El documento describe el método de cuadratura Gaussiana para aproximar integrales numéricamente. Este método determina los coeficientes de una ecuación que pasa a través de puntos seleccionados para equilibrar los errores positivos y negativos, resultando en una aproximación más precisa que la regla trapezoidal. Se derivan fórmulas de Gauss-Legendre de dos y más puntos resolviendo ecuaciones para que sean exactas para funciones polinómicas de orden creciente.

1. 4.2.4 Método de cuadratura Gaussiana
Como se puede ver en la figura 14.4a, la base de la regla trapezoidal
es tomar el área bajo la línea recta que une los valores de la función
evaluada en los extremos del intervalo. La fórmula usada para
calcular esta área es
[14.10]

2. Figura 14.4
a) Esquema gráfico de la regla
trapezoidal dada por el área bajo la
línea recta que une los puntos
extremos, b) Se obtiene una
aproximación mejorada a la integral
tomando el área bajo la línea recta
que pasa a través de dos puntos
intermedios.
Colocando adecuadamente estos
puntos, los errores, positivo y
negativo se equilibran y resulta una
aproximación a la integral
mejorada.

3. en donde a y b son los límites de integración y b — a es el ancho del
intervalo de integración. Debido a que la regla trapezoidal debe
pasar a través de los puntos límites, existen casos como el de la
figura 14.4a en donde la fórmula genera un error muy grande.
Ahora, supóngase que la restricción de fijar los puntos base se
elimina y se va a evaluar libremente el área bajo la línea recta que
une dos puntos cualesquiera de la curva. Colocando estos puntos de
manera inteligente, se puede definir una línea recta que balancee los
errores negativos y positivos. De ahí que, como en la figura 14.4b,
se llegara a un valor más exacto de la integral.

4. La cuadratura gaussiana es el nombre de uno de estos métodos que
implementa esta estrategia. Las fórmulas particulares de cuadratura
gaussiana descritas en esta sección se llaman fórmulas de Gauss-
Legendre. Antes de describir el método, se demuestra cómo las
fórmulas de integración numérica tales como la regla trapezoidal se
derivan usando el método de coeficientes indeterminados. Este
método se emplea en el desarrollo de las fórmulas de Gauss-
Legendre.

5. Método de coeficientes indeterminados
En el capítulo 13 se deriva la regla trapezoidal integrando un
polinomio lineal mediante un razonamiento geométrico. El método de
coeficientes indeterminados ofrece una tercera alternativa que tiene
también utilidad en la derivación de otros métodos tales como la
cuadratura gaussiana. Para ilustrar el método, la ecuación (14.10) se
expresa como
[14.11]

6. en donde las c son constantes. Ahora, considerando que la regla
trapezoidal debe llevar a resultados exactos cuando la función a
integrarse sea una constante o una línea recta. Dos ecuaciones
simples que representan este caso son y = 1 y y = x. Ambas se
ilustran en la figura 14.5. Por lo tanto, se deben cumplir las
siguientes igualdades:

7. Figura 14.5
Dos integrales que la regla
trapezoidal evaluará exactamente:
o) una constante y b) una línea
recta.

8. Estas son dos ecuaciones con dos incógnitas que pueden resolverse
por
las cuales, cuando se sustituyen de nuevo en la ecuación (14.11)
dan
la cual es equivalente a la regla trapezoidal.

9. Derivación de la fórmula de Gauss-Legendre basada en dos puntos
Como en el caso de la derivación anterior de la regla trapezoidal, la
cuadratura gaussiana determina los coeficientes de una ecuación de
la forma
[14.12]
en donde las c son los coeficientes incógnitas. Sin embargo, en
contraste a la regla trapezoidal que usa puntos extremos a y b, los
argumentos de la función x1 y x2 ahora no están fijos a los puntos
extremos, sino que son incógnitas (Fig. 14.6). Por lo tanto, ahora se
tiene un total de cuatro incógnitas que se deben evaluar, y por
consiguiente, se requieren de cuatro condiciones para determinarlos
exactamente.

10. Al igual que con la regla trapezoidal, se pueden obtener dos de estas
condiciones suponiendo que la ecuación (14.12) ajusta exactamente
la integral de una constante y de una función lineal.
Entonces, para llegar a las otras dos condiciones, se extiende este
razonamiento al suponer que también se ajusta la integral a una
función parabólica (y = x2) y a una función cúbica (y = x3). Haciendo
esto, se determinan las cuatro incógnitas conviniendo en derivar una
fórmula desintegración de doble punto que sea exacta para cúbicas.

11. Las cuatro ecuaciones por resolver son:

12. Las ecuaciones (14.13) hasta la (14.16) se resuelven
simultáneamente,

13. FIGURA 14.6 Esquema gráfico de las variables incógnitas — y x2—
para integración usando cuadratura gaussiana.

14. las cuatro se pueden sustituir en la ecuación (14.12) y obtener la
fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos
[14.17]
Por lo tanto, se llega al resultado interesante de que la suma simple
de los valores de la función en x = l/√3 y — 1/ √ 3 lleva a una
estimación de la integral con una exactitud de tercer orden.
Nótese que los límites de integración de las ecuaciones (14.13) a la
(14.16) van desde — 1 a 1. Esto se hizo para simplificar la aritmética
y hacer la formulación tan general como sea posible. Un simple
cambio de la variable se puede usar para trasladar otros límites de
integración en esta forma.

