1) Las ecuaciones son igualdades que relacionan expresiones mediante el signo igual.
2) Existen ecuaciones falsas, ciertas e identidades.
3) Las ecuaciones se clasifican según su grado y pueden ser lineales, cuadráticas, cúbicas o de mayor grado.
Este documento presenta una unidad sobre ecuaciones lineales o de primer grado. Explica qué son las ecuaciones lineales, cómo resolverlas y cómo aplicarlas para resolver problemas. Proporciona ejemplos de ecuaciones lineales y no lineales, y muestra los pasos para resolver un problema utilizando una ecuación lineal.
El documento explica conceptos básicos de ecuaciones de primer grado, incluyendo igualdades numéricas, ecuaciones, incógnitas, soluciones y métodos para resolver ecuaciones de primer grado con y sin paréntesis o denominadores.
El documento describe varios métodos para resolver ecuaciones de primer grado, incluyendo el método de ensayo y error, el método de suma y producto, y el método general para ecuaciones con paréntesis y denominadores. Explica cómo aplicar propiedades algebraicas como la distribución y la transposición para simplificar las ecuaciones y encontrar la solución.
T5 ecuaciones de primer grado y segundo gradoayalasu
Este documento resume los conceptos básicos de ecuaciones de primer y segundo grado. Define una ecuación como una igualdad con letras y números y una identidad como una igualdad que siempre se cumple. Explica que las ecuaciones de primer grado tienen la incógnita elevada a la primera potencia, mientras que las de segundo grado la tienen elevada a la segunda potencia. Detalla los pasos para resolver ambos tipos de ecuaciones y determinar si sus soluciones son compatibles o no.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones de primer grado, incluyendo cómo expresar información en lenguaje algebraico, sumar y restar expresiones algebraicas, resolver ecuaciones utilizando las reglas de la suma y el producto, y resolver ecuaciones con paréntesis o denominadores.
Este documento trata sobre la resolución de problemas reales utilizando ecuaciones de primer grado. Explica el objetivo de resolver problemas reales asociados con ecuaciones de primer grado usando un pensamiento lógico. A continuación, presenta un ejemplo de problema y los pasos para resolverlo: 1) analizar los datos e incógnitas, 2) plantear la ecuación, 3) resolverla y 4) verificar la solución.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones de primer grado y una incógnita. Explica qué es una ecuación, cómo clasificarlas y cómo resolverlas mediante la transposición de términos, reducción de términos semejantes y despeje de la incógnita. Incluye ejemplos para ilustrar estos pasos de resolución.
Este documento presenta conceptos básicos de números enteros como múltiplos, divisores, números primos y compuestos, mínimo común múltiplo (MCM) y máximo común divisor (MCD). Explica cómo identificar múltiplos y divisores, obtener números primos, descomponer números en factores primos, y calcular MCM y MCD. Incluye ejemplos resueltos de problemas relacionados con estos temas.
Este documento presenta una unidad sobre ecuaciones lineales o de primer grado. Explica qué son las ecuaciones lineales, cómo resolverlas y cómo aplicarlas para resolver problemas. Proporciona ejemplos de ecuaciones lineales y no lineales, y muestra los pasos para resolver un problema utilizando una ecuación lineal.
El documento explica conceptos básicos de ecuaciones de primer grado, incluyendo igualdades numéricas, ecuaciones, incógnitas, soluciones y métodos para resolver ecuaciones de primer grado con y sin paréntesis o denominadores.
El documento describe varios métodos para resolver ecuaciones de primer grado, incluyendo el método de ensayo y error, el método de suma y producto, y el método general para ecuaciones con paréntesis y denominadores. Explica cómo aplicar propiedades algebraicas como la distribución y la transposición para simplificar las ecuaciones y encontrar la solución.
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Este documento resume los conceptos básicos de ecuaciones de primer y segundo grado. Define una ecuación como una igualdad con letras y números y una identidad como una igualdad que siempre se cumple. Explica que las ecuaciones de primer grado tienen la incógnita elevada a la primera potencia, mientras que las de segundo grado la tienen elevada a la segunda potencia. Detalla los pasos para resolver ambos tipos de ecuaciones y determinar si sus soluciones son compatibles o no.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones de primer grado, incluyendo cómo expresar información en lenguaje algebraico, sumar y restar expresiones algebraicas, resolver ecuaciones utilizando las reglas de la suma y el producto, y resolver ecuaciones con paréntesis o denominadores.
Este documento trata sobre la resolución de problemas reales utilizando ecuaciones de primer grado. Explica el objetivo de resolver problemas reales asociados con ecuaciones de primer grado usando un pensamiento lógico. A continuación, presenta un ejemplo de problema y los pasos para resolverlo: 1) analizar los datos e incógnitas, 2) plantear la ecuación, 3) resolverla y 4) verificar la solución.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones de primer grado y una incógnita. Explica qué es una ecuación, cómo clasificarlas y cómo resolverlas mediante la transposición de términos, reducción de términos semejantes y despeje de la incógnita. Incluye ejemplos para ilustrar estos pasos de resolución.
