, 𝑡 = 8
14 − 𝑡 , 𝑡 = 10
𝑡2
− 3𝑡 + 2, 𝑡 ≠ 8,10
𝑓( 𝑡) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬
𝑡2
− 5𝑡, 𝑡 ≤ −10
𝑡 + 19 , −10 < 𝑡 < −2
𝑡3
𝑡 + 9
, 𝑡 ≥ −2
𝑔( 𝑡) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫−ۓ‬
72
𝑡
, 𝑡 ∈ (−∞, −3]
9 − 𝑡2
, 𝑡 ∈ (−3,6)
−𝑡 + 15, 𝑡 ∈ ሾ6, ∞)

4. Funcione definidas por partes
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6.
Escribe el valor de salida que le corresponde a estas entradas.
𝑓(−9) 𝑓(2) 𝑓(2.0001) 𝑓(4.9999) 𝑓(5) 𝑓(5.0001) 𝑓(8)
Escribe el valor de salida que le corresponde a estas entradas.
ℎ(−9) ℎ(−3.0001) ℎ(−3) ℎ(−2.999) ℎ(1,999) ℎ(2) ℎ(6)
7.
Escribe el valor de salida que le corresponde a estas entradas.
𝒇(−2) 𝑓(−2.0001) 𝑓(−1.9999) 𝑓(0.9999) 𝑓(1) 𝑓(1.0001) 𝑓(5)
8.
𝒙
𝒚
𝒚 = 𝒇(𝒙)
( 𝑥) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬
𝒙
𝒚
𝒚 = 𝒉(𝒙)
𝒙
𝒚
𝒚 = 𝒇(𝒙)
( 𝑥) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬
( 𝑥) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬
𝒙
𝒚
𝒚 = 𝒇(𝒙)
( 𝑥) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬

5. Funcione definidas por partes
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Escribe el valor de salida que le corresponde a estas entradas.
𝒇(−9) 𝑓(−3.0001) 𝑓(−3) 𝑓(−2.9999) 𝑓(3.9999) 𝑓(4) 𝑓(4.0001) 𝑓(7)
9.
Escribe el valor de salida que le corresponde a estas entradas.
𝒇(−9) 𝑓(−6.0001) 𝑓(−6) 𝑓(−5.9999) 𝑓(−0.0001) 𝑓(0) 𝑓(0.0001) 𝑓(6)
10.
Escribe el valor de salida que le corresponde a estas entradas.
𝒇(−9) 𝑓(−7.0001) 𝑓(−6) 𝑓(−5.9999) 𝑓(−0.0001) 𝑓(0) 𝑓(0.0001) 𝑓(6)
Cómo graficar una función definida por partes.
Ejemplo 1
𝒙𝒚
𝒚 = 𝒈(𝒙)
( 𝑥) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬
𝒚
𝒚 = 𝒇(𝒙)
( 𝑥) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
𝑔(𝑡) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬
−0.125𝑥 + 4.75 , −10 ≤ 𝑥 < −2
𝑥 + 7 , −2 ≤ 𝑥 < −1
−
12
11
𝑥 +
54
11
, −1 ≤ 𝑥 ≤ 10

6. Funcione definidas por partes
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Graficaremos los puntos finales y unirlos. Como se observa todas las grafica son funciones lineales.
Primer intervalo −0.125𝑥 + 4.75 − 10 ≤ 𝑥 < −2
𝑔(−10) = −0.125(−10) + 4.75 = 6 (−10,6) Incluye
𝑔(−2) = −0.125(−2) + 4.75 = 5 (−2,5) Excluye
Graficamos la línea
Segundo intervalo 𝑥 + 7 − 2 ≤ 𝑥 < −1
𝑔(−2) = −2 + 7 = 5 (−2,5) Incluye
𝑔(−1) = −1 + 7 = 6 (−1,6) Excluye
Graficamos la línea
tercer intervalo −
12
11
𝑥 + 54
11
− 1 ≤ 𝑥 ≤ 10
𝑔(−1) = −
12
11
(−1) +
54
11
= 6 (−1,6) Incluye
𝑔(10) = −
12
11
(10) +
54
11
= −6 (10, −6) Incluye
Graficamos la línea
Actividad
Gráficas de funciones lineales definidas por partes.
A continuación, está la gráfica de la función escalonada 𝒈.
Indica los intervalos correctos para obtener una fórmula para 𝑔(𝑥).
11.
𝒙
𝒚
𝑔( 𝑥) Intervalo

