1) El documento presenta 7 ejercicios de cálculo de límites y derivadas. 2) Se pide resolver detalladamente cada ejercicio encontrando límites, derivadas y condiciones para que funciones sean continuas. 3) Los ejercicios involucran conceptos como límites laterales, límites fundamentales, derivadas por definición y condiciones de continuidad.

1. 0
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD YACAMBU
CABUDARE – ESTADO LARA
Nombre: Angel D Rodríguez R.
C.I. 25.146.710.
Expediente: III-133-00236.
Profesor: Rubén Bravo.
Sección: MA12TOP.
Cabudare; 09 de Abril del 2014.

2. 1
Resolver detalladamente cada ejercicio.
1. ܵ݅ ݂(‫)ݔ‬ ൞
− 4, ‫ ݔ ݅ݏ‬ < − 2
௫య
ଶ
, ‫ ݅ݏ‬ − 2 ≤ ‫ ݔ‬ < 2
‫ݔ‬ − 1, ‫ ݔ ݅ݏ‬ ≥ 2
, ‫ ݎ݈݈ܽܽܪ‬ ൜
ܽ) lim௫→ ିଶ ݂(‫)ݔ‬
ܾ) lim௫→ ଶ ݂(‫)ݔ‬
2. Hallar lim୶→
ಘ
ల
ୱ୧୬൫୶ିಘ
ల൯
ୡ୭ୱ ୶ି
√య
మ
3. Hallar lim௫→଴
ଵିୡ୭ୱ ଶ௫
ସ௫మ
4. Hallar a y b sabiendo que la siguiente función es continua en −2.
݂(‫)ݔ‬ ൜
‫ݔ‬ଷ
, ‫ݔ ݅ݏ‬ ≤ −2
‫ݔ ܭ‬ଶ
− 2‫,ݔ‬ ‫ݔ ݅ݏ‬ > −2
5. Hallar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de la ecuación.
‫ݕݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ − 8 = 0
6. Sea g(x)= 2x2
+ x. Calcular g’ (x) por definición.
7. Hallar a y b para que la función dada sea continua en su dominio.
݂(‫ )ݔ‬൝
−2, ‫ ݔ ݅ݏ‬ < −1
ܽ‫ݔ‬ + ܾ, ‫݅ݏ‬ − 1 ≤ ‫ ݔ‬ < 3
2, ‫ ݔ ݅ݏ‬ ≥ 3

3. 2
Ejercicios:
1. Si f(x) ൞
− 4, si x < − 2
୶య
ଶ
, si − 2 ≤ x < 2
x − 1, si x ≥ 2
, Hallar ൜
a) lim୶→ ିଶ f(x)
b) lim୶→ ଶ f(x)
Solución:
a) ∃ lim୶→ିଶ f(x) = −4
lim
୶→ ିଶశ
xଷ
2
=
(−2)ଷ
2
=
−8
2
= −4
lim
୶→ ିଶష
−4 = −4
Luego el límite existe ya que los laterales son iguales así lim௫→ିଶ ݂(‫)ݔ‬ = −4
b) lim୶→ଶశ x − 1 = 2 − 1 = 1
lim
୶→ଶష
xଷ
2
=
(2)ଷ
2
=
8
2
= 4
∄ lim
୶→ଶ
f(x) ya que los laterales son diferentes.

