La regla del trapecio aproxima el área bajo una curva como el área de un trapecio formado por las líneas que unen los puntos inicial y final de la integral con la base. Esto da como resultado la fórmula integral = (b-a) * (f(a) + f(b)) / 2. Esta aproximación incurre en error para funciones no lineales, pero proporciona una estimación del error basada en la segunda derivada promedio de la función. El ejemplo numérico muestra un error grande al aplicar la regla del trapecio simple a una función

1. REGLA DEL TRAPECIO
La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas
cerradas de Newton-Cotes. Corresponde al caso en donde el
polinomio de la ecuación (13.1) es de primer orden.
Recuérdese del capítulo 11 que una línea recta se puede representar
como [Ec. (11.2)]
[13.2]
4.2.1 MÉTODO DEL
TRAPECIO

2. El área bajo la línea recta es una aproximación de la integral de / (x)
entre los límites a y b:
El resultado de la integración (véase el recuadro 13.1 para mayores
detalles) es
al que se le llama regla trapezoidal.
Geométricamente, la regla trapezoidal es equivalente a aproximar el
área del trapecio bajo la línea recta que une a / (a) y / (b) en la figura
13.4. Recuérdese de la geometría de la fórmula para calcular el área
[13.3]

3. RECUADRO 13.1 Derivación de la regla trapezoidal

4. de un trapecio es la altura por el promedio de las bases (Fig. 13.5a).
En este caso, el concepto es el mismo pero el trapecio se encuentra
sobre uno de sus lados (Fig. 13.5b). Por lo tanto, la aproximación a
la integral se puede representar como
I = ancho x altura promedio
[13.4]
FIGURA 13.4 Esquema gráfico de la regla trapezoidal.

5. FIGURA 13.5 a) Fórmula para calcular el área de un trapecio: altura
por el promedio de las bases, b) En la regla trapezoidal, el concepto
es el mismo sólo que el trapecio está sobre uno de sus lados.
I = (b — a) x altura promedio [13.5]
en donde, para la regla trapezoidal, la altura media es el promedio
de los valores de la función en los puntos de los extremos, es decir [f
(a) + f (b)]/2.
Todas las fórmulas cerradas de Newton-Cotes se pueden expresar
en el formato general de la ecuación (13.5). De hecho, solo difieren
con respecto a la formulación de la altura media.

6. Error en la regla trapezoidal
Cuando se emplea la integral bajo un segmento de línea recta para
aproximar la integral bajo una curva, obviamente que se incurre en un
error que puede ser sustancial (Fig. 13.6) Una estimación del error de
truncamiento de una sola aplicación de la regla trapezoidal es
(recuadro 13.2)
[13.6]
en donde | es un punto cualquiera dentro del intervalo dea ab. La
ecuación (13.6) indica que si la función que se está integrando es
lineal, la

7. FIGURA 13.6 Esquema gráfico al usar
sólo una aplicación de la regla
trapezoidal para aproximar la integral
de f(x) = 0.2 + 25 x — 200 x2 + 675 x3
— 900 x4 + 400 x5 desde x = 0 hasta
08
regla trapezoidal será exacta. De otra manera, ocurrirá un error para
funciones con derivadas de segundo y tercer orden (esto es, con
curvatura).

8. RECUADRO 13.2 Obtención y estimación de error de la regla
trapezoidal basada en la integración del polinomio de interpolación
hacia adelante de Newton-Gregory.

9. EJEMPLO
Aplicación de la regla trapezoidal simple
Enunciado del problema: utilícese la ecuación (13.3) para integrar
numéricamente
/(x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5
desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuérdese de la sección V.2 que el valor
exacto de la integral se puede determinar analíticamente como 1.640
533 34.
Solución: los valores de la función
se pueden sustituir en la ecuación (13.3) y obtener
que representa un error de

10. que corresponde a un error relativo porcentual de e„ = 89.5 %. La ra-
zón para este error tan grande es evidente en la gráfica de la figura
13.6. Nótese que el área bajo la línea recta descuida una porción
significativa de la integral sobre la línea.
En la situación actual, no se tendría conocimiento previo del valor
verdadero. Por lo tanto, se requiere una aproximación al error. Para
obtener esta aproximación, se calcula la segunda derivada de la
función sobre el intervalo derivando la función original dos veces para
dar
el valor promedio de la segunda derivada puede ser calculada
usando la ecuación V.3

11. que se puede sustituir en la ecuación (13.6) y
obtener
que es del mismo orden de magnitud y signo que tiene el error
verdadero. Existe una discrepancia debido a que en un intervalo de
este tamaño, el promedio de la segunda derivada no es
necesariamente una aproximación exacta de /"(£). P°r '° tanto, se
denota que el error es aproximado usando la notación Ea, en vez de
usar Eu.