Estimación y parametros de confianza

1. 4. Estimación e intervalos de
confianza.
Ejemplos 4 y 5

2. Objetivos:
 Conocer la diferencia entre un estimador y una estimación
 Tipos de estimadores
 Valores críticos
 Calcular valores para comparar con el valor crítico.
 Estimaciones puntuales
 Error máximo de una estimación
 Construcción de intervalos de confianza
 Determinar el tamaña de la muestra
 Distribución 𝑋2
chi cuadrada

3. Estadística Inferencial
El objetivo principal de la estadística inferencia es la estimación, ya que mediante el estudio de
una muestra de una población se puede generalizar conclusiones al total de la población de la cual
se extrae la muestra.
Los estadísticos pueden varían dentro de sus distribuciones muestrales, y mientras el error
estándar sea menor de un estadístico, los valores de la muestra serán más cercanos a los de la
población.
Al estudiar la estadística inferencial, es decir generalizar la población con los datos obtenidos en la
muestra, nos interesan dos elementos para la inferencia y que tan buenos son lo que estamos
aplicando.
Hay dos procedimientos para hacer inferencia sobre parámetros poblacionales desconocidos: Uno
que veremos en este apartado es la estimación, el otro son las pruebas de hipótesis.
Tanto la estimación como las pruebas de hipótesis, requieren de elementos de la teoría de
probabilidad.

4. Definiciones
ESTIMADOR: Un estimador de 𝜇 es un parámetro de 𝜇, es un estadístico que se emplea para conocer el
parámetro 𝜇 desconocido, es 𝑥.
ESTIMACIÓN: Este término indica que a partir de lo observado en una muestra se generaliza éste a la
población total, de modo que lo estimado es el valor generalizado a la población. Es encontrar el valor de
los parámetros poblacionales objeto de estudio. Puede ser puntual o por intervalo de confianza:
Puntual: cuando buscamos un valor concreto, un valor único, por ejemplo la media es 8.
Intervalo de confianza: cuando determinamos un intervalo, dentro del cual se supone que va a estar el
valor del parámetro que se busca con una cierta probabilidad, la media esta entre 5 y 10.
NIVEL DE CONFIANZA: Indica la proporción de veces que acertaríamos al afirmar que el parámetro θ está
dentro del intervalo al seleccionar muchas muestras.

5. Definiciones
ESTADÍSTICO: Es una función de los valores de la muestra. Es una variable aleatoria, cuyos valores dependen
de la muestra seleccionada.
PARÁMETRO: Es un resumen numérico de alguna variable de la población. Los parámetros normales que se
estudian son: - La media poblacional: 𝜇 – deviación estándar poblacional: 𝜎 - Proporción: P
CONFIABILIDAD es la probabilidad de que una estimación sea correcta, si la distribución muestral se
considera normal, la muestra debe ser igual o mayor de 30 elementos y usamos el estadístico de una
distribución normal (Z)
Si la muestra es menor de 30 elementos pero procedes de una población normal usamos el estadístico t (t de
student)
Nivel de confianza: Es la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro estimado en la población se
sitúe en el intervalo de confianza obtenido. El nivel de confianza se denota por (1-α), aunque habitualmente
suele expresarse con un porcentaje ((1-α)·100%). Es habitual tomar como nivel de confianza un 95% o un 99%,
que se corresponden con valores α de 0,05 y 0,01, respectivamente.

6. Definiciones
Nivel de significación (Valor α). Es la probabilidad (en tanto por uno) de fallar en nuestra estimación, esto
es, la diferencia entre la certeza (1) y el nivel de confianza (1-α). Por ejemplo, en una estimación con un nivel
de confianza del 95%, el valor α es (100-95)/100 = 0,05.
Error de la estimación: Es una medida de su precisión que se corresponde con la amplitud del intervalo de
confianza. Cuanta más precisión se desee en la estimación de un parámetro, más estrecho deberá ser el
intervalo de confianza y, por tanto, menor el error, y más sujetos deberán incluirse en la muestra estudiada.
Llamaremos a esta precisión E, según la fórmula E = θ2 - θ1.
Valor crítico: Se representa por el estadístico de prueba (Z, t, chi cuadrada, etc). Es el valor de la abscisa en
una determinada distribución que deja a su derecha, izquierda o un intervalo, un área siendo 1-α el nivel de
confianza. Normalmente los valores críticos están tabulados en tablas o encontrarlos por medio de
programas de acuerdo con la función de la distribución de la población.
Por ejemplo, para una distribución normal, de media 0 y desviación típica 1, el valor crítico para α = 0,05 se
calcularía del siguiente modo: se busca en la tabla de la distribución ese valor (o el más aproximado) o en
un programa.

