Geometría Cuarto Medio

GEOMETRÍA DEL PLANO
1. Conceptos básicos de Geometría

2. Los polígonos

3. Proporcionalidad de segmentos y semejanza
4. El Teorema de Pitágoras
5. La circunferencia
6. Áreas de figuras planas
7. Movimientos en el plano. Mosaicos

2

1. CONCEPTOS BÁSICOS DE
GEOMETRÍA
1. RECORDANDO LOS ELEMENTOS
BÁSICOS DE GEOMETRÍA.
2. SEGMENTOS RECTILÍNEOS
3. ÁNGULOS: MEDIDA Y
CLASIFICACIÓN
a) Clasificación de ángulos
b) Bisectriz de un ángulo

4. PA R A L E L I S M O Y
PERPENDICULARIDAD.
a) Trazado de paralelas y de perpendiculares
b) Mediatriz de un segmento
c) Proyección ortogonal

1.1.ELEMENTOS BÁSICOS
El término Geometría viene del
griego, y significa medida de tierras.
Todos los cuerpos que nos rodean
ocupan una posición en el espacio.
Se llama extensión a la porción de
espacio ocupado por un
cuerpo, admitiendo ésta tres
direcciones: la longitud, la anchura y
la altura, cada una de las cuales se
llama dimensión.
Hay cuerpos que se reducen a una sola
dimensión, como la línea, o otros a
dos dimensiones, como la
superficie. El punto es la mínima
expresión de la extensión y, por
tanto, no tiene ni longitud, ni
anchura, ni altura; solamente nos
indica una posición en el espacio.
4

1.2. SEGMENTOS
RECTILÍNEOS
Un segmento rectilíneo AB es la parte de recta comprendida
entre los puntos A y B.

A B
• Sobre una recta, un solo punto A determina dos semirrectas.

A
• Para medir un segmento es necesario adoptar una unidad patrón y
compararla con la longitud del segmento.

u
• De las unidades utilizadas históricamente las más convencionales
responden a dos sistemas:
1. Sistema métrico Decimal : Mm, Km, Hm, Dm, m, dm, cm, mm,...
2. Sistema Anglosajón: Milla, yarda, pie, pulgada...
5

PARALELISMO Y
PERPENDICULARIDAD
•Las vías de un tren nos
sugieren la idea de rectas
paralelas (dos rectas son
paralelas cuando, por más que
se prolonguen, nunca se
encuentran).
•Los postes que las fijan al 90º

suelo, dan la idea de rectas
perpendiculares ya que forma
con ellas ángulos rectos.
•El cruce de vías nos muestra
líneas oblícuas.

6

ÁNGULOS Ángulos

• Ángulo es la parte del plano comprendida entre dos
semirrectas que parten de un punto común llamado
vértice.

Ángulo llano=180º

Ángulo recto
1 R=90º Ángulo
completo=360º
NOTA: Las medidas anteriores y las siguientes están dadas en SISTEMA
SEXAGESIMAL. Existen otros sistemas para medir ángulos como son el
sistema centesimal y radianes 7

TIPOS DE ÁNGULOS

Ángulo agudo Ángulo obtuso Ángulo Ángulo
convexo cóncavo
Menor que un Mayor que un
recto recto Menor que Mayor que dos
dos rectos rectos

Ángulos Ángulos
complementarios suplementarios
(Si suman 90º) (Si suman 180º)

8

MEDIDA DE ÁNGULOS
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Radianes

Ángulo Ángulo Ángulo Un Un
completo llano recto grado minuto
SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2  /2

9

TRAZADO DE PARALELAS Y
PERPENDICULARES

Rectas
paralelas

Rectas
perpendiculares

10

SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN
TRIÁNGULO

C


 Trazamos una recta paralela al
lado AB del triángulo

' '
A B
  '
Los dos ángulos son iguales por tener los lados paralelos
 ' y ser agudos (También sería cierto si los dos fuesen
obtusos)
 
      180 º
Los tres ángulos de un triángulo suman
 '     '  180 º siempre 180º

11

MEDIATRIZ DE UN
SEGMENTO
La mediatriz de un segmento es la recta
perpendicular a dicho segmento por
su punto medio.
Con centro en A y en B se trazan arcos
de igual radio que se cortan en dos
puntos que determinan la mediatriz
A B del segmento AB.

d d
d’ d’’ d’’ d’

A B
Observa que los d1 d1
puntos de la
mediatriz de un
segmento AB
equidistan de los
extremos Á y B
12

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

La recta que
divide un
ángulo en dos
partes iguales d’
se llama
d
bisectriz.
d
d’

Observa que los
puntos de la bisectriz
de un ángulo experimenta
equidistan de los
lados del ángulo
13

RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO.

