Tres cargas puntuales de 2μc están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 10cm de lado. Se determina que la magnitud de la fuerza experimentada por cada carga es de 3,6N y que las direcciones de las fuerzas varían dependiendo de la ubicación de cada carga. Usando la ley del coseno, se calcula que la magnitud real de las fuerzas es de 3,24N y se determinan las direcciones exactas de cada fuerza.
THIS DOCUMENT IS MAINLY PREPARED ON THE TIME RESPONSE OF A SECOND ORDER SYSTEM AND IN THIS DOCUMENT WE ALSO DONE THE SIMULATION BY USING MATLAB AND HERE WE ALSO DONE THE THEORETICAL MATHEMATICAL CALCULATIONS TO SHOW HOW THE SYSTEM IS BEHAVING IN DIFFERENT CONDITIONS AND HERE WE ALSO DONE THE MATLAB CODING AND THE RESULTS ARE ALSO PLOTTED IN THE DOCUMENT
Es un formulario sobre los teoremas y leyes de los vectores en el plano (2D) y en el espacio (3D).
El hecho que tiene graficas ayuda mejor a su comprencion y solucion de problemas físicos.
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Estos modelos nos permiten calcular el flujo y caída de presión asociados de fluidos compresibles. Así como la velocidad de propagación y hasta la velocidad del sonido en distintos medios.
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c.) La fuerza dinámica Fp que produce el flujo sobre el prototipo, si en el modelo se midió Fm=55N.
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Sara Sofia Bedoya Montezuma.
9-1.
1. UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”
VICERRECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
CABUDARE EDO. LARA
Teoría Electromagnética
Integrantes:
Cleysmed Castillo
21505953
Cabudare, Junio 2015
2. Tres cargas puntuales de 2µc están situadas en el aire, en los
vértices de un triangulo equilátero de 10cm de lado. Determine
la magnitud y la dirección de la fuerza experimentada por cada
carga.
Solución
Datos:
a) q1=q2=q3=2µc =2𝑥10−6
𝐶
b) r12=r23=r31=10cm = 0.1m
c) K=9𝑥109 𝑁.𝑚2
𝐶2
3. *El de todas las fuerzas son iguales porque todas las cargas tienen
el mismo valor; entonces
|𝐹⃗| = |𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = |𝐹23⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = |𝐹31⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑘
𝑞2
𝑟2
(9𝑥109
𝑛. 𝑚2
𝑐2
)
(2𝑥10−6
)2
(0,1𝑚)2 = 3,6𝑛
*La direcciones de cada fuerza si varían, ya que dependen de la
ubicación de cada carga.
*Ya que el triangulo es equilátero todos los ángulos interiores son
de 60°, también el modulo de las fuerzas resultantes 𝐹1,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 𝐹3⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se
pueden calcular usando la ley del coseno, ya que se conoce el valor
de dos lados que conforman el triangulo que forman, y el ángulo
que hay entre ellos, veamos:
|𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √|𝐹32|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 +|𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2 − 2|𝐹32⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|. |𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑐𝑜𝑠120°
|𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √(3,6𝑁)2 + (3,6)2−. (3,6𝑁)(3,6𝑁)𝑐𝑜𝑠120°
|𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =
18 √3𝑁
5
= 3,24𝑁; |𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = |𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = |𝐹3⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 6,24𝑁
Ahora la posición de cada vector, el vector unitario de la fuerza
|𝐹32⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| es 𝑎𝑥⃗⃗⃗⃗⃗; asi 𝐹32⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3.6𝑁𝑎𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 𝐹23⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3.6(−𝑎𝑥)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Para el vector 𝑭𝟏𝟐⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ será:
(F12x) ⃗= |𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos60= 3.6N cos60°= 9/5 N
𝐹12𝑦⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|sen60° = 3.6N sen60° =
9 √3
5
N = 3.12N
6. (p3-8) Una distribución esférica de carga 𝝆 = 𝝆˳ [𝟏 − (
𝑹 𝟐
𝒃 𝟐)]existe
en la región 0≤R≤b. Esta rodeada concéntricamente por una
capa conductora de radio interior Ri(>b) y radio exterior R˳.
determine 𝑬⃗⃗⃗⃗en todos los puntos.
Solución
Se identifica como condición dada que la fuente tiene simetría, por
lo tanto la superficie gaussiana, apropiada deben ser esféricas
concéntricas.
