S. DIÉDRICO. INTERSECCIÓN DE PLANOS Y RECTAS CON PLANOS. 2º BACHILLERATO

DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO
SISTEMA DIÉDRICO
INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS Y ENTRE RECTA Y PLANO
A2
A
B
M2 B2
B1
r2
r
2
2
M
Vm2

A1
A2 r2
s1
B1
B2
C2
O
C1
r1
s2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
1. Dibuja las trazas del plano determinado por la recta horizontal
r: A (-70, 0, 30), C (0, 40, 30) y la frontal s: B (-30, 40, 0),
C ( 0, 40, 30). Representa en el plano las líneas de
máxima pendiente y de máxima inclinación

V1r-A1
V2r-A2
r2
s1
H1s-B1
H2s-B2
C2
O
1. Se hallan las trazas
vertical V2r y
horizontal H1s
de las rectas dadas
C1
r1
s2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

2. La traza horizontal 1 del plano
pasará por la traza horizontal H1s.
Además, será paralela a la
proyección horizontal r1 por
ser la recta r una recta horizontal
1
V2r-A2
r2
s1
H1s-B1
C2
O
C1
r1
s2
V1r-A1
H2s-B2

1
2
V2r-A2
r2
s1
H1s-B1
C2
O
C1
r1
s2
3. La traza vertical 2 pasa por la
traza vertical V2r, y es paralela a
la proyección vertical s2 por ser
la recta r una recta frontal
V1r-A1
H2s-B2

4. Por el punto C de intersección de las
rectas r y s se traza la recta m de
MÁXIMA PENDIENTE, de manera
que m1 sea perpendicular a la
traza horizontal 1 del plano
1
V2r-A2
r2
r1
s1
m1
m2
s2
C1
H1s-B1
C2
O
H1m
V2m
2
V1mH2m
O
V1r-A1
H2s-B2

5. De igual manera, por el punto C
se traza la recta n de
MÁXIMA INCLINACIÓN,
de manera que n2 sea
perpendicular a 2
1
V2r-A2
r2
r1
s1
m1
m2
n2
n1
s2
C1
H1s-B1
C2
O
H1m
H1n
V2m
V2n
2
V1n
H2nO
V1mH2mV1r-A1
H2s-B2

A1
1
V2r-A2
r2
r1
s1
m1
m2
n2
n1
s2
C1
H1s-B1
B2
C2
O
H1m
H2m
V2m
1
V2r-A2
r2
s1
H1s-B1
C2
O
C1
r1
s2
2
V1r-A1 V1r-A1
1
V2r-A2
r2
s1
H1s-B1
H2s-B2 H2s-B2
C2
O
C1
r1
s2
5. De igual manera, por el punto C se traza la
recta n de MÁXIMA INCLINACIÓN,
de manera que n2 sea perpendicular a 2
4. Por el punto C de intersección de las rectas r y s
se traza la recta m de MÁXIMA PENDIENTE,
de manera que m1 sea perpendicular a la
traza horizontal 1 del plano
3. La traza vertical 2 pasa por la traza vertical V2r,
y es paralela a la proyección vertical s2 por ser
la recta r una recta frontal2. La traza horizontal 1 del plano pasará por la traza
horizontal H1s. Además, será paralela a la
proyección horizontal r1 por
ser la recta r una recta horizontal
1. Se hallan las trazas vertical V2r y horizontal H1s
de las rectas dadas
H1n
H2n
V2n
V1n
1. Dibuja las trazas del plano determinado por la recta horizontal r: A (-70, 0, 30), C (0, 40, 30) y la frontal s: B (-30, 40, 0),
C ( 0, 40, 30). Representa en el plano las líneas de máxima pendiente y de máxima inclinación