Este documento presenta conceptos básicos de números enteros como múltiplos, divisores, números primos y compuestos, mínimo común múltiplo (MCM) y máximo común divisor (MCD). Explica cómo identificar múltiplos y divisores, obtener números primos, descomponer números en factores primos, y calcular MCM y MCD. Incluye ejemplos resueltos de problemas relacionados con estos temas.
Este documento presenta conceptos sobre ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones. Explica cómo resolver ecuaciones numéricas, literales y fraccionarias, así como los métodos de igualación, sustitución y reducción para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. También incluye ejemplos y ejercicios de aplicación de los temas.
Este documento presenta varios ejemplos de cómo resolver ecuaciones de primer grado. Explica los pasos para resolver ecuaciones por igualación, eliminación de paréntesis, con fracciones y problemas de la vida real que involucran ecuaciones de primer grado. También incluye ocho problemas de ejemplo con sus respectivas soluciones.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones algebraicas de primer y segundo grado. Explica qué son las ecuaciones, los tipos de ecuaciones algebraicas según las operaciones involucradas, y cómo resolver ecuaciones de primer grado y cuadráticas mediante el uso de equivalencias y el método de completar cuadrados. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar los conceptos.
Todas las operaciones se resuelven de
izquierda a derecha.
Si existen signos de agrupación, primero se
efectúan todas las operaciones que se encuentran
dentro de éstos.
Si hay dos o más signos de agrupación, uno
dentro de otro, se realizan las operaciones de adentro
hacia afuera.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante pasos metódicos. Describe cómo representar palabras clave como "igualdad", "exceso" y "excede" con símbolos matemáticos y cómo elegir las operaciones correctas. Proporciona ejemplos de tipos de enunciados, ejercicios resueltos y más ejercicios para practicar en clase. El objetivo es enseñar a los estudiantes a plantear y resolver ecuaciones de primer grado de una manera ordenada.
Este documento presenta los conceptos y métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones que aparecen en 4o de la ESO. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado, segundo grado, polinómicas, irracionales y racionales. También cubre sistemas lineales y no lineales de dos y tres ecuaciones con dos o tres incógnitas, respectivamente. Termina con ejercicios de práctica sobre estos temas.
El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones. Define una ecuación como una igualdad que se cumple para algunos valores determinados de las variables desconocidas. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos y la división para despejar la variable. También cubre ecuaciones literales y cómo factorizar para resolverlas.
El documento habla sobre resolución de ecuaciones de primer grado. Explica las reglas de los signos, la suma, el producto y cómo eliminar paréntesis con signos negativos. También muestra ejemplos de cómo resolver ecuaciones aplicando estas reglas y propiedades algebraicas.
Teoria sistemas de ecuaciones (con ejemplos resueltos)mgarmon965
Este documento describe los sistemas de ecuaciones y métodos para resolverlos. Explica que un sistema está formado por dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es un par de números que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. Luego detalla los métodos de sustitución, igualación y reducción para resolver sistemas, y provee ejemplos resueltos. Finalmente clasifica los sistemas y ofrece más problemas resueltos que ilustran su aplicación.
El documento explica cómo resolver una ecuación lineal mediante los siguientes pasos: 1) plantear la ecuación como una "balanza" donde ambos lados deben equilibrarse, 2) trabajar algebraicamente ambos lados de la igualdad de la misma manera para mantener el equilibrio, y 3) encontrar el valor de la incógnita que satisface la ecuación original. Como ejemplo, se resuelve la ecuación 3x - 4x + 25 = 2x para encontrar que x = 75.
El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones, incluyendo el significado del signo igual, las soluciones de ecuaciones, ecuaciones equivalentes, ecuaciones de primer y segundo grado, y cómo resolver ecuaciones de segundo grado. Se define una ecuación como una igualdad entre dos expresiones algebraicas donde se buscan los valores de la variable que verifican la igualdad.
Este documento define ecuaciones algebraicas y describe diferentes tipos de ecuaciones, incluyendo ecuaciones de primer grado, cuadráticas, radicales y racionales. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado y cuadráticas, así como el uso de crucigramas y problemas de edades y horas para practicar la resolución de ecuaciones.
Este documento presenta varios problemas resueltos con ecuaciones de primer grado. Explica cómo designar incógnitas, plantear ecuaciones y resolverlas para determinar valores desconocidos como la cantidad de estuches que Sandra y Rosa confeccionaron o los metros que Carlos y Angélica recorrieron.
Este documento presenta los aprendizajes esperados sobre ecuaciones en una sesión de matemáticas. Explica cómo traducir situaciones del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático mediante el uso de símbolos y variables, y cómo plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita para resolver problemas. Incluye ejemplos de traducciones y resolución de ecuaciones.
Los problemas de planteo involucran traducir un enunciado verbal a una ecuación algebraica de primer grado y luego resolverla. Para resolver problemas de planteo, se debe leer el enunciado, plantear la ecuación apropiada, resolverla y analizar el resultado.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo definiciones de términos como solución de sistema, sistemas equivalentes, sistemas compatibles e incompatibles. Describe tres métodos para resolver sistemas - sustitución, igualación y reducción - y ofrece ejemplos resueltos. Finalmente, proporciona ejercicios prácticos para que el lector aplique los conceptos.