MEDIATRICES.- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el
punto medio de dicho lado.
Corte único de las mediatrices: CIRCUNCENTRO, que es el centro de la
circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

BISECTRICES.-Rectas que partiendo del vértice parten el ángulo en dos
iguales.
Corte único de bisectrices: INCENTRO, que es el centro de la
circunferencia inscrita (interior), tangente a los tres lados.

ALTURAS.- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del vértice
opuesto a cada uno de ellos.
Corte único de alturas: ORTOCENTRO.

MEDIANAS.- Rectas que van del vértice al punto medio del lado opuesto.
Dividen el triángulo en dos regiones de igual área.
Corte único de medianas: BARICENTRO, que es el centro de gravedad
del triángulo (Física).

MEDIANAS

C

b
a
B

A
B
c

MEDIANAS: Rectas que van del vértice al punto medio del lado
opuesto. Generan dos triángulos de igual área. Se cortan en un único
punto llamado Baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo.

C

b
a

C
A
B
c

MEDIATRICES

MEDIATRICES: Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado
por su punto medio. Se cortan en un punto llamado Circuncentro, que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres

ALTURAS C

b
a
O

c
A
B
ALTURAS: Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el
vértice opuesto . Se cortan en un punto llamado Ortocentro.

BISECTRICES

C

b
a

A/2 I

A/2
A
B
c

BISECTRICES: Rectas que dividen en dos el ángulo correspondiente
al vértice del que parte. Se cortan en un punto llamado
INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del

RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO
EQUILATERO. C

b
a
B=O=C=I

A B

c

EN UN TRIÁNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS
RECTAS NOTABLES, ASÍ COMO SUS PUNTOS

RECTA DE EULER

La recta de Euler es
la recta que pasa
por el baricentro, el
circuncentro y el
ortocentro de un
triángulo.

2. LOS POLÍGONOS
1. POLÍGONOS:
a. Definición. Elementos de un polígono
b. Clasificación de polígonos
c. Suma de los ángulos interiores de los polígonos convexos.
d. Trazado de polígonos regulares.
e. Polígonos regulares estrellados

2. TRIÁNGULOS.
a. Clasificación de triángulos.
b. Igualdad de triángulos. Construcción de triángulos.
c. Rectas y puntos notables de un triángulo.

3. CUADRILÁTEROS:
a. Clasificación de cuadriláteros.
b. Propiedades de las diagonales de un paralelogramo.

2.1. POLÍGONOS

Polígono es la superficie plana limitada por una
línea poligonal cerrada.
La palabra polígono proviene del griego y está compuesta por poli
(varios) y gono (ángulos).

Línea poligonal abierta • Línea poligonal cerrada

23

ELEMENTOS DE UN
POLÍGONO

Vértice Diagonal

Ángulo interior
Ángulo exterior

Perímetro de un polígono es la suma de las longitudes
de sus lados

24

CLASIFICACIÓN DE LOS
POLÍGONOS
Según el número de lados de los polígonos, éstos pueden
ser: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos,
heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos,...

El polígono que tiene todos sus lados
y todos sus ángulos iguales se dice
que es un polígono regular. En estos, Centro

y sólo en estos, aparecen dos nuevos
elementos: centro y apotema.
25

SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN
POLÍGONO
Número Número de Suma de los Número de
Polígono de triángulos ángulos diagonales
lados interiores

Triángulo 3 1 180º

Cuadrilátero 4 2 2 . 180º
Pentágono
6
Heptágono
Octógono
9

Polígono de n lados n n-2

Copia en tu cuaderno y completa el cuadro
anterior 26

Número Número Suma de Número de
Polígono de lados de los diagonales
triángulos ángulos
interiores

Triángulo 3 1 180º 0

Cuadrilátero 4 2 2 . 180º 2

Pentágono 5 3 3. 180º 5

Hexágono 6 4 4. 180º 9

Heptágono 7 5 5. 180º 14

Octógono 8 6 6. 180º 20

Eneágono 9 7 7. 180º 27

Decágono 10 8 8. 180º 35

Undecágono 11 9 9. 180º 44

Dodecágono 12 10 10. 180º 54

....... ....... ....... ....... .......

