Este documento introduce varios conceptos fundamentales sobre la divisibilidad de números. Explica qué son múltiplos y divisores de un número, cómo calcular todos los divisores de un número, y presenta criterios de divisibilidad como reglas para determinar si un número es divisible por otro sin necesidad de dividir. También cubre conceptos como números primos y compuestos, y la descomposición de números en factores primos.

1. Divisibilidad
–Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

2. Divisibilidad DIVISIBILIDAD
Index
1. Múltiplos y divisores de un número
2. Cálculo de todos los divisores de un número
3. Criterios de divisibilidad
4. Números primos y compuestos
5. Descomposición de un número en factores primos
6. Máximo común divisor de varios números
7. Mínimo común múltiplo de varios números
–29 de junio de 2012 –2

3. Divisibilidad
Recuerda. Multiplicación y división
Una multiplicación proporciona dos divisiones exactas.
54 : 6 = 9
54 = 6 × 9
54 : 9 = 6
Una división exacta proporciona:
Un producto.
Otra división exacta.
18 = 3 × 6
18 : 3 = 6
18 : 6 = 3
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4. Divisibilidad Múltiplos y divisores
Observa:
Esta división es exacta 35 7
0 5
Decimos que 7 es divisor de 35. También decimos que 35 es múltiplo de 7.
Esta división no es exacta 47 9
2 5
Así que 9 no es divisor de 47. También decimos que 47 no es múltiplo de 9.
Podemos saber si un número es divisor de otro de dos maneras:
· Dividiendo el mayor entre el · Escribiendo el segundo número
menor: como producto del primero por
otro número.
7 es divisor de 56 7 es divisor de 56
porque la división porque
56 : 7 es exacta 56 = 7 × 8
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5. Divisibilidad Múltiplos de un número
Como sabes: 5·0=0 5 · 2 = 10 5 · 7 = 35 5·
11 = 55
Cada vez que multiplicas 5 por cualquier número se obtiene otro
número que es múltiplo de 5.
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando
ese número por los números naturales
Así: 21 es múltiplo de 3, pues 21 = 3 · 7. ( Y múltiplo de 7)
44 es múltiplo de 11, pues 44 = 11 · 4
44 no es múltiplo de 5, pues multiplicando 5 por cualquier otro número
natural no da 44
0 es múltiplo de 2, y de 7, y de 15, 0 es múltiplo de
pues: 0 = 2 · 0 = 7 · 0 = 15 · 0 ... todos los números
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6. Divisibilidad
Divisores de un número
44 dividido entre 11 da 4 Se dice que 11 es divisor de 44
44 : 5 no es exacta 5 no es divisor de 44
Un número es divisor de otro cuando la división del segundo
por el primero es exacta.
Observa:
44 : 4 = 11 4 es divisor de 44 (También 11 es divisor de 44)
44 = 4 · 11 44 es producto de los factores 4 y 11
44 = 4 · 11 44 es múltiplo de 4 y de 11
Divisor y factor significa lo mismo.
Si un número es divisor el otro, este es múltiplo de aquel.
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7. Divisibilidad Cálculo de los divisores de un número (I)
Vamos a calcular todos los divisores de 66.
Dividimos 66 por todos los número menores que él. Cuando la división es
exacta, obtenemos también otra división y, por tanto dos divisores.
66 1 66 2 66 3 66 4
06 6 6 06 3 3 06 2 2 26 1 6
0 0 0 2
Divisiones exactas: Divisiones exactas: Divisiones exactas: No es exacta:
66 : 1 = 66 66 : 2 = 33 66 : 3 = 22 4 no es divisor
66 : 66 = 1 66 : 33 = 2 66 : 22 = 3
Divisores: 1 y 66 Divisores: 2 y 33 Divisores: 3 y 22
66 5 66 6 66 7 66 8
16 1 3 06 11 3 9 2 8
1 0
No es exacta: Divisiones exactas: No es exacta: No es exacta:
5 no es divisor 66 : 6 = 11 7 no es divisor 8 no es divisor
66 : 11 = 6 FIN
Divisores: 6 y 11
Nos detenemos cuando el cociente es menor o igual que el divisor.
Los divisores o factores de 66 son: D (66) = {1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66}
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8. Divisibilidad
Cálculo de los divisores de un número (III)
Un número puede tener varios divisores
Compruébalo
Por ejemplo: 18 tiene por divisores a 1, 2, 3, 6, 9 y 18
Para hallar todos los divisores de un número:
Se escribe como producto de dos factores, empezando por el factor 1.
Se termina cuando se repitan los factores.
Los factores aparecidos son todos los divisores del número.
Ejemplo: 45 = 1 · 45 1 y 45 son factores
45 = 3 · 15 3 y 15 son factores
45 = 5 · 9 5 y 9 son factores
45 = 9 · 5 Se repiten los factores
Los divisores de 45 son: 1, 3, 5, 9, 15 y 45
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9. Divisibilidad Criterios de divisibilidad
Por la tabla de multiplicar sabes que 24 es divisible por 4, pues 24 = 4 · 6.
También que 72 es divisible por 9, pues 72 = 9 · 8.
¿Sabes si 29058 es divisible por 3? ¿Habría que dividir?
Esto es un truco,
No es necesario, pues la suma de las cifras que llamamos
de 29058, 2 + 9 + 0 + 5 + 8 = 24, es múltiplo de 3 criterio.
Un criterio de divisibilidad es una regla que permite reconocer,