Este documento explica cómo resolver sistemas de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas utilizando diferentes métodos como suma y resta, sustitución e igualación. Primero se define un sistema de ecuaciones simultáneas y se explica que se requieren tantas ecuaciones como incógnitas para resolverlo. Luego, se ilustra el método de suma y resta con varios ejemplos resueltos paso a paso.
Este documento explica las ecuaciones de primer grado con una incógnita, incluyendo cómo resolverlas mediante el despeje de la incógnita y comprobando la solución. También incluye ejemplos de ecuaciones equivalentes y no equivalentes, y problemas resueltos que implican plantear y resolver ecuaciones de primer grado.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones de primer grado usando ejemplos de problemas de la vida diaria. Muestra cómo formular ecuaciones para problemas que involucran sumas, restas, multiplicaciones y divisiones simples. Explica los pasos para hacer una ecuación, que incluyen entender el problema, identificar los datos y la incógnita, y despejar la incógnita. Incluye ejemplos resueltos de problemas como calcular una nota para alcanzar un promedio, determinar la edad de una persona basado en la suma de edades, y calcular
El documento presenta varios ejercicios de ecuaciones resueltos por alumnos de 3o de ESO. Incluye problemas sobre sistemas de ecuaciones, ecuaciones de segundo grado y problemas de la vida real expresados como ecuaciones. Los estudiantes muestran los pasos para plantear y resolver cada ejercicio de manera sistemática.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones, incluyendo definiciones de igualdad, identidad, ecuación y sus elementos. Explica tipos de ecuaciones según su grado y clasificaciones como polinómicas, racionales e irracionales. Finalmente, describe métodos para resolver ecuaciones de primer grado y presenta ejemplos de problemas relacionados con relojes y móviles.
Este documento trata sobre ecuaciones lineales o de primer grado. Explica cómo resolver este tipo de ecuaciones algebraicas mediante el uso de propiedades matemáticas como la distribución. Incluye ejemplos de cómo expresar situaciones del lenguaje cotidiano en forma simbólica y luego resolverlas utilizando ecuaciones lineales. El objetivo final es enseñar a los estudiantes a modelar y resolver problemas de la vida real mediante este tipo de ecuaciones algebraicas.
Este documento presenta conceptos sobre ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones. Explica cómo resolver ecuaciones numéricas, literales y fraccionarias, así como los métodos de igualación, sustitución y reducción para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. También incluye ejemplos y ejercicios de aplicación de los temas.
Este documento presenta varios ejemplos de cómo resolver ecuaciones de primer grado. Explica los pasos para resolver ecuaciones por igualación, eliminación de paréntesis, con fracciones y problemas de la vida real que involucran ecuaciones de primer grado. También incluye ocho problemas de ejemplo con sus respectivas soluciones.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones algebraicas de primer y segundo grado. Explica qué son las ecuaciones, los tipos de ecuaciones algebraicas según las operaciones involucradas, y cómo resolver ecuaciones de primer grado y cuadráticas mediante el uso de equivalencias y el método de completar cuadrados. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar los conceptos.
Todas las operaciones se resuelven de
izquierda a derecha.
Si existen signos de agrupación, primero se
efectúan todas las operaciones que se encuentran
dentro de éstos.
Si hay dos o más signos de agrupación, uno
dentro de otro, se realizan las operaciones de adentro
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Este documento explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante pasos metódicos. Describe cómo representar palabras clave como "igualdad", "exceso" y "excede" con símbolos matemáticos y cómo elegir las operaciones correctas. Proporciona ejemplos de tipos de enunciados, ejercicios resueltos y más ejercicios para practicar en clase. El objetivo es enseñar a los estudiantes a plantear y resolver ecuaciones de primer grado de una manera ordenada.
Este documento presenta los conceptos y métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones que aparecen en 4o de la ESO. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado, segundo grado, polinómicas, irracionales y racionales. También cubre sistemas lineales y no lineales de dos y tres ecuaciones con dos o tres incógnitas, respectivamente. Termina con ejercicios de práctica sobre estos temas.
El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones. Define una ecuación como una igualdad que se cumple para algunos valores determinados de las variables desconocidas. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos y la división para despejar la variable. También cubre ecuaciones literales y cómo factorizar para resolverlas.
El documento habla sobre resolución de ecuaciones de primer grado. Explica las reglas de los signos, la suma, el producto y cómo eliminar paréntesis con signos negativos. También muestra ejemplos de cómo resolver ecuaciones aplicando estas reglas y propiedades algebraicas.
Teoria sistemas de ecuaciones (con ejemplos resueltos)mgarmon965
Este documento describe los sistemas de ecuaciones y métodos para resolverlos. Explica que un sistema está formado por dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es un par de números que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. Luego detalla los métodos de sustitución, igualación y reducción para resolver sistemas, y provee ejemplos resueltos. Finalmente clasifica los sistemas y ofrece más problemas resueltos que ilustran su aplicación.
El documento explica cómo resolver una ecuación lineal mediante los siguientes pasos: 1) plantear la ecuación como una "balanza" donde ambos lados deben equilibrarse, 2) trabajar algebraicamente ambos lados de la igualdad de la misma manera para mantener el equilibrio, y 3) encontrar el valor de la incógnita que satisface la ecuación original. Como ejemplo, se resuelve la ecuación 3x - 4x + 25 = 2x para encontrar que x = 75.