Polígono de n lados n n-2 (n-2). 180º n(n-3)/2
27

CONSTRUYENDO UN
PENTÁGONO REGULAR

28

CONSTRUYENDO UN
PENTÁGONO REGULAR

29

CONSTRUYENDO
POLÍGONOS REGULARES

30

CONSTRUYENDO

experimenta
31

ESTRELLADOS
Una de las figuras más bellas en geometría y muy utilizada en el arte de la
lacería árabe, la constituyen los polígonos estrellados, obtenidos al unir
vértices no consecutivos de los polígonos regulares.

Si en un
pentágono regular
unimos sus
vértices saltando
de dos en dos,
obtenemos la
estrella
pentagonal. Esta
estrella sirvió de
emblema a la
escuela pitagórica
fundada en
Crotona, en el
siglo VI a. J.C.

32

2.2. TRIÁNGULOS
Triángulo es un polígono de tres lados.
Clasificación:

SEGÚN SUS LADOS:

EQUILÁTERO: si siene los tres lados iguales.

ISÓSCELES: si tiene dos lados iguales y uno desigual.

ESCALENO: si tiene los tres lados distintos
SEGÚN SUS ÁNGULOS:

ACUTÁNGULO: si tiene los tres ángulos agudos.

RECTÁNGULO: si tiene un ángulo recto.

OBTUSÁNGULO: si tiene un ángulo obtuso.
33

CONSTRUYENDO
TRIÁNGULOS
Para construir triángulos es preciso conocer tres de sus elementos:

a) Conocidos los tres
lados a, b y c: c) Con un lado a y los
dos ángulos
a b a adyacentes B y C:
b
c c a
c B
b) Con dos lados a y b, y el
ángulo comprendido C:

a
b B
b
c
c c a
a
experimenta
34

CRITERIOS DE IGUALDAD DE
TRIÁNGULOS

I. Dos triángulos son iguales si
b a
tienen los tres lados iguales.

c

II. Dos triángulos son iguales si b
tienen iguales dos lados y el
ángulo comprendido entre c
ellos a

III. Dos triángulos son iguales si
tienen iguales un lado y los B
dos ángulos adyacentes. c
a

35

Mediatrices de un triángulo:
Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio

D Circuncentro

Las tres mediatrices de
un triángulo se cortan en
un punto llamado
circuncentro
36

Mediatrices de un triángulo:
Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un
punto llamado circuncentro

C El circuncentro de un
triángulo equidista de los
vértices del triángulo.

DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC

DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
D Circuncentro DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r

Podemos dibujar una circunferencia de radio r, con
centro en D.

A B Esta circunferencia pasará por los tres vértices del
triángulo. Se llama circunferencia circunscrita al
triángulo.

El circuncentro es el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo.
37

MEDIATRICES DE UN
TRIÁNGULO: de un triángulo se cortan en un punto
Las tres mediatrices
llamado circuncentro . Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo.

Observa que
en el triángulo
rectángulo el
circuncentro
está en el
Observa que en el punto medio
triángulo acutángulo de la
el circuncentro está hipotenusa.
en el interior del
triángulo.

Observa que en el
triángulo obtusángulo
el circuncentro está
Se llama mediatriz de un en el exterior del
segmento a la recta triángulo. experimenta
perpendicular a dicho
segmento que pasa por
su punto medio 38

ALTURAS DE UN TRIÁNGULO:
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto
llamado ortocentro.

C C

O B
A
Observa que en el
O triángulo rectángulo
el ortocentro
A B C coíncide con el
vértice del ángulo
recto del triángulo.
Se llama altura de un triángulo
a la recta perpendicular a un
A B
lado que pasa por el vértice
opuesto a dicho lado

Indica que el ángulo es recto.
experimenta

O 39

Bisectrices de un triángulo:
Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que lo divide en dos
ángulos iguales

I Incentro

Las tres bisectrices
de un triángulo se
cortan en un punto
llamado incentro

40

Bisectrices de un triángulo:
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un
punto llamado incentro

C El incentro de un triángulo
equidista de los lados del
triángulo.

IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del ángulo C

IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del ángulo B
P
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del ángulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
I M

Podemos dibujar una circunferencia de radio r, con
centro en I.

A B Esta circunferencia es tangente a los tres lados del
N triángulo. Se llama circunferencia inscrita en el
triángulo.