7. 1) superficie gaussiana hipotética S1 con R<b(0<R<b) dentro de la
esfera, sobre esta superficie 𝐸⃗⃗⃗⃗ es radial y tiene magnitud
constante:
𝐸⃗⃗ = 𝑎𝑟⃗⃗⃗⃗⃗𝐸𝑟; 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗
Aplicando la ley de gauss, el flujo total de salida es:
∮ 𝐸⃗⃗. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑟 ∫ 𝑑𝑠
𝑠1𝑠1
= 𝐸𝑟4𝜋2
; ∫ 𝑑𝑠
𝑠1
𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑅
La carga tortal encerrada por la superficie gaussiana es:
𝑄 = ∫ 𝜌𝑣𝑑𝑣 = ∫ ∫ ∫ 𝜌˳
𝑅
0
[1 − (
𝑅2
𝑏2
)]
𝜋
0
2𝜋
0𝑣
𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑∅
𝑄 = 𝜌˳ ∫ ∫ ∫ (R −
R 𝟑
b 𝟐
)
𝑹
𝟎
𝝅
𝟎
𝟐𝝅
𝟎
𝑑𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑∅
𝑄 = 𝜌˳ ∫ ∫ [
𝑅2
2
−
R4
4𝑏2
]
𝜋
0
2𝜋
0
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑∅
0
𝑅
𝑄 = 𝜌˳ 𝑅 𝟐
4𝜋 (
1
2
−
𝑅2
4𝑏2
) (−𝑐𝑜𝑠𝜃)
0
𝜋
(2𝜋)
= 𝜌˳𝑅2
(
1
2
−
𝑅2
4𝑏2
) (−𝑐𝑜𝑠𝜋 + 𝑐𝑜𝑠0)(2𝜋)
𝑄 = 𝜌˳ 𝑅 𝟐
4𝜋 (
1
2
−
𝑅2
4𝑏2
) => 𝑄 = 4𝜋 𝑅 𝟐
𝜌˳ (
1
2
−
𝑅2
4𝑏2
) 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑏
8. 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝐸𝑟4𝜋 𝑅 𝟐
= 4𝜋 𝑅 𝟐
𝜌˳
𝜺˳
(
1
2
−
𝑅2
4𝑏2
)
𝐸𝑟 =
𝜌˳
𝜺˳
(
1
2
−
𝑅2
4𝑏2
) 𝑎𝑟⃗⃗⃗⃗⃗0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑏
2)Para una superficie gaussiana S2, b≤R≤Ri
∮ 𝐸.⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑟4𝜋𝑅2
𝑆2
La carga total encerrada es (toda la carga está encerrada por
Ri):
𝑄 = 𝜌˳ [1 −
𝑅2
𝑏1
]
4𝜋
3
𝑏3
Igualando nuevamente
𝐸𝑟4𝜋𝑅2
=
𝜌˳
𝜺˳
[1 −
𝑅2
𝑏2
]
4𝜋
3
𝑏3
𝐸𝑟 =
𝜌˳
𝜺˳𝑹 𝟐
[1 −
𝑅2
𝑏2
]
𝑏3
3
=> 𝐸𝑟 =
𝜌˳𝒃 𝟑
𝜺˳𝟑𝑹 𝟐
(1 −
𝑅2
22
) 𝑎𝑟⃗⃗⃗⃗⃗𝑏 ≤ 𝑅 ≤ 𝑅𝑖
3) Para una superficie gaussiana Se; Ri ≤ R ≤ R˳
∮ 𝐸.⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑟4𝜋𝑅2
𝑆3
La carga toral dentro de la capa conductora es de cero; ya que las
cargas se desplazan a la superficie, luego Q=∅ entonces
𝐸𝑟4𝜋𝑅2
= ∅ => Er=∅ 𝑠𝑖 𝑅𝑖 ≤ 𝑅 ≤ 𝑅˳
9. 4) Para una superficie gaussiana S4; R ≥ R˳
∮ 𝐸.⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑟4𝜋𝑅2
𝑆4
La carga total Q, es la que esta sobre la superficie de R˳, asi que:
∮
𝑄
𝜺˳𝐸
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝐸𝑟4𝜋𝑅2
=
𝑄
𝜺˳
=> 𝐸𝑟
𝑄
4𝜋𝜺˳R˳2
𝑎𝑟⃗⃗⃗⃗⃗; 𝑅 ≥ R˳
(p3.9) Dos superficies cilíndricas de longitud infinita, r=a y r=b
donde b>a, tiene densidad superficial de carga a 𝑷 𝒔𝒂 y 𝑷 𝒔𝒃,
respectivamente.
a.- Determine E en todos los puntos.
b.- Cual será la relación entre a y b para que se anule para r>b.
E̅=ar̅ Er
Aplicando Gauss
A) Er=0, para r>a
Er=
aPsa
Eor
, para a<r<b.
Er=
aPsa+Psb
Eor
, para r>b
B)
b
a
= -
Psa
Psb
.