El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones, incluyendo el significado del signo igual, las soluciones de ecuaciones, ecuaciones equivalentes, ecuaciones de primer y segundo grado, y cómo resolver ecuaciones de segundo grado. Se define una ecuación como una igualdad entre dos expresiones algebraicas donde se buscan los valores de la variable que verifican la igualdad.
Este documento define ecuaciones algebraicas y describe diferentes tipos de ecuaciones, incluyendo ecuaciones de primer grado, cuadráticas, radicales y racionales. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado y cuadráticas, así como el uso de crucigramas y problemas de edades y horas para practicar la resolución de ecuaciones.
Este documento presenta varios problemas resueltos con ecuaciones de primer grado. Explica cómo designar incógnitas, plantear ecuaciones y resolverlas para determinar valores desconocidos como la cantidad de estuches que Sandra y Rosa confeccionaron o los metros que Carlos y Angélica recorrieron.
Este documento presenta los aprendizajes esperados sobre ecuaciones en una sesión de matemáticas. Explica cómo traducir situaciones del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático mediante el uso de símbolos y variables, y cómo plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita para resolver problemas. Incluye ejemplos de traducciones y resolución de ecuaciones.
Los problemas de planteo involucran traducir un enunciado verbal a una ecuación algebraica de primer grado y luego resolverla. Para resolver problemas de planteo, se debe leer el enunciado, plantear la ecuación apropiada, resolverla y analizar el resultado.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo definiciones de términos como solución de sistema, sistemas equivalentes, sistemas compatibles e incompatibles. Describe tres métodos para resolver sistemas - sustitución, igualación y reducción - y ofrece ejemplos resueltos. Finalmente, proporciona ejercicios prácticos para que el lector aplique los conceptos.
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Este documento trata sobre ecuaciones y conceptos algebraicos básicos. Explica qué es una ecuación, los tipos de ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones lineales, monomios, polinomios, y el plano cartesiano. También cubre operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios.
Clase 3 resolución de ecuaciones de primer gradoMATERIAPSU
Este documento presenta los conceptos fundamentales sobre la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica cómo resolver ecuaciones utilizando diferentes métodos como igualación, sustitución y reducción. También introduce los sistemas de ecuaciones y cómo determinar si tienen una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución.
Este documento presenta información sobre ecuaciones de primer grado con dos variables. Explica que una ecuación de primer grado con dos variables puede escribirse como ax + by = c. Luego, define un sistema de ecuaciones lineales como dos ecuaciones de este tipo. Finalmente, resuelve problemas utilizando sistemas de ecuaciones para encontrar valores desconocidos.
Guia n° 01 Resolución de problemas matemáticos IIKarlos Rivero
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre ecuaciones de primer grado. Explica conceptos como igualdad, ecuación e incógnita. Detalla los pasos para resolver ecuaciones de primer grado con una variable, incluyendo transformar la ecuación y despejar la incógnita. Incluye ejemplos resueltos y ejercicios para comprobar el aprendizaje del estudiante.
Este documento explica conceptos relacionados con potencias de exponentes racionales. Introduce las propiedades de exponentes cero y negativos, y establece la relación entre potencias con exponentes fraccionarios y raíces. Luego, presenta ejemplos de cómo aplicar las propiedades de potencias a la multiplicación, división y desarrollo de polinomios con exponentes racionales.
Este documento explica conceptos relacionados con potencias de exponentes racionales. Introduce las propiedades de exponentes cero y negativos, y establece la relación entre potencias con exponentes fraccionarios y raíces. Luego, presenta ejemplos de cómo aplicar las propiedades de potencias a la multiplicación, división y desarrollo de polinomios con exponentes racionales.
Este documento describe las ecuaciones, incluyendo su definición como igualdades entre expresiones matemáticas que contienen cantidades desconocidas. Explica que resolver una ecuación significa encontrar los valores de las incógnitas que hacen que la igualdad sea cierta. Además, clasifica las ecuaciones según el número de incógnitas y el grado del término de mayor grado.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad y estadística. En menos de 3 oraciones: Introduce conceptos como probabilidad clásica, combinatoria, permutaciones, variaciones y combinaciones para describir sucesos aleatorios. Luego, explica medidas de tendencia central como la media, mediana y moda, y medidas de dispersión como el rango y desviación estándar. Finalmente, muestra diferentes tipos de tablas y gráficos para organizar y visualizar datos estadísticos.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad y estadística. En menos de 3 oraciones: Introduce conceptos como probabilidad clásica, combinatoria, permutaciones, variaciones y combinaciones para describir sucesos aleatorios. Luego, explica medidas de tendencia central como la media, mediana y moda, y medidas de dispersión como el rango y desviación estándar. Finalmente, muestra diferentes tipos de tablas y gráficos para organizar y visualizar datos estadísticos.
El documento trata sobre expresiones algebraicas. Explica que una expresión algebraica relaciona valores indeterminados con constantes y cifras mediante operaciones como suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz. Luego define y da ejemplos de diferentes tipos de expresiones algebraicas como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. Finalmente, introduce conceptos como polinomios, términos, grado de un polinomio y operaciones con polinomios como suma, resta, multiplicación y división.
