Este documento presenta las definiciones básicas de las funciones trigonométricas y algunas de sus propiedades y fórmulas importantes. En particular, introduce las funciones seno, coseno y tangente para ángulos de triángulos rectángulos, y luego presenta las fórmulas de adición y diferencia para el seno y coseno, las cuales son utilizadas para demostrar varias igualdades trigonométricas.

1. TRIGONOMETR´
IA
1
Funciones trigonom´tricas
e
Definimos las funciones o razones trigonom´tricas del ´ngulo de un tri´ngulo
e
a
a
rect´ngulo como sigue
a
A
a = Cateto adyacente al ´ngulo x
a
c
b = Cateto puesto al ´ngulo x
a
b
c = Hipotenusa
x
B
a
Donde a,b y c son las medidas de los respectivos lados
C
b
c
a
cos x =
c
b
tan x =
a
c
b
c
sec x =
a
a
cot x =
b
sin x =
csc x =
1. Demostrar las siguientes igualdades
a) sin x csc x = 1
b) cos x sec x = 1
c) tan x cot x = 1
Soluci´n(a):Teniendo en cuenta el gr´fico de arriba tenemos que
o
a
sin x =
b
c
y
1
csc x =
c
b

2. A. Naupay Gusukuma
2
luego m´ltiplicando ambas funciones trigonom´tricas tenemos que
u
e
b c
sin x csc x = × = 1
cqd.
c b
(b) y (c) se dejan como ejercicios.
2. Hallar las todas las razones trigonom´tricas del tri´ngulo rectangulo de
e
a
◦
◦
37 y 53 , de lados 3cm, 4cm y 5cm
Soluci´n: Dibujemos el tri´ngulo
o
a
3cm
4cm
53◦
37◦
5cm
aplicando la definici´n de funci´n trigono´trica tenemos que
o
o
e
4cm
4
3
=
cos 53◦ =
5cm
5
5
el resto queda como ejercicio.
tan 53◦ =
sin 53◦ =
4
3
cot 53◦ =
3
4
a
a
3. En el tri´ngulo rectangulo de ´ngulos 37◦ y 53◦ , el cateto opuesto a ha
◦
37 mide 6cm, hallar la medida de los otros dos lados.
Soluci´n: Dibujemos el tri´ngulo
o
a
B
6cm
53◦
A
C
Primero hallemos BC, de la definici´n tenemos que
o
tan 53◦ =
BC
6cm
Luego despejando BC tenemos que
BC = tan 53◦ × 6cm =
4
× 6cm = 8cm
3

3. A. Naupay Gusukuma
2
3
F´rmulas de adici´n
o
o
Las siguientes f´rmulas, llamadas f´rmulas de la adici´n y diferencia, son
o
o
o
muy importantes dentro de la trigonometr´
ıa.
sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x
sin(x − y) = sin x cos y − sin y cos x
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y
(seno de la suma)
(seno de la diferencia)
(coseno de la suma)
(coseno de la diferencia)
Estas son v´lidas para cualquier medida del ´ngulo x e y, acontinuaci´n
a
a
o
veamos algunos problemas.
1. Demostrar que para cualquier ´ngulo x e y se cumple la siguiente iguala
dad.
sin(x + y) + sin(x − y) = 2 sin x cos y
Soluci´n: Usaremos las f´rmulas de la adici´n y diferencia del seno.
o
o
o
sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x
sin(x − y) = sin x cos y − sin y cos x
Sumando las dos igualdades tenemos
sin(x + y) + sin(x − y) = sin x cos y + sin y cos x + sin x cos y − sin y cos x
haciendo un c´lculo de cancelaci´n y adici´n en el lado derecho tenemos
a
o
o
sin(x + y) + sin(x − y) = 2 sin x cos y
como queriamos demostrar.
2. Demostrar que para cualquier ´ngulo x e y se cumple la siguiente iguala
dad.
cos(x + y) + cos(x − y) = 2 cos x cos y
3. Demostrar la siguiente igualdad.
cos(x − y) − cos(x + y) = 2 sin x sin y
Soluci´n: Usaremos las f´rmulas de la adici´n y diferencia del coseno.
o
o
o
cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y

4. A. Naupay Gusukuma
4
Restando a la primera igualdad la segunda tenemos
cos(x−y)−cos(x+y) = cos x cos y+sin x sin y−(cos x cos y−sin x sin y)
cos(x − y) − cos(x + y) = cos x cos y + sin x sin y − cos x cos y + sin x sin y
cos(x − y) − cos(x + y) = 2 sin x sin y
como queriamos demostrar(cqd.)
4. Demostrar la siguiente igualdad.
cos(x + y) + cos(x − y) = 2 cos x cos y
5. Demostrar la siguiente igualdad.
sin 2x = 2 sin x cos x
Soluci´n: Usaremos el seno de la suma
o
sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos y
reemplazando y por x, es decir haciendo y = x tenemos
sin(x + x) = sin x cos x + sin x cos x
esta t´cnica se llama cambio de variable, luego operando tenemos
e
sin 2x = 2 sin x cos x
cqd.
6. Demostrar la siguiente igualdad.
cos 2x = cos2 x − sin2 x
7. Demostrar la siguiente igualdad.
sin(x+y+z) = sin x cos y cos z+cos x sin y cos z+cos x cos y sin z−sin x sin y sin z
Soluci´n: Aplicamos la f´rmula del seno de la suma en sin(x + y + z),
o
o
tomando x + y como si fuera una sola variable
sin(x + y + z) = sin(x + y) cos z + sin z cos(x + y)

5. A. Naupay Gusukuma
5
esta t´cnica es muy util al momento de aplicar f´rmulas, luego aplicando
e
´
o
las f´rmulas de adici´n respectivamente
o
o
sin(x+y+z) = (sin x cos y+sin y cos x) cos z+sin z(cos x cos y−sin x sin y)
sin(x+y+z) = sin x cos y cos z+sin y cos x cos z+sin z cos x cos y−sin z sin x sin y
reordenando tenemos
sin(x+y+z) = sin x cos y cos z+cos x sin y cos z+cos x cos y sin z−sin x sin y sin z
cqd.
8. Demostrar la siguiente igualdad.
cos(x+y+z) = cos x cos y cos z−sin x cos y sin z−cos x sin y sin z−sin x sin y sin z
9. Demostrar la siguiente igualdad.
sin(x + y) cos y − cos(x + y) sin y = sin x
10. Demostrar las siguientes igualdades.
(a) sin(x + y) sin(x − y) = sin2 x − sin2 y
(b) sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x
(c) cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x