sin efectuar la división, si un número es o no divisible por otro.
Los criterios de divisibilidad son útiles para descomponer un
número en sus factores primos.
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10. Divisibilidad
Cálculo de los divisores de un número (II)
Para calcular todos los divisores de un número:
Se divide el número por todos los número menores que él, ordenadamente,
de menor a mayor.
Cuando la división es exacta, se obtienen dos divisores.
El proceso se termina cuando el cociente es menor o igual que el divisor.
Para practicar hallemos todos los divisores de 45.
45 1 45 2 45 3 45 4
05 4 5 05 2 2 15 1 5 05 11
0 1 0 1
Divisores: 1 y 45 2 no es divisor Divisores: 3 y 15 4 no es divisor
45 5 45 6 45 7
Terminamos porque
0 9 3 7 3 6
el cociente (6) es menor
Divisores: 5 y 9 6 no es divisor 7 no es divisor que el divisor (7)
FIN
Los divisores de 45 son: D (45) = { 1, 3, 5, 9, 15, 45}
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11. Divisibilidad Divisibilidad por 2, por 5 y por 10
Observa: 438 = 43 · 10 + 8
Luego, 438 será divisible por
10 es divisible por 2, por 5 y por 10 2, por 5 o por 10 si lo es 8
Como 8 es divisible por 2, 438 es divisible por 2.
Como 8 no es divisible por 5 ni por 10, 438 tampoco lo es.
Un número es divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es el número formado
por la cifra de las unidades. Luego:
Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par.
Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
Un número es divisible por 10 si termina en 0.
Ejemplos: 1708 es divisible por 2; no lo es ni por 5 ni por 10.
10395 es divisible por 5.
280 es divisible por 10, y por 5, y por 2.
232451 no es divisible ni por 2, ni por 5 ni por 10.
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12. Divisibilidad Criterios de divisibilidad por 3 y por 9
Por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de sus
cifras es divisible por 3.
Ejemplos: a) 1428 es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es
1 + 4 + 2 + 8 = 15, y 15 es divisible por 3.
b) 1429 no es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es 16.
Por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de los valores de sus
cifras es divisible por 9.
Ejemplo: 5643 es divisible por 9, pues la suma de sus cifras es
5 + 6 + 4 + 3 = 18 , y 18 es divisible por 9.
Observación: Si un número es divisible por 9 también lo será por 3;
lo contrario no siempre es cierto.
50067 es divisible por 9 (y por 3). 78105 es divisible por 3, pero no por 9
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13. Divisibilidad Divisibilidad por 11
La división 44968 : 11 es exacta. 44968 es múltiplo de11.
Distingamos en 44968 las cifras que ocupan lugares pares y las que
ocupan lugares impares: 4 4 9 6 8
Las cifras que ocupan lugares impares suman: 4 + 9 + 8 = 21
21 – 10 = 11
Las cifras que ocupan lugares pares suman: 4 + 6 = 10
Para saber si un número es divisible por 11:
Se suman separadamente las cifras que ocupan los lugares pares
y los impares en la escritura del número.
Si la diferencia entre ambas sumas es múltiplo de 11, el número
dado es divisible por 11.
Ejemplo: 709181 es múltiplo de 11, pues:
Cifras que ocupan lugares pares: 7 + 9 + 8 = 24 Diferencia:
709181
Cifras que ocupan lugares impares: 0+1+1=2 24 - 2 = 22
Como 22 es múltiplo de 11, el número 709181 también lo es.
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14. Divisibilidad Divisibilidad por 7
Ejemplo:
2058 Seleccionamos el último dígito del número (8) y lo multiplicamos
por 2
8 x 2 = 16
El resultado (16) se lo restamos a la parte no utilizada del número
205 – 16 = 189
Seleccionamos el último dígito del número (9) y lo multiplicamos
por 2
9 x 2 = 18
El resultado (18) se lo restamos a la parte no utilizada del número
18 – 18 = 0
Si el resultado final de las restas es 0 o múltiplo de 7;
El número será divisible por 7
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15. Divisibilidad Resolución de problemas
Problema: El número de habitantes del pueblo de Yolanda es un número muy
curioso. Si se divise entre 9 el resto es 1. Si se divide entre 11 el resto es 1.
Además, es el número más pequeño que cumple estas condiciones. ¿Cuántos
habitantes tiene el pueblo de Yolanda?
1º. Tantear para comprender mejor
¿Podrían ser 901 habitantes? Al dividir por 9, sobra 1, 901 = 100 · 9 +1. Podría ser
Pero al dividir por 11, sobran 10. Luego, no vale.
2º. Pensar un problema más fácil
Si el número diera de resto 0 al dividirlo por 9 y por 11, sería múltiplo de ambos.
Y por ser el menor posible debería ser 9 · 11.
Pero este no es el problema. El problema dice que da de resto 1.
¿Y qué diferencia hay entre dar de resto 0 y dar de resto 1? ¡Pues 1!
El número será: 9 · 11 + 1 = 100
3º. Comprobar el resultado
100 : 9 da de resto es 1. 100 : 11 da de resto 1.
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