Este documento explica las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Define una ecuación de primer grado como aquella que presenta una sola variable con exponente uno. Explica cómo resolver este tipo de ecuaciones mediante el uso de reglas como la trasposición de términos y despeje de la incógnita. Proporciona ejemplos resueltos de ecuaciones de primer grado y ejercicios propuestos para que los estudiantes practiquen.
Este documento presenta un resumen de tres temas principales: 1) Problemas aplicados con pasos para resolverlos y dos ejemplos resueltos, 2) Ecuaciones cuadráticas con métodos de resolución como factorización, raíz cuadrada y completando el cuadrado, y 3) Números complejos con definición y ejercicios aplicativos. El documento concluye agradeciendo la atención del público.
Este documento trata sobre conceptos básicos de álgebra como constantes, variables, expresiones matemáticas, notación matemática y polinomios. Explica que un polinomio es una expresión que combina variables y/o constantes mediante adiciones, sustracciones, multiplicaciones y potenciaciones donde los exponentes de las variables son enteros positivos. También define polinomios de una y más variables, así como polinomios lineales y cuadráticos.
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones lineales y las matrices. Explica que un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales, y que una matriz representa un sistema de ecuaciones. Detalla cómo resolver sistemas mediante el método de eliminación y operaciones de renglón en la forma matricial. Finalmente, distingue entre sistemas consistentes que tienen solución única o infinitas soluciones, e inconsistentes sin solución.
1) Las inecuaciones son desigualdades algebraicas donde los dos miembros se relacionan por signos como <, ≤, > o ≥.
2) La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifican, expresada mediante una representación gráfica o un intervalo.
3) Se resuelven inecuaciones de primer grado, segundo grado, racionales y equivalentes aplicando pasos como agrupar términos, despejar la incógnita y expresar la solución como intervalo.
Este documento presenta información sobre inecuaciones lineales y cuadráticas con una incógnita, así como ecuaciones exponenciales y logarítmica. Explica cómo resolver este tipo de ecuaciones aplicando propiedades de desigualdades, potencias y logarítmos. También incluye ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar los métodos.
Este documento presenta una unidad didáctica sobre inecuaciones de primer y segundo grado con una o dos incógnitas. Explica cómo resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita, sistemas de inecuaciones de primer grado, inecuaciones de segundo grado y racionales con una incógnita, e inecuaciones lineales con dos incógnitas y sistemas de estas. El documento contiene ejemplos resueltos de cada tipo de inecuación.
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Este documento explica la notación científica, que se usa para escribir números muy grandes o pequeños. Explica cómo se escriben los números en esta notación como el producto de un coeficiente entre 1 y 10 y una potencia de 10, y cómo realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con números en notación científica. También incluye ejemplos y ejercicios para practicar la conversión entre notación científica y decimal.
Ficha 2 funciones 3o(soluciones) 3-4 y 5 - juliovernemgarmon965
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Ficha 2 funciones 3o(soluciones) 1 y 2- juliovernemgarmon965
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Este documento describe las propiedades de los triángulos y polígonos. Explica que un triángulo tiene 3 lados, 3 ángulos y 3 vértices, y que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180 grados. También establece que la suma de los ángulos de cualquier polígono de n lados es 180 grados por (n-2), ya que los polígonos se pueden dividir en triángulos trazando diagonales. Asigna ejercicios como tarea.
Este documento presenta varios ejemplos de funciones y sus gráficas correspondientes. El primer ejemplo describe un viaje en bicicleta con subidas y bajadas, donde se registra la distancia recorrida en diferentes momentos. Otro ejemplo muestra las ganancias mensuales de un representante en función de los aparatos vendidos. Finalmente, se presentan funciones que modelizan otros fenómenos como la evolución de los beneficios de una empresa a lo largo del tiempo.
Antonio pedaleó más lento al principio de su viaje de 10 km desde Benalmádena a Alhaurín de la Torre, pero aumentó la velocidad después de los primeros 20 minutos. Llegó justo a tiempo a las 8:15. Sandra salió al mismo tiempo pero siempre fue 1 km detrás de Antonio y llegó 5 minutos después. Roberto salió 5 minutos después de Antonio pero llegó 5 minutos antes pedaleando a velocidad constante. Alicia fue en autobús, el cual paró varias veces y adelantó a Antonio a las 7:55 cuando estaba a 5 km de Ben
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1. Ecuaciones
I gual dad
Una IGUALDAD se com pone de dos expr esi on es unida s por el signo ig ua l.
2x + 3 = 5x − 2
Una i gua l dad puede ser :
Fal sa:
2x + 1 = 2 · ( x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1≠2.
Ci er t a
2x + 2 = 2 · ( x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2
I dent i dad
Una i den t i dad es una i gua l dad que es ci ert a para c ual qui er val or de
l as l et r as.
2x + 2 = 2 · ( x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2
Ecuaci ó n
Una e cu aci ón es una i gu al dad qu e se cu mpl e para al guno s val or e s
de l as l et r as.
x + 1 = 2 x = 1
Los MIEMBROS de una ecua ción son cada un a de l as expresi ones qu e
apar ece n a ambos l ados del si gno i gual .
Los TÉRMINOS son l os sumandos q ue f orman l os miembros.