4. 3
2. Hallar lim୶→
ಘ
ల
ୱୣ୬ቀ୶ି
ഏ
ల
ቁ
ୡ୭ୱ ୶ି
√య
మ
=
଴
଴
‫.ܨ‬ ‫ܫ‬
Solución:
Ya que lim୶→
ಘ
ల
sen x −
஠
଺
= sen
஠
଺
−
஠
଺
= sen0 = 0
Λ
lim୶→
ಘ
ల
cos x −
√ଷ
ଶ
= cos
஠
଺
−
√ଷ
ଶ
=
√ଷ
ଶ
−
√ଷ
ଶ
= 0
Sea ‫ݑ‬ = x −
π
6
⇒ x =൬‫ݑ‬ +
π
6
൰
x →
π
6
‫ݑ‬ → 0
Así; lim௨→଴
ୱୣ୬ ௨
௖௢௦ቀ௨ା
ಘ
ల
ቁ ି
√య
మ
de la identidad cos(A+B)= cos A × cos B – sen A × sen B
lim௨→଴
ୱୣ୬ ௨
ୡ୭ୱ ௨ × ୡ୭ୱ
ಘ
ల
ି ୱୣ୬ ௨ × ୱୣ୬
ಘ
ల
ି
√య
మ
Como cos
஠
଺
= cos30°
=
√ଷ
ଶ
Λ sen
஠
଺
= cos30°
=
ଵ
ଶ
Tenemos lim௨→଴
ୱୣ୬ ௨
√య
మ
ୡ୭ୱ ௨ ି
భ
మ
ୱୣ୬ ௨ ି
√య
మ
Reagrupando tenemos lim௨→଴
ୱୣ୬ ௨
ି
భ
మ
ୱୣ୬ ௨ ି
√య
మ
( ଵି ୡ୭ୱ ௨)

5. 4
Si dividimos numerador y denominador por ‫ݑ‬ ya que ‫ݑ‬ → 0 Λ ‫ ݑ‬ ≠ 0
Tenemos lim௨→଴
౩౛౤ ೠ
౫
ି
భ
మ
౩౛౤ ೠ
౫
ି
√య
మ
ቀ
భషౙ౥౩ ೠ
౫
ቁ
Aplicando teorema de límites y usando los límites fundamentales de
lim௨→ ଴
ୱୣ୬ ௨
௨
= 1 Λ lim௨→଴
ଵିୡ୭ୱ ௨
௨
= 0
Tenemos =
୪୧୫ೠ→బ
౩౛౤ ೠ
ೠ
ି
భ
మ
୪୧୫ೠ→ బ
౩౛౤ ೠ
౫
ି
√య
మ
୪୧୫ೠ→ బ ቀ
భషౙ౥౩ ೠ
౫
ቁ
=
ଵ
−
1
2
−
√3
2
× 0
= −2
Así que el lim୶→
ಘ
ల
ୱ୧୬൫୶ିಘ
ల൯
ୡ୭ୱ ୶ି
√య
మ
= −2.
1
1
0
0

6. 5
3. Hallar lim୶→଴
ଵିୡ୭ୱ ଶ୶
ସ୶మ
= lim୶→଴
ଵିୡ୭ୱ ଶ୶
(ଶ୶)మ
Hacemos a ‫ݑ‬ = 2x lim௨→଴
ଵିୡ୭ୱ ௨
௨మ
x → 0 ‫ݑ‬ → 0
Multiplicando y dividiendo por la conjugada de 1 − cos ‫.ݑ‬
Tenemos lim௨→଴
ଵିୡ୭ୱ ௨
௨మ
.
ଵାୡ୭ୱ ௨
ଵାୡ୭ୱ ௨
De la identidad ‫݊݁ݏ‬ଶ
‫ݔ‬ + ܿ‫ݏ݋‬ଶ
‫ݔ‬ = 1. Sale 1 − ܿ‫ݏ݋‬ଶ
‫ݔ‬ = ‫݊݁ݏ‬ଶ
‫.ݔ‬
lim௨→଴
ଵି௖௢௦మ ௨
௨మ ( ଵାୡ୭ୱ ௨)
= lim௨→଴ ቂ
௦௘௡మ ௨
௨మ
.
ଵ
ଵାୡ୭ୱ ௨
ቃ
Multiplicando teorema de límites tenemos
ቀlim
‫0→ݑ‬
‫ݑ ݊݁ݏ‬
‫ݑ‬
ቁ
ଶ
. lim
‫0→ݑ‬
1
1 + cos ‫ݑ‬
= 1ଶ
.
1
1 + cos 0
= 1 .
1
1 + 1
=
1
2
Por el limite fundamental de
ୱୣ୬ ௨
௨
‫ݑ‬ → 0 que es igual a 1 y el coseno de 0 = 1
Así que el lim୶→଴
ଵିୡ୭ୱ ଶ୶
ସ୶మ
=
ଵ
ଶ

