CICLO PRE UCH 2016 I

1. Facultad de Ciencias
e
Ingeniería
E.A.P. de Ingeniería:
Sistemas y
Electrónica
CICLO
PRE
I
MATEMÁTICA BASICA 2016 I
Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email - mtarazona@uch.edu.pe
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TEMA: Ecuación Cuadrática SEMANA:
TURNO: NOCHE AULA: 504 B FECHA:
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Las ecuaciones de segundo grado deben
tener una x elevada al cuadrado.
Es de la forma 𝐚𝐱 𝟐
+ 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 𝐬𝐢 𝐚 ≠ 𝟎
Coeficientes: a, b y c
Fórmula para resolver:
Discriminante
01. Resolver: 2𝑥2
+ 4𝑥 − 6 = 0
Como el discriminante es mayor que cero
tiene dos soluciones distintas
Escribimos el valor de los coeficientes y
a, b y c y aplicamos la fórmula.
𝑎 = 2, 𝑏 = 4 𝑦 𝑐 = −6
02. Resolver: 𝑥2
+ 2𝑥 + 1 = 0
El discriminante es igual a cero por lo
tanto tiene una solución doble.
𝑎 = 1, 𝑏 = 2 𝑦 𝑐 = 1
Recuerda:
03. Resolver: 2𝑥2
+ 2𝑥 + 1 = 0
Como el discriminante es menor que
cero, no tiene solución real.
𝑎 = 2, 𝑏 = 2 𝑦 𝑐 = 1
Ecuaciones de segundo grado
incompletas
Casos
1. 𝑠𝑖 𝑐 = 0
Se resuelven sacando factor común.
𝑥2
− 4𝑥 = 0
2. 𝑠𝑖 𝑏 = 0
Pasamos c al otro lado y raíz cuadrada.
𝑥2
− 16 = 0

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Ecuaciones de segundo grado incompletas:
 De la forma ax2
+ c = 0, con a  0, tiene
por soluciones:
a
c
;
a
c
21  xx
 De la forma ax2
+ bx = 0, con a  0, tiene
por soluciones:
a
b
;0 21  xx
Ecuaciones de segundo grado completas:
 Tienen la forma ax2
+ bx + c = 0, y sus
soluciones son:
a·2
c·a·4bb 2

x
3. 𝑠𝑖 𝑏 = 0 𝑦 𝑐 = 0
La solución
Propiedades de las soluciones de una
ecuación de segundo grado
Suma de soluciones:
Producto de las soluciones:
Ecuación de segundo grado completa:
Ejemplo
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x2
– 75 = 0
b) 4x2
+ 100 = 0
c) 4x2
– 24x = 0
d) 2x2
+ x – 6 = 0
e) 3x2
– 12x + 9 = 0
f) 4x2
– 40x + 100 = 0
g) 2x2
+ 12x + 16 = 0
Ejercicios
Determina las raíces de las siguientes ecuaciones
cuadráticas:
01
10
)32(2
5
)1(7
)
30
)2(3
6
32
5
)2(5
)
2
5
2
3
12
4
)21(3
)
2
5
34
4
142
2
)3(5
)
4
24
1
2
)2(3
5
12
)
4
)7(2
2
3
7
)2(2
6
)1(3
)

































xx
f
xxx
e
xxx
d
x
xxx
xc
xxx
b
xxxx
a
x
xxx
k
xxx
k
x
x
x
j
xxxxi
xx
x
x
h
x
x
xx
g

























3
32
2
)4(
6
)3(5
)
3
)1(4
15
)23(2
3
1
4
43
)
2
25
5
1
5
)42(4
)
)12(
3
2
)3(
2
1
)54(
9
5
)
10
)1(3
5
)23(2
2
4
32
)
6
21
3
)13(2
4
25
)
x
xx
m
xx
l







 







 
9
)4(2
2
2
3
4
)
3
5
23
2
53
3
2
)
2.- Calcular un número sabiendo que el doble y el
triple de dicho número suman 60.
3.- Si a un número le restas 12 se reduce a su
tercera parte. Calcularlo.