1
2. Las INCÓGNITAS s on l as l et ras que aparece n en l a ecuaci ón.
Las SOLUCIONES s on los v al ores que debe n t omar l as l et ras par a que
l a i gual dad sea ci ert a.
2x − 3 = 3x + 2 x = −5
2 · (− 5) − 3 = 3 · (−5) + 2
− 10 − 3 = −15 + 2 −13 = −13
El gr a do de una e cuación es el ma yor de l o s grados de l os monom i os
que f or m an sus mi embros.
Ti pos de ecuaci ones seg ún su grado
5x + 3 = 2x +1 Ecuaci ón de pri mer grado.
5x + 3 = 2x 2 + x Ecuaci ón de segu ndo grado.
5x 3 + 3 = 2x +x 2 Ecuaci ón de t ercer grado .
5x 3 + 3 = 2x 4 +1 Ecuaci ón de cuart o grado.
Cl asi f i caci ón de ecuaci o nes
1. Ecuac i ones pol i nómi cas ent eras
Las ecua ciones p olin óm ic as son d e la f or m a P( x) = 0 , donde P( x) es un
poli nom i o.
2
3. G r ado de una ecuaci ón
El gr a do de u na e cuación es el ma yor de l o s grados de l os monom i os
que f or m an sus mi embros.
Ti pos de ec uaci ones pol i nómi cas
1. 1 Ecua ci ones de pri mer grado o l i neal es
Son de l t ipo a x + b = 0 , c on a ≠ 0, ó cual qu ier ot r a ecuación en la que
al oper ar , tr asponer t érm inos y simplif icar a dopt an esa expr e sión.
( x + 1) 2 = x 2 - 2
x 2 + 2x + 1 = x 2 - 2
2x + 1 = - 2
2x + 3 = 0
1. 2 Ecua ci ones de segun do grado o cuadrát i cas
Son ecua ciones d el t ipo ax 2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0.
Ecuaci o nes de segundo grado i ncompl et as
ax 2 = 0
ax 2 + b = 0
ax 2 + bx = 0
1. 3 Ecua ci ones de t ercer grado
Son ecua ciones d el t ipo ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 , con a ≠ 0.
3
4. 1. 4 Ecua ci ones de cuart o grado
Son ecua ciones d el t ipo ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 , con a ≠ 0.
Ecuaci o nes bi cuadradas
Son ecua ciones d e cuar t o gr ado qu e no t iene t ér m inos de gr ado im par .
ax 4 + bx 2 + c = 0 , con a ≠ 0.
1. 5 Ecua ci ones de gra do n
En gener al, las ecuacion es de gr ado n son de la f or ma:
a 1 x n + a 2 x n - 1 + a 3 x n - 2 + . . .+ a 0 = 0
2. Ecuac i ones pol i nómi cas raci onal es
Las ecua ciones p olin óm ic as son de la f or ma , donde P( x) y
Q ( x) son poli nom i os.
Ecuaci o nes equi val ent es
Dos ecu aci ones son equi val ent es si ti enen l a mi sma sol uci ón.
2x − 3 = 3x + 2 x = −5
x + 3 = −2 x = −5
Cri t eri os de equi val enci a de ecuaci ones
1. Si a l os dos mi embros de una e cuaci ón se l es s uma o s e l es r es t a
una m i sm a cant idad, l a ecuaci ón es equi val ent e a l a dada.
4
5. x + 3 = −2
x + 3 − 3 = −2 − 3
x = −5
2. Si a l os dos mi embros de una ecuaci ó n se l es mul t i pl i ca o se l e s
di vi de una mi sma cant i dad, l a ecuaci ón es equi val ent e a la dada.
5x + 10 = 15
( 5x + 10) : 5 = 15 : 5
x + 2 = 3
x + 2 −2= 3 −2
x = 1
Reso l uci ón de ecuaci one s de primer grado
En gene r al par a resol ver una ecuaci ón de pri mer grado debe m o s
seguir lo s siguien t es pasos:
1º Q ui t ar parént esi s.
2º Q ui t ar denomi nadores.
3º Agru par l os t érmi nos en x en u n mi embro y l os t érm i nos
i ndepen di ent es en el ot ro.
4º Reduc i r l os t érmi nos semej ant es.
5º Despe j ar l a i ncógni t a.
5
6. Despej a m os la incógnit a:
Agr upam os los t érm inos sem ej ant es y los independ ien t es, y sum am os:
Q uit am os par ént esis:
Agr upam os t ér m inos y sumam os:
Despej a m os la incógnit a:
Q uit am os denom in ador es, par a ell o en pr im er lugar hall am os el m í nim o
com ún múlt ipl o.
Q uit am os par ént esis, agr upam os y sum am os los t ér m inos sem ej ant es:
6
7. Despej a m os la incógnit a:
Q uit am os par ént esis y sim plif icam os:
Q uit am os denom inador es, agr upa m os y sum am os los t ér m inos
sem ej antes:
Q uit am os cor chet e:
Q uit am os par ént esis:
Q uit am os denom in ador es:
Q uit am os par ént esis:
7
8. Agr upam os t ér m inos:
Sum am os:
Divi dim o s los dos m iem br os por : −9
Probl emas de ecuaci one s de primer grado
Expr esi ones al gebrai cas comunes
El dobl e o dupl o de un núm er o: 2x
El t r i pl e de un núm er o: 3x
El cuádr upl o de un núm er o: 4x
La m i t ad de un núm er o: x/2.