15. Esto se lleva a cabo suponiendo que la nueva variable xd está dada
en función de la variable original x en una forma lineal como en
[14.18]
Si el límite inferior, x = a, corresponde a xd = — 1, estos valores se
sustituyen en la ecuación (14.18) y se obtiene:
[14.19]
De manera similar el límite superior, x = b, corresponde a xd = 1, y
obtener
[14.20]

16. Las ecuaciones (14.19) y la (14.20) se resuelven simultáneamente,
generando:
[14.21]
[14.22]
que se sustituye en la ecuación (14.18) para obtener:
[14.23]

17. Esta ecuación se diferencia dando
[14.24]
Las ecuaciones (14.23) y (14.24) se pueden sustituir para x y dx,
respectivamente, en la ecuación por integrar. Estas sustituciones
transforman efectivamente el intervalo de integración sin cambiar los
valores de la integral. El ejemplo siguiente ilustra cómo se hace esto
en la práctica.

18. EJEMPLO
Fórmulas de Gauss-Legendre de dos puntos
Enunciado del problema: utilícese la ecuación (14.14) para evaluar la
integral
entre los límites x = O y x = 0.8. Recuérdese que éste fue el mismo
problema resuelto en el capítulo 13 usando una variedad de
formulaciones de Newton-Cotes. El valor exacto de la integral es
1.640 533 34.
Solución: antes de integrar la función, se debe realizar un cambio de
variable de tal forma que los límites sean desde — 1 hasta 1. Para
hacerlo, se sustituye a = 0 y b = 0.8 en la ecuación (14.23) y se
obtiene:

19. al calcular su derivada se tiene [Ec. (14.24)]
Estos dos valores se sustituyen en la ecuación original para obtener
Por lo tanto, el lado derecho está en la forma que es adaptable para
la evaluación mediante la cuadratura gaussiana. La función
transformada se puede evaluar en — l/√3 siendo igual a 0.516 740
55 y en l/ √ 3 siendo igual a 1.305 837 23. Por lo tanto, de acuerdo a
la ecuación (14.17). la integral es

20. / = 0.516 740 55 + 1.305 837 23 = 1.822 577 78
que representa un error relativo porcentual del — 11.1%. Este
resultado es comparable en magnitud a la aplicación de la regla
trapezoidal de cuatro segmentos (cuadro 13.1) o a una aplicación de
la regla de Simpson de 1/3 y la de 3/8 (ejemplos 13.4 y 13.6). Este
último resultado ya se esperaba porque las reglas de Simpson tienen
también exactitud de tercer orden. Sin embargo, debido a la forma
hábil de escoger los puntos, la cuadratura gaussiana obtiene esta
exactitud en base a sólo dos evaluaciones de la función.
Fórmulas de más de dos puntos
Además de la fórmula de dos puntos, analizada en la sección previa,
se pueden desarrollar también versiones de más de dos puntos, las
cuales se presentan en la forma general:

21. [14.25]
En el cuadro 14.1 se resumen los valores de las c y de las x de las
fórmulas de hasta seis puntos, incluyendo a éstas.
EJEMPLO
Fórmula de Gauss-Legendre de tres puntos
Enunciado del problema: utilícese la fórmula de tres puntos del
cuadro 14.1 para calcular la integral de la misma función del ejemplo
14.3.

22. Puntos Factores de peso Argumentos de la función
Error de trunca-
miento
2 _ 1.000 000 000 X.1 _ -0.577 350 269
= f(%)
c2 = 1.000 000 000 *2
-
0.577 350 269
3 Cl
=
1.555 555 556 *1 -0.774 596 669 = f(6)(í)
c2 = 0.888 888 889 x2 = 0.0
C3 = 0.555 555 556 *3 = 0.774 596 669
4 Cl = 0.347 854 845 *1 = -0.861 136 312
= 0.652 145 155 x2 = -0.339 981 044
c3 = 0.652 145 155 *3 = 0.339 981 044
c4 = 0.347 854 845 X4 = 0.861 136 312
5 Cl 0.236 926 885 *i
_
-0.906 179 846 = f(10>(£)
C2 = 0.478 628 670 X2 = -0.538 469 310
C3 = 0.568 888 889 *3 = 0.0
c4 = 0.478 628 670 X4 = 0.538 469 310
c5 = 0.236 926 885 x5 = 0.906 179 846
6 Cl - 0.171 324 492 xl
=
-0.932 469 514 = f(12,(?)
C2 = 0.360 761 573 x2 = -0.661 209 386
C3 = 0.467 913 935 *3 = -0.238 619 186
<=4 = 0.467 913 935 X4 = 0.238 619 186
c5 == 0.360 761 573 *5 = 0.661 209 386
c6 = 0.171 324 492 *6 = 0.932 469 514
Factores de peso c y
argumentos x de la
función usados en las
fórmulas de Gauss-
Legendre

23. Solución: de acuerdo al cuadro 14.1, la fórmula de tres puntos es
/ = 0.555 555 556 /(-0.774 596 669) + 0.888 888 889 /(0) + 0.555
555 556 /(0.774 596 669)
que es igual a
/ = 0.281 301 290 + 0.873 244444 + 0.485 987 599 = 1.640 533 34
la cual es exacta.
Debido a que la cuadratura gaussiana requiere de evaluaciones de
la función en puntos que no están uniformemente espaciados
dentro del intervalo de integración, no es aplicable a los casos en
que la función se desconoce. Por lo tanto, no se adapta a muchos
problemas de la inge-