Proporcionalidad

1. PROPORCIONALIDAD I
PROFESOR: KENYI ORELLANA

2. TEOREMAS
Teorema de Thales
𝑨𝑩
𝑩𝑪
=
𝑫𝑬
𝑬𝑭
Entonces:
Corolario
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝐿1
𝐿2
𝐿3
Si: 𝐿1//𝐿2//𝐿3
𝑨𝑪
𝑩𝑪
=
𝑫𝑭
𝑬𝑭
También: 𝑨𝑪
𝑨𝑩
=
𝑫𝑭
𝑫𝑬
𝐴
𝐵
𝐶
𝑁
𝑀
𝐿1
𝐿2
𝐿3
𝑩𝑴
𝑴𝑨
=
𝑩𝑵
𝑵𝑪
Entonces:
Si: 𝐿1//𝐿2//𝐿3

3. Teorema de la bisectriz interior
𝜃 𝜃
𝐴
𝐵
𝐶
𝑎
𝑚 𝑛
𝑐
𝒄
𝒂
=
𝒎
𝒏
En el ∆𝐴𝐵𝐶:
Teorema de la bisectriz exterior
𝛽
𝐴
𝐵
𝐷
𝑎
𝑚
𝑛
𝑐
𝛽
𝐶
𝒄
𝒂
=
𝒎
𝒏
En el ∆𝐴𝐵𝐶:

4. Teorema del incentro
𝐵𝐼
𝐼𝐷
=
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐴𝐶
En el ∆𝐴𝐵𝐶:
𝐷
𝐼
𝛼 𝛼
𝐵
𝐴
𝐶

5. PROBLEMA 1
En el gráfico; 𝐿1 ∥ 𝐿2 ∥ 𝐿3 , 𝐴𝐵 = 9 𝑄𝑅 , 𝐵𝐶 = 𝑃𝑄 y 𝑁𝑇 = 6 m. Calcule
𝑀𝑁.
𝐴 𝑃
𝐵 𝑄
𝐶 𝑅
𝑀
𝑁
𝑇
𝐿1
𝐿2
𝐿3
A. 10 B. 15 C. 18 D. 16 E. 20

6. PROBLEMA 2
En el gráfico, 𝐿1 ∥ 𝐿2 ∥ 𝐿3 , 𝐴𝐸 ∥ 𝐵𝐷, 𝐴𝐶 ∥ 𝐻𝐸, 𝐵𝐹 = 6, 𝐺𝐻 = 𝑥 + 1, 𝐸𝐺 =
2𝑥 y 𝐶𝐷 = 3𝑥. Hallar 𝑥.
𝐴
𝐷
𝐵 𝐹
𝐶 𝐸
𝐻
𝐺
𝐿1
𝐿2
𝐿3
A. 𝟔 B. 𝟑 C. 4 D. 𝟓 E. 2

7. PROBLEMA 3
Sabiendo que 𝐸𝐹 ∥ 𝐴𝐶, 𝐶𝐹 = 3 𝐹𝐵 y 𝐸𝐵 = 3. Calcule 𝐴𝐷.
𝐶 𝐹
𝐵
𝐸
𝐷
𝐴
45°
A. 𝟖 𝟐 𝐦 B. 𝟏𝟖 𝟐𝐦 C.
𝟗
𝟐
𝟐 𝐦 D.9 𝟐 𝐦 E. 𝟏𝟖𝒎

8. PROBLEMA 4
En la figura mostrada, 𝐵𝐹 = 3 m y 𝐹𝐷 = 6 m. Halle 𝐷𝐶.
𝐴
𝐵
𝐸
𝐹
𝐷
𝐶
𝛼
𝛼
𝜃
𝜃
A. 𝟏𝟓𝐦 B. 𝟏𝟖𝐦 C. 𝟏𝟒𝐦 D.𝟏𝟔𝐦 E. 𝟏𝟐𝐦

9. PROBLEMA 5
Del gráfico, 𝐴, 𝐷 y 𝐶 son puntos de tangencia si: 2(𝐵𝐶) = 3(𝐷𝐻). Calcule
𝐺𝐹
𝐹𝐸
.
𝐴
𝐺
𝐹
𝐸
𝐶
𝐵
𝐻
𝐷
A.
𝟏
𝟐
B.
𝟐
𝟑
C.
𝟑
𝟐
D. 𝟏 E. 𝟐

10. PROBLEMA 6
En el gráfico 𝐵 es punto de tangencia, 𝐴𝐵 ∥ 𝐹𝐶 y
𝐴𝐹
5
=
𝐹𝑃
2
=
𝐹𝐺
3
.
Si 𝐵𝐸 = 3 u, calcule 𝐴𝐸.
𝐵
𝐸
𝐴
𝑃 𝐶
𝐹
𝐺
𝜃
𝜃
A. 𝟑𝝁 B. 𝟒𝝁 C. 𝟓𝝁 D.𝟔𝝁 E. 𝟒, 𝟓𝝁