Un t er ci o de un núm e r o: x/ 3.
Un cuart o de un núm er o: x/ 4.
Un núm er o es proporci onal a 2, 3, 4, .. . : 2x, 3x, 4x, ..
Un núm er o al cuadrado : x 2
Un núm er o al cubo: x 3
Dos núm er os consecuti vos: x y x + 1.
Dos núm er os consecuti vos pares : 2x y 2x + 2.
Dos núm er os consecuti vos im pares : 2x + 1 y 2x + 3 .
8
9. Descom poner 24 en dos part es : x y 24 − x.
La suma de dos núm er os es 24: x y 24 − x.
La di f erenci a de dos núm er os es 24: x y 24 + x.
El pr odu ct o de dos núm er os es 24: x y 24/ x.
El coci e nt e de dos núm er os es 24; x y 24 · x.
Pr obl emas geomét ri cos con ecua ci ones de pri mer grado
Hal la e l valor de los t r es ángul os de un t r i ángul o s abien do que B m i de
40° m ás que C y que A m ide 40° m ás que B.
C x
B x + 40
A x + 40 + 40 = x+ 80
x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x = 180 − 40 − 80;
3X = 60; X= 20
C = 20º B = 20º + 40 º = 60º A = 60º + 40º = 100º
Probl emas de mezcl as
C1 1ª cant idad. C 1 = x
C2 2ª cant idad. C 2 = C m - x
Cm Cant idad de la m ezcla C m = C 1 + C 2
P1 Pr ecio de la 1ª cant idad
P2 Pr ecio de la 2ª cant idad
9
10. Pm Pr ecio de la m ezcla
C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm
Tam bién podem os poner los dat os en una t abla
Cant i dad Preci o Cost e
1ª sust anci a C1 P1 C1 · P1
2ª sust anci a C2 P2 C2 · P2
M ezcl a C1 + C2 P C1 · P1+ C2 · P2
C1 · P1 + C2 · P2 = (C1 + C2) · Pm
Un com er ciant e t iene dos clases d e caf é, la pr im er a a 40 € el kg y la
segunda a 60 € el kg.
¿Cuant o s kilogr a m os hay que pon e r de cad a clase d e caf é pa r a obt ener
60 kilos de m ezcla a 50 € el kg?
1ª cl ase 2ª cl ase Tot al
Nº de kg x 60 − x 60
Val or 40 · x 60 · ( 60 − x) 60 · 50
40x + 60 · ( 60 − x) = 60 · 50
40x + 36 00 − 60x = 3000; − 60x + 40x = 3000 − 3600; 20x = 600
x = 30; 60 − 30 = 30
10
11. Tenem os que mezcl ar 30 kg de l a 1ª cl ase y ot ros 30 de l a 2ª cl ase .
Probl emas de al eaci ones
La l e y d e l a al ea ci ón es l a rel aci ón ent re el peso del m et al f i no , e s
decir , m ás valioso , y el pe so t ot al .
Se r esue lven del m ism o modo que los pr obl em as de m ezclas, t eniendo
en cuent a que la l e y de l a al eaci ón equi val e al preci o de l a mezcl a .
C1 · L1 + C2 · L2 = (C1 + C2) · La
Se t iene n dos lin got es de plat a, uno de le y 0. 750 y ot r o de ley 0. 950.
¿Q ué pe so hay q ue t om ar de cada ling ot e par a obt ener 180 0 g de pl at a d e
ley 0. 900 ?
1ª l e y 2ª l e y Tot al
Nº de g x 1800 − x 1800
Pl at a 0. 750 · x 0. 950 · (1800−x) 0. 900 · 1800
0. 750 · x + 0. 950 · ( 1 800−x) = 0. 9 · 1800
0. 750 x + 1 710 − 0. 950x = 1 620
0. 750x − 0. 950x = 1 620 − 1 710
− 0. 2x = − 90 x = 450
1ª ley 450 g
2ª ley 1350 g
11
12. Probl emas de gri f os
En una h or a el pr im er gr if o llena 1/ t 1 del dep ósit o.
En una h or a el segundo gr i f o llena 1 / t 2 del depósit o.
Si e xist e un desag üe
En una h or a el desagüe va cí a 1/ t 3 del depós i t o.
En una h or a los dos gr if os j unt os habr án llen ado:
Sin desa güe
Con desa güe
Un gr if o t ar da e n ll enar un dep ó sit o t r es hor as y ot r o gr if o t ar da en
llen ar lo cuat r o hor as. ¿Cuánt o t ie m po t ar dar án en llenar l os dos gr if os
j unt os el depósit o ?
En una h or a el pr im er gr if o llena 1/ 3 del depó sit o.
En una h or a el segundo gr i f o llena 1 / 4 del depó sit o.