7. Ejemplo 4. Estimación puntual
Un adulto de 40 años, después de hacer ejercicio aeróbico se midió la frecuencia cardiaca por 15 días. Los resultados obtenidos son
por minuto: 80, 74, 79, 85, 75, 79, 82, 80, 86, 87, 84, 86, 75, 79, 84. Con esas mediciones da la medición de la media, de la desviación
estándar, la varianza y la proporción para la frecuencia cardiaca igual o mayor de 80. Que tipo de estimación es.
Solución Recordando nuestro curso de estadística descriptiva obtenemos las mediciones
𝜇 =
80 + 74 + 79 + 85 + 75 + 79 + 82 + 80 + 86 + 87 + 84 + 86 + 75 + 79 + 84
15
= 81
𝜎2 =
(𝑥 − 𝜇)2
𝑁
=
224
15
= 14.93
𝜎 =
(𝑥 − 𝜇)2
𝑁
= 14.93 = 3.86
𝒑 =
𝒙
𝑵
=
𝟔
𝟏𝟓
= 𝟎. 𝟒; 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝟒𝟎%

8. U
MEDIA 𝝁𝑿 𝑋 x
VARIANZA 𝜎2
𝑠2
𝑠2
DESVIACIÓN 𝜎 s s
PROPORCIÓN p 𝑃 𝑃
ESTIMACIÓN PUNTUAL
POBLACIÓN ESTIMADOR ESTIMACIÓN

9. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
Una estimación por intervalos de un parámetro poblacional es un intervalo en el que hay cierta probabilid
parámetro que se esta estudiando.
𝑃 𝜇 < 𝜃 < 𝑋 = 1 −∝
1 −∝= 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜

10. Ejemplo 5
Un adulto de 40 años, le van hacer un estudio y debe hacer ejercicio aeróbico y tomar la frecuencia cardiaca
por 30 días. Los resultados obtenidos de las frecuencia por minuto diario fue:
a) Estimar la frecuencia promedio de la frecuencia cardiaca con una estimación puntual.
b) Estimar un intervalo de confianza con un nivel de confianza del 99%.
c) Interpretar los resultados.
Día F Día F Día F Día F Día F D F
1 80 6 75 11 84 16 85 21 79 26 80
2 84 7 79 12 75 17 79 22 84 27 75
3 80 8 80 13 75 18 79 23 85 28 75
4 79 9 85 14 79 19 80 24 84 29 75
5 79 10 84 15 80 20 75 25 85 30 85

11. Solución ejercicio 5.
1) Determinar el promedio a estimar:
2) Determina el estimador del parámetro 𝑥
3) Calcular el estimador puntual a través de la fórmula correspondiente: 𝑋 =
𝑥
𝑛
=
80+84+⋯…..80
30
=
2403
30
= 80.1
4) . Determinar la fórmula para realizar el cálculo de la estimación por intervalo del
estimador: 𝐼𝐶 = 𝑥 ± 𝑍
𝑠
𝑛
𝜇

12. sigue ejercicio 5.
5) Establecer el nivel de confianza para calcular z, a través del nivel de confianza (1-α)
Nivel de confianza 99%, es decir, 0.99 Determinar el valor de α, donde α = 1 – nivel de
confianza α = 1 – 0.99 α = 0.01
6) Determinar la fórmula para calcular la desviación estándar del estimador 𝒔𝒙̅ = 𝒔 √𝒏
Calcular la desviación estándar s y definir el valor de n; n = 30
𝑠𝑥 =
𝑠
𝑛
𝑠 =
(𝑥𝑖−𝑥)2
𝑛
=
(80−80.1)2+⋯…..
𝑛−1 =
386.7
29
= 3.65
7) Calcular la desviación del estimador a través de la fórmula correspondiente:
𝑠𝑥 =
𝑠
𝑛
=
3.65
30
= 0.666

13. 8) Sustituir los valores en la fórmula general y calcular el límite inferior (LI) y límite superior (LS)
del intervalo de confianza (IC):
𝐼𝐶 = 𝑥 ± 𝑍
𝑠
𝑛
𝐼𝐶 = 80.1 ± 2.58 0.666
𝐿𝐼 = 80.1 − 1.72 = 78.38
𝐿𝑠 = 80.1 + 1.72 = 81.82
9) El intervalo de confianza esta comprendido entre (78.38 a 81.82)
10) Conclusiones: En un 99% de confianza la frecuencia cardiaca de esta persona esta en un
intervalo de 78.38 a 81.82 pulsaciones por minutos, queda dentro de la media.