El incentro es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo.
41

BISECTRICES DE UN
TRIÁNGULO:
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto
llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triángulo.
C
C

I

I A B

A B C

Se llama bisectriz de un
ángulo a la semirrecta que
divide en dos partes iguales I
dicho ángulo

A B
experimenta
42

MEDIANAS DE UN
TRIÁNGULO:
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto
llamado baricentro que es el centro de gravedad del triángulo.
C C

P N

P G
N

G A B
M

C
A M B

Se llama mediana de un N
triángulo a la recta que pasa P
por un vértice y por el punto
medio del lado opuesto
G

B
P, M, N son los puntos medios A M
de los lados experimenta
43

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN
TRIÁNGULO

• Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado
circuncentro. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

•Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado
baricentro. Es el centro de gravedad del triángulo.

• Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado
incentro. Es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

•Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.

RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES

44

2.3. CUADRILÁTEROS:
Polígonos de cuatro lados

l Lados iguales y los cuatro
Cuadrado
ángulos rectos
l
C
Lados iguales dos a dos y los
L PARALELOGRAMOS Rectángulo h
cuatro ángulos rectos
(tienen los lados b
A paralelos dos a dos) Lados iguales y ángulos iguales
Rombo D
S d dos a dos

I Romboide h Lados y ángulos iguales dos a
dos
F b
b Sección inferior de un triángulo
I T.Rectángulo h rectángulo por una paralela a la
C B base
b
A TRAPECIOS
(Tienen dos lados T. Isósceles
Sección inferior de un triángulo
isósceles por una paralela a la
h
C paralelos)
B
base
I b Sección inferior de un triángulo
T. Escaleno h escaleno por una paralela a la
Ó B base
N TRAPEZOIDES No tiene ningún lado paralelo a
(Ningún lado paralelo) otro
45

PROPIEDADES DE LAS
DIAGONALES DE UN
PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un En el rombo y en el cuadrado, las
paralelogramo en dos triángulos diagonales se cortan perpendicular-
iguales. mente, siendo a la vez bisectrices de
sus ángulos.
A
B

B’
A’

Las diagonales de cualquier En el rectángulo y el cuadrado, las
paralelogramo se cortan en su punto diagonales son iguales.
medio.

46

3. PROPORCIONALIDAD
1. PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
Y SEMEJANZA
2. T E O R E M A D E TA L E S
A. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA
D E TA L E S
B. LA TERCERA PROPORCIONAL.
SECCIÓN ÁUREA.
3. SEMEJANZA
A. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
B. POLÍGONOS SEMEJANTES.
4. ESCALAS

3.1. PROPORCIONALIDAD DE
SEGMENTOS Y SEMEJANZA
Las sombras de los dos árboles son
proporcionales a las respectivas alturas

H s h

S H
h
S. árbol
pequeño (s) Tales de Mileto (640-550 a. J.C.)
A Sombra del árbol grande (S) en uno de sus viajes a Egipto
midió la altura de una pirámide
aprovechando el momento en
que su propia sombra medía
tanto como su estatura
H B

h ¿Con qué razón de proporcionalidad
trabajo Tales en esta experiencia?
O ¿Podrías calcular la altura de un
A’ s
B’ edificio de tu entorno midiendo su
S sombra y teniendo presente tu altura y
OB' BB' la longitud de tu sombra?
  k (razón de proporcionalidad)
OA' AA'
48

3.2. TEOREMA DE TALES
r
Si varias paralelas determinan
segmentos iguales sobre una E’
recta r, determinan también D’ E’’
segmentos iguales sobre C’
cualquier otra recta r’ a la que D’’
B’
corten C’’
A’
B’’

O
O A B C D E r’
A A’

B’ TEOREMA DE TALES:
B Los segmentos determinados por
rectas paralelas en dos rectas
concurrentes son proporcionales.

OA OA' AB A' B'
 o tambien 
OB OB' OB OB'
experimenta
49

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA
DE TALES
Toda paralela a un lado de un
triángulo ABC determina con los A
otros dos un nuevo triángulo AMN
cuyos lados son proporciona les a M N
los del primero.