7. 6
4. Hallar a y b sabiendo que la siguiente función es continua en −2.
݂(‫)ݔ‬ ൜
‫ݔ‬ଷ
, ‫ݔ ݅ݏ‬ ≤ −2
‫ݔ ܭ‬ଶ
− 2‫,ݔ‬ ‫ݔ ݅ݏ‬ > −2
Solución:
I. ݂(−2) = (−2)ଷ
= −8
II. lim௫→ ିଶశ ‫ݔܭ‬ଶ
− 2‫ݔ‬ = 4 ‫ܭ‬ + 4
lim
௫→ ିଶష
(−2)ଷ
= −8
Luego 4 k + 4 = −8 ya que; ∃ lim୶→ ିଶ f(x) en su condición de
continuidad en −2.
Así, 4 K + 4 = −8 ⇒ 4 ( K + 1) = −8
K + 1 =
ି଼
ସ
K + 1 = −2
K = −2 − 1
K = −3

8. 7
5. Hallar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de la ecuación.
‫ݕݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ − 8 = 0
Despejemos ‫:ݕ‬
‫ݕ ݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶ
= 4‫ݔ‬ + 8
‫ݕ‬ଶ
(‫ݔ‬ − 1) = 4‫ݔ‬ + 8
‫ݕ‬ଶ
=
4‫ݔ‬ + 8
‫ݔ‬ − 1
‫ݕ‬ = ඨ
4 ( ‫ݔ‬ + 2 )
‫ݔ‬ − 1
‫ݕ‬ = 2 . ඨ
‫ݔ‬ + 2
‫ݔ‬ − 1
Despejemos A.V diremos que x = a es A.V
Si y solo si lim௫→௔ష ݂(‫)ݔ‬ = ± ∞
Λ donde a es un punto de discontinuidad de f(x)
lim௫→௔శ ݂(‫)ݔ‬ = ± ∞
Sea ܽ = 1 la posible asíntota ‫ݔ‬ = 1
2 lim
௫→ଵశ
ඨ
‫ݔ‬ + 2
‫ݔ‬ − 1
= 2 . ඨ
1 + 2
1ା − 1
= 2 . ඨ
3
0ା
= 2 . √+∞
2 lim
௫→ଵష
ඨ
‫ݔ‬ + 2
‫ݔ‬ − 1
= 2 . ඨ
1 + 2
1ି − 1
= 2 . ඨ
3
0ି
= 2 . √−∞ = ∄
Luego podemos decir que ‫ݔ‬ = 1 es una asíntota vertical por la derecha.

9. 8
Definamos la A.H, diremos que ‫ݕ‬ = ±ܾ es A.H.
Si y solo si lim௫→ ାஶ ݂(‫)ݔ‬ = ± ܾ
V
lim௫→ ିஶ ݂(‫)ݔ‬ = ± ܾ
Así; 2 lim௫→ ାஶ ට
௫ାଶ
௫ିଵ
= 2 . ටlim௫→ ାஶ
௫ାଶ
௫ିଵ
= 2 . ඨlim௫→ ାஶ
ೣశమ
ೣ
ೣషభ
ೣ
=
2 . ඨlim௫→ ାஶ
ೣ
ೣ
ା
మ
ೣ
ೣ
ೣ
ି
భ
ೣ
= 2 . ට
ଵା଴
ଵି଴
= 2 . ට
ଵ
ଵ
= 2 . 1 = 2
2 ݈݅݉௫→ ିஶ ට
௫ାଶ
௫ିଵ
= 2 . ට݈݅݉௫→ ିஶ
௫ାଶ
௫ିଵ
= 2 . ඨ݈݅݉௫→ ିஶ
ೣశమ
ೣ
ೣషభ
ೣ
=
2 . ඨ݈݅݉௫→ ିஶ
ೣ
ೣ
ା
మ
ೣ
ೣ
ೣ
ି
భ
ೣ
= 2 . ට
ଵା଴
ଵି଴
= 2 . ට
ଵ
ଵ
= 2 . 1 = 2
Luego podemos decir que ‫ݕ‬ = 2 es una A.H.
1 0
1 0
1 0
1 0