2. Por el punto P (0, 55, 25) traza un plano  paralelo al segundo plano bisector.
O
P2
P1

1. Se traza un plano 
de perfil cualquiera
O
P2
2
1
P1

2. Se halla la tercera proyección
P3 del punto P
O
P2 P3
2
1
P1

3.Trazamos el 2º BISECTOR, a
135º de la LT
O
135º
P2 P3
2º bis.
2
1
P1

4. La traza 3 es paralela
a la traza del 2º bisector
y pasa por P3
O
P2 P3
2º bis.
2
1
P1
3

5. Una vez tenemos 3
podemos trazar 1 y 2,
paralelas a la LT y
perpendiculares al
P Perfil
O
P2 P3
2º bis.
2
3
2
1
1
P1

O
P2
P1
1. Se traza un plano 
de perfil cualquiera
O
P2
2
1
P1
2. Se halla la tercera proyección
P3 del punto P
O
P2 P3
2
1
P1

5. Una vez tenemos 3, podemos trazar 1 y 2,
paralelas a la LT y perpendiculares al P Perfil
O
P2 P3
2º bis.
2
3
2
1
1
P1
4. La traza 3 es paralela a la traza del
2º bisector y pasa por P3
O
P2 P3
2º bis.
2
1
P1
3
3.Trazamos el 2º BISECTOR,
a 135º de la LT
O
135º
P2 P3
2º bis.
2
1
P1

3. Dadas las proyecciones diédricas de un punto P (-20, 30, 15) y de una recta r: A (0, 20, 0) B ( 20, 20, 20),
haya las trazas del plano  que determinan.
O
P2
A2
B2
r2
r1
B1
A1
P1

1. Elegimos un punto M cualquiera
de la recta r que tenga M1 en r1 y
m2 en r2
O
P2
A2
B2
r2
r1
B1M1
M2
A1
P1

2. Unimos P y M mediante
la recta m y hallamos
sus trazas V2 y H1
O
P2
A2
B2
r2
r1
Hm2 Vm1
B1M1
Hm1 Vm2
M2
m2
m1
A1
P1

3. El problema estriba en tener
las trazas de r y de m
para situar el plano
resultante. La traza H1 de r
coincide con A1
O
P2
Hr2-A2
B2
r2
r1
B1M1
Hm1 Vm2
M2
m2
Hr1=A1
P1
m1
Hm2 Vm1

4. La traza horizontal 1del plano 
es la que une las trazas
horizontales de r y m (Hr1-Hm1)
O
P2
B2
r2
r1
B1M1
Hm1 Vm2
M2
m2
1
Hr1=A1
P1
m1
Hr2-A2 Hm2 Vm1

5. La traza vertical 2 se halla al unir
la traza vertical Vm2 con el vértice del
plano (punto donde corta 1 con la LT)
O
P2
B2
r2
r1
B1M1
Hm1 Vm2
M2
m2
1
2
Hr1=A1
P1
m1
Hr2-A2 Hm2 Vm1

5. La traza vertical 2 se halla al unir la traza vertical
Vm2 con el vértice del plano
(punto donde corta 1 con la LT)
O
P2
B2
r2
r1
B1M1
Hm1 Vm2
M2
m2
1
2
P1
m1
O
P2
B2
r2
r1
B1M1
Hm1 Vm2
M2
m2
1
P1
m1
4. La traza horizontal 1del plano es la que
une las trazas horizontales de r y m (Hr1-Hm1)
O
P2
Hr1=A2
B2
r2
r1
B1M1
Hm1 Vm2
M2
m2
Hr1=A1
P1
m1
3. El problema estriba en tener las trazas de r y
de m para situar el plano resultante.
La traza H1 de r coincide con A1
O
P2
A2
B2
r2
r1
B1M1
Hm1
Hm2
Hm2Hm2Hm2
Vm2
Vm1
Vm1Vm1Vm1
M2
m2
m1
A1
P1
2. Unimos P y M mediante la recta m y hallamos
sus trazas V2 y H1
O
P2
A2
B2
r2
r1
B1M1
M2
A1
P1
1. Elegimos un punto M cualquiera de la recta r
que tenga M1 en r1 y m2 en r2
Datos:
O
P2
A2
B2
r2
r1
B1
A1
P1
Hr1=A2 Hr1=A2
Hr1=A1 Hr1=A1