Si en un triángulo ABC tenemos una B P C
paralela MN al lado BC, por el teorema
de Tales se cumple :
AM AN
 (1)
AB AC
Trazando por N una paralela a AB,
por el mismo teorema tenemos:
AN BP MN El teorema de Tales permite
  ( 2) dividir un segmento
AC BC BC cualquiera en partes
iguales.
De (1) y (2) se deduce:

AM AN MN
 
AB AC BC

50

LA TERCERA PROPORCIONAL.
SECCIÓN ÁUREA experimenta

Un segmento x se llama tercera x
proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporción:
b
a b
 b
b x a
También sobre un segmento AB es
posible visualizar la tercera proporcional,
hasta localizar un punto C del segmento b x
AB de forma que:
A C B

b
bx b
1  1
AB AC
 ó también :  x 
b 
AC CB b x b x 
x
1 5
   1 0
2 Resolviendo   1'618033989 ...
la ecuación 2
(número áureo o número de oro)

51

3.3. LA SEMEJANZA

Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos
homólogos iguales y sus lados proporcionales

Teorema fundamental: Si dos lados de un
triángulo se cortan por una paralela al tercero, se
obtiene otro triángulo semejante al primero.

52

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS

CRITERIOS DE SEMEJANZA

I. Dos triángulos son semejantes
si tienen los tres lados
proporcionales.

II. Dos triángulos son semejantes
si tienen dos ángulos iguales .

III. Dos triángulos son
semejantes si tienen dos
lados proporcionales y el
ángulo comprendido igual.

53

POLÍGONOS SEMEJANTES

Polígonos semejantes son los
que se descomponen en
triángulos semejantes dispuestos
correlativamente.
Se llama razón de semejanza de
los polígonos a la razón entre sus
lados homólogos.

P

P
La razón de los perímetros de
dos polinomios semejantes es
igual a la razón de semejanza

Polígonos homotéticos experimenta

54

3.4. ESCALAS

Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequeñas, hemos de
recurrir a reducir o aumentar su representación gráfica. Diremos que la pieza
está dibujada a escala.

A la relación entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones
reales se le llama escala gráfica.
Por ejemplo, si un mapa viene dado a escala 1:30 000, indica que 1 cm del
dibujo representa 30 000 cm en la realidad.
Según si el primer número es menor o mayor que el segundo, la escala
reducirá o ampliará respectivamente el tamaño real del objeto.

Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son: el
compás de reducción (resuelta útil para medir) y el pantógrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada).

El pantógrafo consta de cuatro reglas articuladas con
un punto de apoyo A, una punta metálica B para
repasar el original y un portalápiz C. Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF.
Los puntos A, B y C están alineados de modo que:
experimenta
AC AE

AB AD 55

4. EL TEOREMA DE PITÁGORAS.

1. PITÁGORAS

2. NÚMEROS PARTICULARES

3. TEOREMA DE PITÁGORAS

4. TEOREMA DE LA ALTURA

5. TEOREMA DEL CATETO

6. RELACIONES MÉTRICAS EN
TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS

4.1. PITÁGORAS

Se supone que Pitágoras era nativo de Samos y pertenecía, como
Tales, a la colonia jónica de griegos establecida en las costas e islas
occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor. Vivió desde
aproximadamente 569 a.J.C.. En el año 529 a. J.C. Se instaló en Crotona, una
ciudad de la colonia dórica en el sur de Italia, y allí comenzó a disertar sobre
filosofía y matemáticas. A su cátedra acudía una muchedumbre de entusiastas
auditores de todas clases: muchos de las clases altas e incluso las mujeres
infringían una ley que les prohibía asistir a reuniones públicas.
Los más interesados de sus discípulos se constituyeron en una
sociedad o hermandad. Se les conocía como la Orden de Pitágoras y ejercieron
una gran influencia, tanto política como religiosa. más allá del mundo griego. Lo
compartían todo, sostenían las mismas creencias filosóficas, se dedicaban a las
mismas investigaciones y se comprometían con un juramento a no revelar los
secretos y las enseñanzas de la escuela.

La estrella pentagonal fue un símbolo distintivo de la hermandad

57

4.2. NÚMEROS PARTICULARES

Los pitagóricos clasificaban los números
en pares e impares según formas o
estructuras asociadas a ellos: 10=1+2+3+4

Un número producto de dos factores
desiguales, se llamaba oblongo: • Los números triángulos eran
1, 3, 6, 10, ...El n-ésimo número
triangular es la suma de los n primeros
(8=4x2) números. Dos triangulares sucesivos
Si dos factores eran iguales, el número se
llamaba cuadrado. El cuadrado n- forman juntos un cuadrado.
ésimo de un número es la suma de los
n primeros números impares • Un número de tres factores se llamaba
sólido. Si los tres factores eran
iguales, se llamaba cubo.