7. Funcione definidas por partes
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12. 𝒇 es una función continua definida por partes lineales de la siguiente forma:
13. 𝒚 es una función continua definida por partes lineales de la siguiente forma:
𝑓(𝑥) =
‫ە‬
ۖ
ۖ
‫۔‬
ۖ
ۖ
‫ۓ‬
−0.4𝑥 − 9 , − 10 ≤ 𝑥 < −5
2.5𝑥 + 5.5 , − 5 ≤ 𝑥 < −1
10
35
𝑥 +
115
35
, − 1 ≤ 𝑥 < 6
−𝑥 + 11 , 6 ≤ 𝑥 ≤ 10
Función 𝑓(𝑥) = (𝑥, 𝑦)
−0.4𝑥 − 9
𝑓(−10)
= −5
(−10, −5)
𝑓(−5) = −7 (−5, −7)
2.5𝑥 + 5.5 𝑓(−5) = −7 (−5, −7)
𝑓(−1) = 3 (−1,3)
10
35
𝑥 +
115
35
𝑓(−1) = 3 (−1,3)
𝑓(6) = 5 (6,5)
−𝑥 + 11 𝑓(6) = 5 (6,5)
𝑓(10) = 1 (10,1)
|
Recordarsiempredarlenombrealejedelaabscisaydelaordenada
𝑦(𝑡) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬
−11𝑡 − 108 , ሾ−10, −9)
14
11
𝑡 +
27
11
, ሾ−9,2)
−1.25𝑡 + 7.5 , ሾ2,10]
Función 𝑦(𝑡) = (𝑡, 𝑦)
−11𝑥 − 108 𝑦(−10) = 2 (−10,2)
𝑦(−9) = −9 (−9, −9)
14
11
𝑥 +
27
11
𝑦(−9) = −9 (−9, −9)
𝑦(2) = 5 (2,5)
−1.25𝑥 + 7.5 𝑦(2) = 5 (2,5)
𝑦(10) = −5 (10, −5)

8. Funcione definidas por partes
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14. 𝒙 es una función continua definida por partes lineales de la siguiente forma:
A continuación, está la gráfica de la función escalonada 𝒈.
Indica los intervalos correctos para obtener una fórmula para 𝑔(𝑥).
15.
𝑥(𝑡) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫−ۓ‬
5
3
𝑡 −
62
3
, − 10 ≤ 𝑡 < −7
−9 , − 7 ≤ 𝑡 < 5
0.8𝑡 − 13 , 5 ≤ 𝑡 ≤ 10
Función 𝑥(𝑡) = (𝑡, 𝑥)
−
5
3
𝑡 −
62
3
𝑥(−10) = −4 (−10, −4)
𝑥(−7) = −9 (−7, −9)
−9 𝑥(−7) = −9 (−7, −9)
𝑥(5) = −9 (5, −9)
0.8𝑡 − 13 𝑥(5) = −9 (5, −9)
𝑥(10) = −5 (10, −5)
𝒙
𝒚
𝑔( 𝑥) Intervalo

9. Funcione definidas por partes
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16. 𝒉 es una función continua definida por partes lineales de la siguiente forma:
17. 𝒚 es una función continua definida por partes lineales de la siguiente forma:
ℎ(𝑡) =
‫ە‬
ۖ
ۖ
‫۔‬
ۖ
ۖ
‫ۓ‬
−1.6𝑡 − 13 , − 10 ≤ 𝑡 < −5
6𝑡 + 25 , − 5 ≤ 𝑡 < −4
1 , − 4 ≤ 𝑡 < 3
6
7
𝑡 −
11
7
, 3 ≤ 𝑡 ≤ 10
Función ℎ(𝑡) = (𝑡, ℎ)
−1.6𝑡 − 13 ℎ(−10) = 3 (−10,3)
ℎ(−5) = −5 (−5, −5)
6𝑡 + 25 ℎ(−5) = −5 (−5, −5)
ℎ(−4) = 1 (−4,1)
1 ℎ(−4) = 1 (−4,1)
ℎ(3) = 1 (3,1)
6
7
𝑡 −
11
7
ℎ(3) = 1 (3,1)
ℎ(10) = 7 (10,7)
𝑦(𝑡) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬
−0.5𝑡 − 8 , ሾ−10,2)
2.75𝑡 − 14.5 , ሾ2,6)
−0.25𝑡 + 3.5 , ሾ6,10]
Función 𝑦(𝑡) = (𝑡, 𝑦)
−0.5𝑡 − 8 𝑦(−10) = −3 (−10, −3)
𝑦(2) = −9 (2, −9)
2.75𝑡 − 14.5 𝑦(2) = −9 (2, −9)
𝑦(6) = 2 (6,2)
−0.25𝑡 − 3.5 𝑦(6) = 2 (6,2)
𝑦(10) = 1 (10,1)