4. Halla el punto de intersección de los tres planos dados







1. Se halla la recta r
de intersección
de los planos
 y .
 


r1
r2
Vr2
Hr1


2. Se halla la recta s
de intersección de
los planos  y 






r1
r2
s2
s1
Vr2
Vs2
Hr1
Hs1

3. Donde se cortan
r y s se encuentra
el punto P
solicitado






r1
r2
s2
s1
Vr2
P2
P1
Vr2
Hr1
Hs1

3. Donde se cortan
r y s se encuentra
el punto P
solicitado






r1
r2
s2
s1
Vr2
P2
P1
Vs2
Vs1
Hr1
Hs1
Hs2
2. Se halla la recta s
de intersección de
los planos  y 






r1
r2
s2
s1
Vr2
Vs2
Vs1
Hr1
Hs1
Hs2
1. Se halla la recta r
de intersección
de los planos
 y .
 


r1
r2
Vr2
Vr1
Vr1 Vr1-
Hr1
Hr2
Hr2 Hr2








5. Halla la intersección de los cuatro pares de planos dados











 


5a. = Plano paralelo al P. Horizontal/ = Plano oblicuo a los dos planos de proyección




5a. = Plano paralelo al P. Horizontal/ = Plano oblicuo a los dos planos de proyección



r2
r2
r
Por ser  paralelo al PH, la recta r
de intersección con  es una recta
horizontal que pertenece a ambos planos,
por tanto r2 coincide con b2,
y r1 es paralela a a1
r1
r1
V2
V2






5b. y = Planos oblicuos a los dos planos de proyección





5b. y= Planos oblicuos a los dos planos de proyección
1. Localizamos las trazas V y H,
que estarán donde se corten
las trazas de los planos:
y
V2
V1
H1
H2




5b. y= Planos oblicuos a los dos planos de proyección
2. Uniendo H1 con V1 y H2 con V2 obtenemos la recta
intersección. Lo único que hay que tener en cuenta es
la visibilidad de la recta, que queda visible a partir de
su traza V2 hacia el Primer Cuadrante
V2
V1
r2
r1
H1
H2

5a. Halla la intersección de y= Plano paralelo al P. Horizontal / = Plano oblicuo a los dos planos de proyección
5b. Halla la in tersección de los planos yAmbos son Planos oblicuos a los dos planos de proyección








V2
V1
H1
H2



V2
V1
r2
r1
H1
H2





r2
r1
V2
V1

5 Halla la intersección de los cuatro pares de planos dados




5c. Plano proyectante Horizontaly= Plano oblicuo a los dos planos de proyección





1. Donde 1 y 1 se cortan tenemos H1.
Dado que  es proyectante horizontal, la
proyección horizontal r1 coincidirá con
la traza horizontal 1 del plano 
H1
r1




2. Donde 1 y 1 se cortan tenemos V2.
Uniendo V2 y H2 tenemos la traza r2
H1
H2
V2
V1
r1
r2





5d. Plano proyectante Verticaly= Plano proyectante horizontal

1. Como ambos planos son
proyectantes, r1 coincide
con 1 y r2 con 2




r2=
=r1

5d. Plano proyectante Horizontaly= Plano oblicuo a los dos planos de proyección
1. Como ambos planos son
proyectantes, r1 coincide
con 1 y r2 con 2




r2=
=r1












H1
r1
1. Donde 1 y 1 se cortan tenemos H1.
Dado que  es proyectante horizontal, la
proyección horizontal r1 coincidirá con
la traza horizontal 1 del plano 



2. Donde 1 y 1 se cortan tenemos V2.
Uniendo V2 y H2 tenemos la traza r2
H1
H1
H2
V2
V1
H2
V2
V2
V1V1
r1
r2

6. Determina el punto de intersección de la recta r con el triángulo dado. Considerando el triángulo opaco,
diferencia las partes vistas y ocultas de la recta en cada proyección
r2
r1
A1
A2
B2
C2
C1
B1

1. Se determina el plano ,
proyectante horizontal,
que contiene a la recta r:
La traza horizontal 1
coincide con la
proyección horizontal r1
r2
r1=1
A1
A2
B2
C2
C1
B1

2. Se halla la recta m de
intersección del plano a con
el triángulo dado:
Los puntos M y N de dicha
recta son los puntos de
intersección del plano a
con los lados AC y BC
respectivamente.
r2
r1=1=
A1
M1
N1
N2
M2
m2
m1
A2
B2
C2
C1
B1