11. PROBLEMA 7
La recta 𝐿 es tangente a una circunferencia 𝐶, de diámetro 𝐴𝐵 en el punto
𝑇, en la recta 𝐿 se ubican los puntos 𝑀 y 𝑁, y en 𝐴𝐵 se ubica el punto 𝑃 tal
que 𝑀 − 𝑇 − 𝑁, 𝑃𝑀 ⊥ 𝐿, 𝐵𝑁 ⊥ 𝐿 y 𝑇𝑃 ⊥ 𝐴𝐵. Si 𝐵𝑁 interseca a 𝐶 en 𝑄,
𝐵𝑄 = 𝑎, 𝑄𝑁 = 𝑏, entonces 𝑀𝑇/𝑇𝑁 es:
A.
𝒂
𝒂+𝟐𝒃
B.
𝒂
𝒂+𝒃
C.
𝒂
𝒃
D.
𝒂+𝒃
𝒃
E.
𝒂+𝒃
𝒂

12. PROBLEMA 8
En el lado 𝐵𝐶 de un hexágono regular se ubica el punto medio 𝑀, tal que
𝐴𝐷 ∩ 𝑀𝐹 = {𝑃} y la prolongación de 𝐸𝑃 interseca a 𝐴𝐵 en el punto 𝑁.
Halle 𝐴𝑁/𝑁𝐵.
A. 𝟏 B. 𝟐 C. 𝟑 D. 𝟑/𝟐 E. 𝟓/𝟐

13. PROBLEMA 9
En el gráfico, 5(𝐴𝐵) = 3(𝐵𝐶) y 𝐹𝐶 = 10, calcule 𝐸𝐹.
𝜃 𝜃
𝐴
𝐸
𝐹
𝐶
𝐷
𝐵
A. 𝟓 B. 𝟒 C. 𝟖 D.𝟔 E. 𝟑

14. PROBLEMA 10
En el gráfico, 𝐴𝐵 = 2 m y 𝑃𝐶 = 7(𝑃𝑄). Calcule 𝐴𝐶 (𝑄 es punto de
tangencia).
𝐴
𝐵
𝑄
𝑃
𝐶
𝜃
𝜃
A. 𝟖𝐦 B. 𝟏𝟎𝐦 C. 𝟏𝟐𝐦 D.𝟏𝟒𝐦 E. 𝟏𝟔𝐦

15. PROBLEMA 11
En la figura, calcule 𝐸𝐶, si: 𝐵𝐷 = 12 y 𝐷𝐸 = 15.
𝐵 𝐷 𝐸 𝐶
𝐴
𝛼 𝛼 𝛼
A. 𝟐𝟎 B. 𝟐𝟐 C. 𝟐𝟒 D.𝟐𝟓 E. 𝟐𝟕

16. PROBLEMA 12
En un triángulo 𝐴𝐵𝐶, la circunferencia exinscrita es tangente al lado 𝐵𝐶 y a
las prolongaciones de los lados 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶 en los puntos 𝑀, 𝑁 y 𝑄
respectivamente; la prolongación de 𝐴𝑀 interseca a la bisectriz del ángulo
𝑀𝐵𝑁 en el punto 𝐹. Si 𝐴𝐵 = 7, 𝐵𝐶 = 5, 𝐴𝐶 = 6, entonces 𝐴𝑀/𝑀𝐹 es:
A. 𝟏, 𝟐𝟓 B. 𝟏, 𝟓𝟎 C. 𝟐, 𝟐𝟓 D.𝟐, 𝟓 E. 𝟑, 𝟎

17. PROBLEMA 13
En un triángulo 𝐴𝐵𝐶, de incentro 𝐼 y baricentro 𝐺, la recta 𝐼𝐺 interseca al
lado 𝐴𝐵 en 𝑀. Si 𝐴𝐵 = 6 m, 𝐵𝐶 = 8 m y 𝐴𝐶 = 10 m. Calcular 𝐵𝑀.
A. 𝟏𝐦 B. 𝟐 m C. 𝟑𝐦 D.𝟐, 𝟓𝐦 E. 𝟏, 𝟓𝐦

18. PROBLEMA 14
En un triángulo rectángulo 𝐴𝐵𝐶, recto en 𝐵, 𝐼 es el incentro y 𝐵𝐷 es
bisectriz interior. Las longitudes del inradio y del circunradio, son 𝑟 y 𝑅,
respectivamente. Si 𝑅 = 𝑘𝑟, entonces 𝐵𝐼/𝐼𝐷 es:
A. 𝒌 B. 𝒌 − 𝟏 C. 𝒌 + 𝟏 D.
𝒌
𝟐
E.
𝟏
𝒌+𝟏

19. PROBLEMA 15
En un triángulo 𝐴𝐵𝐶, la recta que contiene al incentro interseca a los lados
𝐴𝐵 y 𝐵𝐶 en los puntos 𝑃 y 𝑄. Si 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 7 y 𝐴𝐶 = 8, entonces el
valor de (𝐵𝑃)−1+(𝐵𝑄)−1 es:
A. 𝟏/𝟐 B. 𝟏/𝟑 C. 𝟏/𝟒 D.𝟏/𝟓 E. 𝟏/𝟔