10. Funcione definidas por partes
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Dominio y rango de una función definida por partes
Actividad
18.
19.
20.
21.
22.
23.
𝑓(𝑥) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬
1 , 0 < 𝑥 ≤ 2
5 , 2 < 𝑥 < 6
−7 , 6 ≤ 𝑥 ≤ 11
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜
Todos los números reales
tales que
0 < 𝑥 ≤ 11
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓(𝑥) ∈ ሼ1,5, −7ሽ 𝑓(𝑥) = 1,5 ó − 7
𝑔(𝑥) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬
𝑥 + 7 , − 6 < 𝑥 ≤ −3
1 − 𝑥 , − 3 < 𝑥 < 4
2𝑥 − 11 , 4 ≤ 𝑥 ≤ 6
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 ሼ𝑥 ∈ ℝ| − 6 < 𝑥 ≤ 6ሽ
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 ሼ𝑔(𝑥) ∈ ℝ| − 3 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 4ሽ
1 < 𝑔(𝑥) ≤ 4
−3 < 𝑔(𝑥) < 4
−3 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 1
𝑓(𝑡) = ൝
𝑡 , − 8 < 𝑡 ≤ −6
5𝑡 + 24 , − 6 < 𝑡 ≤ −3
1 < 𝑔(𝑥) ≤ 4
−3 < 𝑔(𝑥) < 4
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 ሼ𝑥 ∈ ℝ| − 6 < 𝑥 ≤ 6ሽ
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 ሼ𝑔(𝑥) ∈ ℝ| − 3 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 4ሽ
𝑓(𝑥) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬
1 , 0 < 𝑥 ≤ 2
5 , 2 < 𝑥 < 6
−7 , 6 ≤ 𝑥 ≤ 11
1 < 𝑔(𝑥) ≤ 4
−3 < 𝑔(𝑥) < 4
−3 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 1
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 ሼ𝑥 ∈ ℝ| − 6 < 𝑥 ≤ 6ሽ
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 ሼ𝑔(𝑥) ∈ ℝ| − 3 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 4ሽ
𝑓(𝑡) = ൝
0 , − 5 < 𝑡 ≤ −2
4 , − 2 < 𝑡 ≤ 7
1 < 𝑔(𝑥) ≤ 4
−3 < 𝑔(𝑥) < 4
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 ሼ𝑥 ∈ ℝ| − 6 < 𝑥 ≤ 6ሽ
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 ሼ𝑔(𝑥) ∈ ℝ| − 3 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 4ሽ
𝑔(𝑥) = ൝
−2 , − 8 ≤ 𝑥 ≤ 0
−5 , 0 < 𝑥 ≤ 3
1 < 𝑔(𝑥) ≤ 4
−3 < 𝑔(𝑥) < 4
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 ሼ𝑥 ∈ ℝ| − 6 < 𝑥 ≤ 6ሽ
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 ሼ𝑔(𝑥) ∈ ℝ| − 3 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 4ሽ
𝑓(𝑥) = ൝
5 , −3 < 𝑥 < −1
6 , −1 ≤ 𝑥 ≤ 4
1 < 𝑔(𝑥) ≤ 4
−3 < 𝑔(𝑥) < 4
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 ሼ𝑥 ∈ ℝ| − 6 < 𝑥 ≤ 6ሽ
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 ሼ𝑔(𝑥) ∈ ℝ| − 3 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 4ሽ
ℎ(𝑥) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬
−2𝑥 − 7 , −8 < 𝑥 < 0
5𝑥 − 7 ,0 ≤ 𝑥 < 2
5 − 𝑥 ,2 ≤ 𝑥 ≤ 7
1 < 𝑔(𝑥) ≤ 4
−3 < 𝑔(𝑥) < 4
−3 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 1
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 ሼ𝑥 ∈ ℝ| − 6 < 𝑥 ≤ 6ሽ
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 ሼ𝑔(𝑥) ∈ ℝ| − 3 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 4ሽ