3. El punto P de intersección
entre m y r es la solución.
r2
r1=1=
A1
M1
N1
N2
M2
m2
m1
A2
B2
P2
P1
C2
C1
B1

4. A partir de P determinamos
las partes vistas y ocultas
de la rectar2
r1=1=
A1
M1
N1
N2
M2
m2
m1
A2
B2
P2
P1
C2
C1
B1

4. A partir de P determinamos
las partes vistas y ocultas
de la rectar2
r1=1=
A1
M1
N1
N2
M2
m2
m1
A2
B2
P2
P1
C2
C1
B1
3. El punto P de intersección
entre m y r es la solución.
r2
r1=1=
A1
M1
N1
N2
M2
m2
m1
A2
B2
P2
P1
C2
C1
B1
2. Se halla la recta m
de intersección del plano
 conel triángulo dado:
Los puntos M y N de dicha
recta son los puntos de
intersección del plano 
con los lados AC y BC
respectivamente.
r2
r1=1=
A1
M1
N1
N2
M2
m2
m1
A2
B2
C2
C1
B1
1. Se determina el
plano ,
proyectante hori.
zontal, que contiene
a la recta r:
La traza horizontal 1
coincide con la
proyección
horizontal r1
r2
r1=1
A1
A2
B2
C2
C1
B1
r2
r1
A1
A2
B2
C2
C1
B1

7. Por el punto P (40, 40, 35), traza un plano  que sea paralelo a las dos rectas r: A (-45, 20, 0) B (0, 20, 35)
y s: C (0, 0, 20) D (0, 30, 20).
O
A2
P2
C2 D2
C1
P1
A1
B2
B1
D1
s1
s2r2
r1
P2
C2 D2
C1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r1
r S
s1
s2
P
P1

y s: C (0, 0, 20) D (0, 30, 20).
1.Por el punto P trazamos r´y s´,
paralelas a r y s.
O
A2
P2
C2 D2
C1
P1
A1
B2
B1
D1
s1
s2r2 r´2
s´2
s´1
r´1
r1
P2
C2 D2
C1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r´2
s´2
s´1
r1
r
r´
S´
P
P1
S
s1
s2
r´1

y s: C (0, 0, 20) D (0, 30, 20).
2. Siendo r´una recta frontal y
s´una recta de punta, se hallan
las trazas H1r´ y V2s´
O
A2
P2
C2 D2
C1
P1
A1
B2
B1
D1
s1
s2r2 r´2
s´2
s´1
r´1Hr´1
Vs´2
r1
P2
C2 D2
C1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r´2
s´2
s´1
Vs´2
r1
r
S´
P
P1
Hr´1
S
s1
s2
r´
r´1

y s: C (0, 0, 20) D (0, 30, 20).
3. Teniendo Hr´1 y Vs´2,
se traza el plano que definen
r´y s´.
La traza horizontal pasa
por Hr´1 y es peralela
a s´1 y la traza vertical
por Vs´2 y es la que une
Vs´2 con el vértice
del plano
O
A2
P2
P2
C2 D2
C2 D2
C1
C1
2
2
1
1
P1
A1
B2
B2
A2
A1
B1
B1
D1
D1
D
B
s1
s2r2
r2
r´2
r´2
r´1
s´2
s´2
s´1
s´1
r´1Hr´1
Vs´2
Vs´2
r1
r1
r
S´
P
Hr´1
S
s1
s2
r´
P1

y s: C (0, 0, 20) D (0, 30, 20).
P2
C2 D2
C1
2
1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r´2
r´1
s´2
s´1
Vs´2
r1
r
S´ r´
P
P1Hr´1
S
s1
s2