1=1x1 12=3x2x2 27=3x3x3

4=2x2=1+3 • Un número piramidal es la suma de
una serie de números cuadrados
9=3x3=1+3+5
5=1+4
16=4x4=1+3+5+9
14=1+4+9

58

4.3. NÚMEROS PITAGÓRICOS.
TEOREMA DE PITÁGORAS

Catetos: Hipotenusa: Relación aritmética:
b, c a a2=b2+c2
3y4 5 52=32+42
2
b =9 6y8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
c2=16 7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=15experimenta
2+82

La relación aritmética entre los catetos y la Los números
hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo que verifican
esta relación
se conoce con el TEOREMA DE PITÁGORAS:
Cateto (b)

reciben el
nombre de
En un triángulo rectángulo, la suma números
pitagóricos
de los cuadrados de los catetos es
Cateto (c) igual al cuadrado de la hipotenusa
Demostración
a2=b2+c2
59

4.4. TEOREMA DE LA ALTURA

En todo triángulo rectángulo, los triángulos obtenidos al trazar la
altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre sí
C

Por ser los triángulos BHC y CHA
semejantes, sus lados son h
proporcionales:
BH HC n m
 n h B A
es decir,  H
HC HA h m
TEOREMA DE LA ALTURA:
o también, h  mn
2
La altura relativa a la hipotenusa de
un triángulo rectángulo es media
proporcional entre los segmentos en
que divide a ésta.

60

4.5. TEOREMA DEL CATETO

En todo triángulo rectángulo, los triángulos obtenidos al trazar la
altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre sí
C
Por ser los triángulos AHC y
ABC semejantes, sus lados b
son proporcionales: a h
AH AC m b
 es decir, 
AC AB b c n m
B A
H
c

o también, b2  m  c TEOREMA DEL CATETO:
En todo triángulo rectángulo un cateto
es media proporcional entre la
hipotenusa y su proyección sobre ella.

61

4.6. RELACIONES MÉTRICAS EN
TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo en un triángulo cualquiera
es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble
del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre
C En el tr. AHC: b 2 h 2  n 2 En el tr. BHC: h2  a2  BH
2

b2 a 2  BH2  n2
b
BH  c  n  c 2  n2  2cn
2 2
a Además:
h
Sustituyendo b2  a2  n2  c 2  2cn  n2
n
B c-n A
H a2  b2  c 2  2cn a2  b2  c 2
c
C
b) El cuadrado del lado opuesto a un ángulo
obtuso en un triángulo cualquiera es
a igual a la suma de los cuadrados de los
b h otros dos lados más el doble del
producto de uno de ellos por la
n proyección del otro sobre
B c A H
c+n a2  b2  c 2  2cn a2  b2  c 2
62

CLASIFICACIÓN DE UN TRIÁNGULO A PARTIR
DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Un triángulo será acutángulo, rectángulo u obtusángulo según
que el cuadrado de su lado mayor sea menor, igual o mayor que
la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

b a
b a
a2 < b2 + c2 a2 = b 2 + c 2
c
c

a
b
a2 > b 2 + c 2
c experimenta

63

5. LA CIRCUNFERENCIA

1. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
2. APROXIMACIÓN DEL NÚMERO 
3. NÚMERO 
4. R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A .
P O S I C I Ó N R E L AT I VA .
5. DETERMINACIÓN DE UNA
CIRCUNFERENCIA.
6. ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
A. CLASIFICACIÓN
B. MEDIDA DE LOS ÁNGULOS EN UNA
CIRCUNFERENCIA

5.1. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es la línea curva plana y cerrada formada por los
puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto
interior llamado centro.

Además de los elementos de la circunferencia
arco (centro, radio, diámetro, cuerda, arco) es
interesante conocer su longitud.

Arquímedes (s. III a. J.C.) se imaginaba la
circunferencia como la figura obtenida por
exhaustión de polígonos regulares inscritos y
centro circunscritos. La longitud de la circunferencia está
comprendida entre los perímetros de estos
polígonos.