10. 9
6. Sea g(x)= 2x2
+ x. Calcular g’ (x) por definición.
Así;
݃ᇱ(‫)ݔ‬ = lim
௛→଴
݃(‫ݔ‬ + ℎ) − ݃(‫)ݔ‬
ℎ
Solución:
݃ᇱ(‫)ݔ‬ = lim
௛→଴
2(‫ݔ‬ + ℎ)ଶ
+ (‫ݔ‬ + ℎ) − (2‫ݔ‬ଶ
+ ‫)ݔ‬
ℎ
݃ᇱ(‫)ݔ‬ = lim
௛→଴
2(‫ݔ‬ଶ
+ 2‫ݔ‬ℎ + ℎଶ) + ‫ݔ‬ + ℎ − 2‫ݔ‬ଶ
− ‫ݔ‬
ℎ
݃ᇱ(‫ݔ‬) = lim௛→଴
ଶ௫మାସ௫௛ାଶ௛మା௫ା௛ିଶ௫మି௫
௛
݃ᇱ(‫)ݔ‬ = lim
௛→଴
4‫ݔ‬ℎ + 2ℎଶ
+ ℎ
ℎ
݃ᇱ(‫ݔ‬) = lim௛→଴
௛(ସ௫ାଶ௛ାଵ)
௛
݃ᇱ(‫)ݔ‬ = lim
௛→଴
4‫ݔ‬ + 2ℎ + 1
‫;݅ݏܣ‬ ݃ᇱ(‫)ݔ‬ = 4‫ݔ‬ + 1
0

11. 10
7. Hallar a y b para que la función dada sea continua en su dominio.
݂(‫ )ݔ‬൝
−2, ‫ ݔ ݅ݏ‬ < −1
ܽ‫ݔ‬ + ܾ, ‫݅ݏ‬ − 1 ≤ ‫ ݔ‬ < 3
2, ‫ ݔ ݅ݏ‬ ≥ 3
Recordemos que f(x) es continua en x=a
Sí; ∃ ݂(ܽ); ∃ lim௫→௔ ݂(‫ ;)ݔ‬lim௫→௔ ݂(‫)ݔ‬ = ݂(ܽ)
Estudiemos que f(x) sea continua en ‫ݔ‬ = − 1
I. ∃ ݂(−1) = −ܽ + ܾ
II. ∃ lim௫→ିଵ ݂(‫)ݔ‬
lim
௫→ିଵశ
ܽ‫ݔ‬ + ܾ = −ܽ + ܾ
lim௫→ିଵష −2 = −2
‫ܽ− ;݅ݏܣ‬ + ܾ = −2 1
Estudiemos en ‫ݔ‬ = 3
I. ∃ ݂(3) = 2
II. ∃ lim௫→ଷ ݂(‫)ݔ‬
lim
௫→ଷశ
2
lim௫→ଷష ܽ‫ݔ‬ + ܾ = 3ܽ + ܾ
‫;݅ݏܣ‬ 2 = 3ܽ + ܾ 2

12. 11
Luego resolviendo el sistema
൜−ܽ + ܾ = −2
3ܽ + ܾ = 2
Multiplicando por 3 la primera ecuación.
−3ܽ + 3ܾ = −6
3ܽ + ܾ = 2
4ܾ = −4
ܾ =
−4
4
ܾ = −1
Sustituyendo b en una ecuación original.
−ܽ + ܾ = −2
−ܽ − 1 = −2
−ܽ = −2 + 1
(−1). − ܽ = −1 . (−1)
ܽ = 1
Así los valores para que f(x) sea continua en
ܽ = 1 Λ ܾ = −1