1.Por el punto P trazamos
rý s´, paralelas a r y s.
2. Siendo rúna recta frontal y
súna recta de punta, se hallan
las trazas H1r´ y V2s´
3. Teniendo Hr´1 y Vs´2, se traza
el plano que definen rý s´. La
traza horizontal pasa por Hr´1
y es peralela a s´1 y la traza
vertical por Vs´2 y es la que une
Vs´2 con el vértice del plano
P2
C2 D2
C1
2
1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r´2
r´1
s´2
s´1
Vs´2
r1
r
S´ r´
P
P1Hr´1
S
s1
s2
P2
C2 D2
C1
2
1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r´2
r´1
s´2
s´1
Vs´2
r1
r
S´
P
Hr´1
S
s1
s2
r´
P1
P2
C2 D2
C1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r´2
s´2
s´1
r1
r
r´
S´
P
P1
S
s1
s2
r´1
O
A2
P2
C2 D2
C1
P1
A1
B2
B1
D1
s1
s2r2
r1
O
A2
P2
C2 D2
C1
P1
A1
B2
B1
D1
s1
s2r2 r´2
s´2
s´1
r´1
r1
O
A2
P2
C2 D2
C1
P1
A1
B2
B1
D1
s1
s2r2 r´2
s´2
s´1
r´1Hr´1
Hr´2
Vs´2
Vs´1 Vs´1
r1
O
A2
P2
C2 D2
C1
2
1
P1
A1
B2
A2
B1
D1
s1
s2r2 r´2
s´2
s´1
r´1Hr´1
Vs´2
r1
y s: C (0, 0, 20) D (0, 30, 20).
P2
C2 D2
C1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r1
r S
s1
s2
P
P1

8. Determina las trazas de un plano , que pasando por el punto P (0, 15, -30) sea paralelo al plano  que contiene
a la LT y al punto A (-20, 25, 30).
o
P1
A2
A2
A
P
21
A1
P2
P2

1. Ya que  contiene a la LT,
se traslada todo a la tercera
proyección mediante el
Plano de Perfil
o
P1
A2
A3
A2
A
P
2
3
1
2
1
A1
P2 P3
P2

2. En la tercera proyección,
por el punto P se traza
el plano  paralelo a,
siendo b paralelo a la LT
o
P1
A2
A3
A2
A
P
2
3
3
1
2
1
A1
P2 P3
P2

3. Una vez tenemos 3,
se pueden trazar 1 y 2
o
P1
A2
A3
2
3
3
1
2
1
2
1
A1
P2 P3
A2
A
P
P2
2

A2
A
P
P2
2
A2
A
P
P2
A2
A
P
P2
A2
A
P
P2
o
P1
A2
A3
2
3
3
1
2
1
2
1
A1
P2 P3
3. Una vez tenemos 3,
se pueden trazar 1 y 2
2. En la tercera proyección, por el
punto P se traza el plano  paralelo a,
siendo b paralelo a la LT
o
P1
A2
A3
2
3
3
1
2
1
A1
P2 P3
1. Ya que  contiene a la LT, se traslada
todo a la tercera proyección mediante el
Plano de Perfil
o
P1
A2
A3
2
3
1
2
1
A1
P2 P3
o
P1
A2
21
A1
P2

9. Representa el plano  que contiene a la recta r: A (0, 20, 20) B (30, 0, 20) y es perpendicular al plano  ( -30, 30, 30).
o
A2
A2
A
B2
B1
r2
r2
r
r1
B1
2
2
A1
B
B2
1

o
A2
A2
A
B
M2
M2 B2
B1
r2
r2
r
r1
B1
M1
2
2
1. Se elige un punto arbitrario
M de la recta r
A1
M
B2-Vr2
1

o
A2
A2
A
B
Hm1
Vm2
M2
m2
m1
M2 B2
B1
r2
r2
r
r1
B1
M1
A1
2
2
1
2. Por el punto M trazamos la recta m
perpendicular al plano y hallamos las
trazas Vm2 y Hm1
M
B2-Vr2 Vm2

o
A2
A2
A
B
B2-Vr2
Hm1
Vm2
M2
m2
m1
M2 B2
B1
r2
r2
r
r1
B1
M1
A1
2
2
2
1
1
2
3. La traza vertical 2 del plano
es la que une las trazas verticales V2m y V2r.
y la traza horizontal 1 es la que une Hm1
con el vértice del plano
M
Vm2
Hm1
1

o
A2
A2
A
B
B2-Vr2
Hm1
Vm2
M2
m2
m1
M2 B2
B1
r2
r2
r
r1
B1
M1
A1
2
2
2
1
2
3. La traza vertical 2 del plano
es la que une las trazas verticales V2m y V2r.
y la traza horizontal 1 es la que une Hm1
con el vértice del plano
M
Vm2
1