6 lados 12 lados 24 lados 48 lados

experimenta
65

5.2. APROXIMACIÓN DEL NÚMERO PI

APROXIMACIÓN DE PI PI Longitud de la circunfere ncia 
   D  2r 66

5.3. NÚMERO 

=3.141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768
73117702027606580198567877822933137487565529317947017508282796173334466023408319243216
87635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831
83662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310
98097354711945038954490522398489502977422015658526826942312277172915188003715954213744
09790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531
01972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230
12060408919386264671305215215681546012337187219967499102525807521244789854019999287501
40444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484
20308402276707050721678865921466212494484986832477878288797603812415562065478620931564
50989687953018938760745711991625401123007401764256137764343829899181448728875101736578
30770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476
77117559527887469067969625636795619777864860939456802032265224861816378150408453521798
34645518246814994258905547349642243493654651930734174995135826895725830540430184728962
79387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768
73117702027606580198567877822933137487565529317947017508282796173334466023408319243216
87635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831
83662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310
98097354711945038954490522398489502977422015658526826942312277172915188003715954213744
09790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531
01972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230
12060408919386264671305215215681546012337187219967499102525807521244789854019999287501
40444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484
20308402276707050721678865...

67

5.4. RECTAS Y CIRCUNFERENCIA.
POSICIÓN RELATIVA

 Exterior, si no la corta en ningún punto
 Una recta respecto de la
circunferencia puede ser:  Tangente, si la corta en un solo punto
 Secante, si la corta en dos puntos
Exterior
Secante
Tangente

Exteriores
 Exteriores
 Tangentes interiores
 Dos circunferencias  Tangentes exteriores
pueden ser entre sí: Tangentes
 Secantes interiores
 Interiores
 Concéntricas Tangentes
exteriores
Secantes

Interiores Concéntricas
68

5.5. DETERMINACIÓN DE UNA
CIRCUNFERENCIA .
 Por un punto A pasan
infinitas circunferencias.  Por dos puntos A y B pasan
infinitas circunferencias.
A
A

B

B

C
 Por tres puntos no alineados
A pasa una única circunferencia

69

5.6. ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Ángulos Características
El vértice del ángulo central coincide con el
Ángulo
centro de la circunferencia.
central

Ángulo El vértice del ángulo interior es un punto interior
interior a la circunferencia.

Ángulo El vértice del ángulo inscrito es un punto de la
inscrito circunferencia y los lados son rectas secantes.

El vértice del ángulo semiinscrito es un punto de
Ángulo
la circunferencia y los lados son una recta
semiinscrito
secante y otra tangente a la circunferencia.

El vértice del ángulo exterior es un punto exterior
a la circunferencia y los lados pueden ser:

 Rectas secantes
Ángulos  Una recta secante y la otra tangente
exteriores  Rectas tangentes
70

MEDIDA DE LOS ÁNGULOS EN UNA
CIRCUNFERENCIA

 Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente

A


O



  


O

B 
g
C
   g
   
  
71

 Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia,
son iguales

90º

g g 180º

 Todos los ángulos
g inscritos que abarcan
un diámetro, son
rectos.
g g
experimenta

experimenta

72

6. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

1. MIDIENDO SUPERFICIES
2. ÁREAS DE LOS POLÍGONOS MÁS SENCILLOS
A. E L Á R E A E N L O S P R O D U C TO S N O TAB L E S
B. ÁREA DEL TRIÁNGULO
C. ÁREA DEL ROMBOIDE
D. ÁREA DEL ROMBO
E. ÁREA DEL TRAPECIO
3. ÁREA DE UN POLÍGONO.
4. ÁREA DEL CÍRCULO.
5. ÁREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES.
6. RAZÓN ENTRE LAS ÁREAS DE DOS FIGURAS
SEMEJANTES.

ÁREAS DE LOS POLÍGONOS MÁS
SENCILLOS

Para medir superficies es necesario
adoptar una unidad patrón y compararla con
la extensión de dicha superficie.
43 u2 46,5 u2
Las unidades patrón de superficie en el
SMD son Mm2, Km2, Hm2, Dm2, m2, dm2, cm2,
mm2. Sin embargo, para medir terrenos, se
utilizan las llamadas unidades agrarias:
Hectárea(Hm2), área (Dm2) y centiárea (m2).

h Área del rectángulo=Base x altura A=b.h

b

l Área del cuadrado=lado x lado A=l2

l
74

ÁREAS DE CUADRILÁTEROS

h h h

b b b

Área del romboide=Base x altura A=b.h

base  altura D d
D
Área del rombo  A
2 2
experimenta
d d

Área delromboide
Área del trapecio  
b 2
base  altura
h 
2

B B b
A
B  b   h
B+b 2 75

ÁREA DEL TRIÁNGULO, TRAPEZOIDE,
POLÍGONO REGULAR E IRREGULAR.