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4.- Calcular un número cuya tercera parte, sumada
con su quinta parte nos de 64.
5.- La suma de tres números consecutivos es 48.
Calcularlos.
6.- Calcular un número cuya mitad es 20 unidades
menor que su triple.
7.- Si al dinero que tengo ahora le añadiera su
cuarta parte además 5 euros, tendría 60 euros.
Calcular el dinero que tengo.
8.- La suma del doble de la edad de Luis más 4 años
es igual a 32. Calcular la edad de Luis.,
9.- Una madre tiene 40 años y su hijo 10. Calcular
cuántos años deben transcurrir para que la edad
de la madre sea el triple de la del hijo.
10.- Andrea tiene 16 años, su hermano Paco 14, y
su padre 40 años. Calcular cuántos años han de
pasar para que la edad del padre sea la suma de
las edades de los hijos.
11.- Un hijo tiene 24 años menos que su padre y
éste tiene cinco veces la edad del hijo. Calcular la
edad que tiene cada uno.
12.- Un hijo tiene 25 años menos que su padre.
Dentro de diez años, la edad del padre será el
doble que la del hijo. Calcular la edad de cada uno.
14.- Ana tiene el triple de la edad de María. Dentro de
5 años Ana solo tendrá el doble de la edad de María.
Calcular las edades de cada una.
15.- Sebastián tiene hoy 13 años menos que Manuel.
Dentro de 4 años, Sebastián tendrá el triple de la edad
de Manuel. Calcular las edades de Sebastián y Manuel.
16.- Calcular las dimensiones de un rectángulo
sabiendo que su base es cuatro veces su altura y que su
perímetro es 120 metros.
17.- En un almacén hay dos veces más microondas que
televisores y cinco veces más lavadoras que
microondas. Si en total hay 169 electrodomésticos,
hallar cuántos hay de cada clase.
18.- En una granja hay pollos, ovejas y cerdos. El
número de pollos es doble que el de ovejas y el de
cerdos es el triple de la suma de los pollos y ovejas más
80. Calcular el número de animales de cada clase si el
número total es 1148.
19.- Una abuela reparte 10 euros entre sus tres nietos,
de manera que el mediano recibe 1 euro más que el
pequeño, y el mayor 2 euros más que el mediano.
Calcular cuánto recibe cada nieto.
20.- En un bosque del Parque Nacional de Doñana hay
tres veces más pinos que alcornoques, y el doble de
éstos que enebros. También hay 90 sabinas. En total, el
bosque tiene 639 árboles y arbusto. Calcular cuántos
hay de cada especie.
21.- Tres socios han de repartirse 1500000 euros.
Calcular lo que le corresponde a cada uno si al primero
ha de tener dos veces más que el segundo, y éste tres
veces más que el tercero.
22.- Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés
ha pagado 26 euros. El videojuego es cinco veces más
caro que el cómic, y éste cuesta el doble que el helado.
¿Cuál es el precio de cada artículo?
23.- Tres niños juntan su dinero y comprueban que
tienen 4 euros entre los tres. Calcular cuánto tenía cada
uno sabiendo que el primero aporta 0,25 euros más
que el segundo y éste el doble que el tercero.
24.- un barril lleno de agua se saca primer la mitad del
contenido y después un quinto del resto. Si en el barril
quedan 300 litro, ¿cuál es la capacidad del barril?
25.-Ana pasó dos quintos de los días que estuvo de
vacaciones en la montaña. Los cinco sextos de los que
le quedaban los pasó en el mar y los últimos 6 días
restantes, en casa preparando la vuelta al colegio.
Calcular cuántos días ha estado de vacaciones Ana.

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26- Un depósito está lleno de vino. Se extrae la mitad
del contenido y luego la tercera parte del resto,
quedando 1100 litros. Hallar la capacidad total del
depósito.
27- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo
grado incompletas:
a) x2
-1=0 b) x2
-4=0 c) x2
-9=0
d) x2
+4=0 e) 2x2
-50=0 f) 3x2
-12=0
g) 5x2
-45=0 h) x2
+1=0 i) 3x2
-75=0
j) –x2
+16=0 k) –x2
+25=0 l) 5x2
-80=0
m) 4x2
-1=0 n) 25x2
-4=0 ñ) 9x2
-16=0
o) 36x2
-16=0
28.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo
grado incompletas:
a) x2
+x=0 b) x2
-5x=0 c) x2
+8x=0
d) x2
-3x=0 e) 2x2
-3x=0 f) 5x2
-10x=0
g) 3x2
+7x=0 h) 2x2
+8x=0 i) –3x2
-6x=0
j) –4x2
+5x=0 k) –x2
+3x=0 l) –5x2
-10x=0
29.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo
grado incompletas:
a) 3x2
=0 b)5x2
=0 c)-2x2
=0 d)6x2
=0
30.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo
grado incompletas:
a) 3x2
-5x=0 b) 3x2
-27=0 c) x2
=0
d) 2x2
-4x=0 e) 2x2
-8=0 f) 5x2
+5x=0
g) 5x2
-5=0 h) x2
-x=0 i) x2
-1=0
j) –x2
-4x=0 k) x2
+1=0 l) –3x2
+3=0
m) –x2
-4=0 n) –3x2
-12x=0 ñ) –5x2
=0
o) x2
+9=0
31.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo
grado, aplicando la fórmula
a
acbb
xpor
dadasvienensolucionessuscbxaxSi
2
4
,0
2
2



a) x2
-2x-3=0 b) x2
-2x-8=0 c) x2
+9x+14=0
d) x2
-6x+9=0 e) x2
+4x+5=0 f) x2
+8x+16=0
g) x2
+x+3=0 h) 2x2
-3x-5=0 i) x2
+x-6=0
j) x2
-x-12=0 k) x2
-x-20=0 l) x2
+5x-14=0
m) 2x2
-3x-2=0 n) 3x2
+2x-1=0 ñ) 5x2
-7x-6=0
o) 2x2
+x-15=0 p) x2
-2x=0 q) 3x2
-3=0
r) 5x2
-20=0 s) x2
+4x=0 t) 2x(x-3)+1=x-2
u) (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) − 𝑥 + 5 = 2𝑥 − 1
𝑣) 𝑥2 + 5𝑥 + 2 = 2𝑥 + 12
𝑤) 2 − 𝑥(𝑥 + 3) + 2𝑥 = 2(𝑥 + 1)
Actividad de Cierre:
Las ecuaciones de segundo grado no solamente son
utilizadas en las matemáticas, también pueden ser
utilizadas en física para resolver problemas de
cinemática.
Por ejemplo: un proyectil parte con una velocidad
inicial (vi) de 20 m/s, luego de cierto tiempo (t), ha
recorrido una distancia (d) de 150 m con una
aceleración (a) de 2 m/s2
.
En grupos de 2 ó 3 compañeros, y con la ayuda de la
calculadora científica instalada en sus equipos
portátiles, realicen las siguientes actividades:
1) Calculen cuál será el tiempo (t) empleado por el
proyectil, para recorrer esa distancia (d). Para ello,
utilicen la siguiente fórmula:

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2) Calculen cuál sería el tiempo (t) empleado por el
proyectil, si la distancia (d) recorrida fuera:
a) d = 100 metros
b) d = 10 metros
Enlace web
http://www.vadenumeros.es/tercero/ecua
ciones-de-segundo-grado.htm