o
A2 B2r2
r1
B1
2
A1
1
o
A2 M2r2
r1
B1-Vr1
M1
2
1. Se elige un punto arbitrario M de la recta r
A1
B2-Vr2
1
o
A2
Hm1
Hm2
Vm2
Vm1
M2
m2
m1
r2
r1
M1
A1
2
1
B2-Vr2
A2
A
B1
r2
r
2
B
B2 A2
A
B
M2 B2
B1
r2
r
2
M
A2
A
B
M2 B2
B1
r2
r
2
M
Vm2
2. Por el punto M trazamos la recta m
perpendicular al plano y hallamos las
trazas Vm2 y Hm1
B1-Vr1

3. La traza vertical 2 del plano es la que une las trazas verticales V2m y V2r,
y la traza horizontal 1 es la que une Hm1 con el vértice del plano
A2
A
B
M2 B2
B1
r2
r
2
1
2
M
Vm2
Hm1
o
A2 B2-Vr2
Hm1
Hm2 Hm2
Vm2
Vm1 Vm1
M2
m2
m1
r2
r1
B1
M1
A1
2
2
1
1
A2
A
B
M2 B2
B1
r2
r
2
2
M
Vm2
o
A2 B2-Vr2
Hm1
Vm2
M2
m2
m1
r2
r1
B1
M1
A1
2
2
1
1

10. Dados los planos  (1 - 2) y  (1-2) hallar: 1º. La recta i, de intersección de ambos.
2º.El punto P donde esta recta corta al primer bisector
2
1
1
2

2
1
1
2
1º. Las trazas de la recta de intersección i las determinan las intersecciones
de las trazas de los planos .

2
1
1
2
1º. Las trazas de la recta de intersección i las determinan las intersecciones
de las trazas de los planos .
i´´
i´
H´´i
Hi´
Vi´
Vi´´

2
1
1
2
2º. El punto P´- P´´, donde la recta i corta al primer bisector, debe cumplir dos condiciones:
a) para pertenecer a la recta sus proyecciones tienen que encontrarse en las proyecciones
del mismo nombre de la recta, P´ en i´ y P´´ en i´´.
b) Para ser un punto en el primer bisector, cota y alejamiento han de ser iguales.
Para ello se traza un arco arbitrario desde H´´ y la recta auxiliar d, que forma con la LT
el mismo ángulo que con i´´
i´´
d
i´
H´´i
Hi´
Vi´
V´´

2
1
1
2
3. El punto donde la recta d corta a i´ es el punto P´ (proyección horizontal del
punto P que buscamos), y teniendo P´ calculamos P´´
i´´
d
i´
H´´i
P´´
P´
H´
V´
V´´

i

i´
i´´
i

11. Determinar las proyecciones de la recta de intersección de los planos  (1 - 2) y  (1 2).
Efectuar el cálculo recurriendo a la proyección sobre el plano de perfil
21
1
2

21
1
2
1º. Ambos planos son perpendiculares al plano de perfil y paralelos a la LT,
por tanto la recta de intersección i de ambos, también tendrá esas características

21
1
2
1º. Se hayan las trazas 3 y 3 de los planos dados con el perfil, lo que permite calcular i´´´
PP

2
2´
1
1´
1
1´
2
2´
3
3
1º. Se hayan las trazas 3 y 3 de los planos dados con el perfil, lo que permite calcular i´´´
PP
i´´´

21
1
2
3
3
PP
i´´
i´´´
1º. A partir de i´´´ se hallan las proyecciones i´- i´´ .
2´
1´1´
2´
i´
i´´

21
1
2
3
3
1º. A partir de i´´´ se hallan las proyecciones i´- i´´ .
PP
i´´´
i´´
i´
i´´
i´
2´
1´1´
2´

12. Hallar las proyecciones del punto I, intersección de la recta r (r´ - r´´) con el plano  (1 - 2).
Trazar las proyecciones de la frontal f, del plano  que pasa por el punto I
1
r2
r1
2