base  altura b h
h h Área del triángulo 
2
A
2
b b

Área del trapezoide o
polígono irregular=
=Suma de las áreas de
los triángulos

Área del polígono regular=
=Suma de las áreas de los triángulos=
=nºde triángulos x área de uno de los triángulos

l  a P  a Perímetro  apotema
a A  n  
2 2 2
l 76

UN PROBLEMA CLÁSICO:
EL ÁREA DEL CIRCULO

Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de
la matemática en el periodo helénico:
La duplicación del cubo o problema de Delos, consiste en determinar el lado de un cubo
de volumen doble del otro cubo de lado dado.
La trisección del ángulo consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales
con regla y compás.
La cuadratura del círculo, nacido seguramente de la necesidad práctica de calcular el área
de un círculo, consiste geométricamente en determinar con regla y compás el lado de un
cuadrado equivalente a un círculo de radio dado.

Perímetro  apotema 2r  r
Área del círculo    r 2
2 2
r

A  r 2

77

ÁREA DE OTRAS FIGURAS
CIRCULARES

Área de corona circular=
R =Área circulo mayor-Área círculo menor

r 
A  R2  r 2   R2  r 2 

R2
R Área del sector circular  
360º
α
2R
Longitud de un arco de circunfere ncia  
360º

78

EL ÁREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES

a. Toma una cartulina en forma de cuadrado y córtala como se muestra en las figuras.
El área del cuadrado se conserva

b

ab
(a+b)2 = = a2 + + b2
a
ab
a+b a b (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a-b)2 = a2 - ab ab + b2

a-b b
a (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
79

EL ÁREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES

b. Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus
esquinas.

a2 - b2 =
a-b =
a+b

b

a a-b
a-b

(a+b)(a-b) = a2 - b2

Recuerda:
(a + b)2= a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2

80

RAZÓN ENTRE LAS ÁREAS DE DOS
FIGURAS SEMEJANTES
A A’
B B’
F’
F
AB BC CD DE EF FA P
E’       r
C’ A ' B' B' C' C' D' D' E' E' F' F' A ' P'
D’
E C
D
A
 r2
La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es
experimenta
igual al cuadrado de la razón de semejanza entre ellos:
A'

l A
3 9
l’ l' A'
l
l’
l A l
2 4
l' A'
81

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
NOMBRE FORMA ÁREA

TRIÁNGULOS
1
(Polígono de tres lados) Triángulo h A bh
b 2

Cuadrado l A  l2
PARALE-
LOGRA-
MOS Rectángulo h A  bh
b
(tienen los
Dd
lados
paralelos dos Rombo
D A
CUADRI- a dos)
d 2
A  bh
LÁ-
TEROS Romboide h
(Polígono
b
de cuatro TRAPE CIOS b Bb
lados) (Tienen dos Trapecio (rectángulo, A h
lados isósceles o escaleno) h 2
paralelos) B
TRAPE- Trapezoide Se divide en 2 triángulos y se suman
ZOIDES sus áreas

Polígono regular Pa
POLÍGONOS A
DE n LADOS l a 2
Polígono irregular Se divide en triángulos y se suman
sus áreas

Circunferencia L  2 r
Círculo
r A    r2 82

MOVIMIENTOS A TRAVÉS DE LOS
MOSAICOS

Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos, ahora bien,
¿has pensado lo que sucedería si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de polígono
regular?

No todos los polígonos regulares
Las baldosas recubren exactamente el plano. Sólo
pentagonales no
recubren
tres tipos de mosaicos poligonales
perfectamente el tienen esta particularidad
plano

Mosaicos Mosaicos
Mosaicos
hexagonales triangulares
cuadrangulares

83

MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales, podemos imaginar que una baldosa genera otra
vecina por diferentes tipos de movimientos. La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos.
Traslación
T
Simetría
S
Giro de 180º de
G centro el punto
medio de un lado:
Giro de 90º
G90º respecto de
un vértice:
Giro de 180º
G180º respecto de
un vértice:

84

Parte de lo anterior está basado en su
mayoría en el libro GEOMETRÍA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos
Didácticos Alhambra nº 20 en el que se puede
encontrar ejercicios sobre los temas vistos en

87

Geometría Cuarto Medio

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