En una h or a los dos gr if os j unt os habr án llen ado:
7x = 12 x = 12/ 7 horas
12
13. Probl emas de móvi l es
Par a pla nt ear pr oblem as sobr e m óviles que lleva n velocid ad const ant e
se ut iliza n las f órm ulas del m ovim ient o r ect ilí neo unif or m e:
espaci o = vel ocidad × t i empo
1 e r caso
Los m óvi l es van en sent i do cont rari o.
e AB + e BC = e AB
Dos ciud ades A y B dist an 300 km ent r e sí . A las 9 d e la m añ ana par t e
de la c iu dad A un coche h acia l a ci udad B c on una v eloci dad de 90 km / h, y
de la ciu dad B pa r t e otr o hacia la ci udad A con una veloci dad de 60 km / h. Se
pide:
1 El t iem po que t ar dar án en e ncont r ar se.
90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2 horas
2 La hor a del enc uent r o.
Se encon t r ar an a las 11 de l a mañana .
3 La dist ancia r ecor r ida por cada uno.
e AB = 90 · 2 = 180 km
e BC = 60 · 2 = 120 km
13
14. 2 o cas o
Los m óvi l es van en el mismo sent i do.
e AC − e BC = e AB
Dos ciud ades A y B dist an 180 km ent r e sí . A las 9 de la m añana s a l e
de un coche de cada ciud ad y los dos coches van en el m ism o sent ido. El
que sale de A cir cula a 90 km / h, y el que sal e de B va a 60 km / h. Se pide:
1 El t iem po que t ar dar án en encont r ar se.
90t − 60t = 180 30t = 180 t = 6 horas
2 La hor a del enc uent r o.
Se encon t r ar an a las 7 de la t arde .
3 La dist ancia r ecor r ida por cada uno.
e AB = 90 · 6 = 540 km
e BC = 60 · 6 = 360 km
3 e r caso
Los m óvi l es parten de l mi smo punt o y co n el mi smo sent ido.
e 1 = e 2
Un coche sale de l a ciudad A a la ve locid ad d e 90 km /h. Tr es hor as m ás
t ar de sale de la m ism a ciudad ot r o coche en per secución d el pr im er o co n
una velo cidad de 120 km / h. Se pide:
14
15. 1 El t iem po que t ar dar á en a lcanzar l o.
90t = 120 · ( t − 3)
90t = 120t − 360 −30t = −360 t = 12 horas
2 La dist ancia a l a que se pr oduce el encue nt r o.
e 1 = 90 · 12 = 1080 km
Probl emas de rel oj es
El ángul o o arco descri t o que recorre el mi nut ero es si empr e 12
veces m a yor que el arco que des cri be l a aguj a horari a.
Un r eloj m ar ca las 3 en punt o. ¿A qué hor a ent r e las 3 y las 4 se
super pon dr án las aguj as?
x es el arco que descri be l a aguj a horari a.
( 15 + x) es el arco que descri be el mi nut ero.
15 + x = 12x
x = 15/ 11 m in
Las aguj as se super pondr án a la 3 h 16 mi n 21 s
15
16. Un r eloj m ar ca la s 2 en p unt o. ¿A qué h or a f or m arán sus a guj as po r
pr im er a vez un ángulo r ect o?
Las aguj as del r e loj f or m an un áng ulo r ect o a l as 2 h 25 m i n y un po co
m ás, que llam ar em os x.
x es el arco que descri be l a aguj a horari a.
25 + x, es el arco que descri be el mi nut ero.
25 + x = 12x
x = 25/ 11 m in
Las aguj as del r eloj conf orm ar án un ángulo d e 90° a las 2h 27 mi n 16 s.
Ecuaci o nes de 2º grado
Resol uci ón de ecuaci one s de segundo grado
Una ec ua ción de segundo g r ado es toda expr esión de la f or m a:
ax 2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.
Se r esuelve m edi ant e la siguient e f ór m ula:
16
17. Ej em plo:
Si es a<0, es m ás pr ác t i co mul ti pli ca r l os dos mi embros por ( − 1).
Ecuaci o nes de segundo grado i ncompl et as
Se dic e que una ecu ació n de segu ndo gr ad o es i ncompl et a cuando
al guno de l os coef i ci ent es, b o c, o ambos, son i gual es a cero.
Resol uci ón de ecuaci one s de segundo grado i ncompl et as
ax 2 = 0
La sol uci ón es x = 0.
17
18. ax 2 + bx = 0
Ext r aem o s f act or com ún x:
ax 2 + c = 0
Despej a m os:
18
19. Est udi o de l as sol uci ones de l a ecuaci ón de 2º grado
ax 2 +bx +c = 0
b 2 − 4ac se l lam a DISCRIMINANTE de la ec uación y per m it e aver iguar
en cada ecuació n el núm er o de solu ciones. P odem os dist ingu ir t r es casos:
b 2 − 4 ac > 0
La ecua ci ón t i ene dos sol uciones, que son númer os r eal es
di st i nt os.
b 2 − 4ac = 0
La ecuac i ón t i ene una sol uci ón dobl e.
19
20. b 2 − 4ac < 0
La ecuac i ón no tiene sol uci ones real es.
Pr opi eda des de l as sol uci ones de l a ecuaci ón de 2º grado
La suma de l as sol uci ones de un a ecuaci ón de segundo gr ado es
igua l a:
El produ ct o de l as sol uci ones de una ecua ción de s egundo g r ado es
igua l a:
Fact ori zaci ón de un t ri nomi o de segundo grado
a x 2 + bx +c = 0
a · (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0
20