1
1
2r2
r1
2
1º. Para calcular el punto I de intersección de una recta con un plano, se hace contener
la recta en un plano auxiliar que, para facilitar la operación, conviene que sea proyectante,
vertical u horizontal. En este caso es ´- ´´ , PROYECTANTE VERTICAL

2º. La intersección de 1 -2 con 1 - 2 produce la recta i1 - i2,
que corta a r1 - r2 en I1 - I2
1
1
r2 i2
i1
r1
vi2
vi1 Hi2
Hi1
2
2

2º. La intersección de 1 -2 con 1 - 2 produce la recta i1 - i2,
que corta a r1 - r2 en I1 - I2
1
1
r2 i2
I1
i1
r1
vi2
vi1 Hi2
Hi1
2
2
I2

3º. La FRONTAL f1 - f2 que se pide debe cumplir las siguientes condiciones:
f1 contendrá a I1, y será paralela a la LT.
Su única traza, Hf1, se encontrará en 1
1
1
r2 i2
I2
f1
I1
i1
r1
vi2
vi1 Hi2
Hi1
Hf1
2
2

1
1
r2 i2
I2
f1
I1
i1
r1
vi2
vi1 Hi2
Hi1
Hf1
Hf2
2
2

1
1
r2 i2
I2
f2
f1
I1
i1
r1
vi2
vi1 Hi2
Hi1
Hf1
Hf2
2
2

13. Determinar las proyecciones del punto I, de intersección de los tres planos dados  (1 - 2),  (1-2) y  (1-2).
Indicar en qué diedro se encuentra dicho punto I, así como los valores en mm de su alejamiento y su cota
1
1
1
2
2
2
.........Diedro
Alejamiento.........mm
Cota..................mm

1
1
1
2
2
2
1º. Se haya la recta r1 - r2, intersección
de los planos 1 - 2 y 1 - 2
vr2
vr1
Hr2
Hr1
r1
r2
.........Diedro
Cota..................mm

1
1
2
1
1
2
2
2
.........Diedro
Cota..................mm
vr2
vr1
Hr2
Hr1
r1
r2
2º. Se calcula la intersección de la recta r1 - r2,
calculada anteriormente, con el tercer plano 1 - 2.
Para ello utilizamos un plano auxiliar 1 - 2,
proyectante vertical que contiene a r1 - r2.
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

1
1
2
1
1
2
2
2
vr2
vr1 vi1
i1
i2
vi2
Hr2 Hi2
Hi1
Hr1
r1
r2
.........Diedro
Cota..................mm
2º. Se calcula la intersección de la recta r1 - r2,
calculada anteriormente, con el tercer plano 1 - 2.
Para ello utilizamos un plano auxiliar 1 - 2,
proyectante vertical que contiene a r1 - r2.

1
1
2
1
1
2
2
2
... Diedro4º
Alejamiento... mm6
Cota....... mm-17
vr2
vr1 vi1
I1
I2
i1
i2
vi2
Hr2 Hi2
Hi1
Hr1
r1
r2
3º. la recta de intersección i1 - i2 corta
a la recta r1 - r2 en el punto I1 - I2, que es
la solución que buscamos

14. Hallar la intersección de dos planos cuyas trazas se salen del papel
2
1 1
2

1. Trazamos el plano auxiliar horizontal P,
paralelo al PH
2
P2
1 1
2

2. sacamos las rectas r y s, intersecciones
de P y P respectivamente.
Las trazas horizontales de ambas rectas
se cortarán en el punto A1, y posteriormente
sacamos A2 en P2
2
P2=r2=s2
r1
s1
1 1
2
A1
A2

3. Trazamos el plano auxiliar frontal Q,
que corta a  y .
2
P2=r2=s2
Q1
r1
s1
1 1
2
A1
A2

4. Trazamos las rectas intersección
t y u entre Q y Q que se cortan
en el punto B2, y posteriormente
sacamos B1 en Q1
2
P2=r2=s2
B2
Q1=t1=u1
r1
s1
t2
u2
1 1
2
A1
B1
A2

5. Uniendo los puntos A y B obtenemos
la recta intersección i
2
P2=r2=s2
Q1=t1=u1
r1
i2
i1
s1
t2
u2
1 1
2B2
A1
B1
A2

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