Fracciones

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email: mitagi@gmail.com – mitagi@hotmail.com
Web: http://www.migueltarazonagiraldo.com/ contactos@migueltarazonagiraldo.com 999685938
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ÁREA: MATEMÁTICA RECURSOS DE AULA TALLER
CLASES DE MATEMÁTICAS ONLINE Y PRESENCIALES
TEMA: Problemas resueltos de fracciones SEMANA: 05
NIVEL
Preuniversitario
TURNO
Noche
AULA
202
FECHA
17/05/2018
SEMESTRE
2018 - I
Problemas Resueltos de Fracciones
“Problemas de Fracciones” es un trabajo elaborado para
reforzar la teoría de Fracciones, donde aprenderá a
operar correctamente la suma, resta multiplicación y
división de fracciones; así como problemas de
razonamiento sobre fracciones.
Para un mejor aprendizaje hemos clasificados los
problemas por niveles de dificultad, en básicos,
intermedio y avanzados. Todos los problemas de
fracciones están debidamente resueltos paso a paso y
son problemas para estudiantes de Secundaria y de
Preparatoria (Pre-Universitario).
Aconsejamos que trate de resolver cada problema por sí
mismo, de esta forma le servirá a modo de
entrenamiento. Sólo si necesita una idea, fíjese las
primeras líneas y oculte la resolución para seguir con la
práctica.
Nivel Básico
01. De las siguientes expresiones. ¿Cuáles son
fracciones?
a.
3
1
b.
1
9

c.
12
4
d.
72
13
e.
7
2
f.
3
3
g.
5
6
h.
11
33
i.
6
2
j.
9

k.
3
4
l.
7
3
Solución
: ,
a
fracción
b
Es fracción sí se cumple:
"a" y "b" pertenecen a los números enteros.
Al dividir "a" entre "b" el resultado no es exacto.
Analizando cada fracción en el problema:
a)
3
1
: No es una fracción debido a que su resultado es
exacto.
b)
1
9

: No es fracción porque el numerador es negativo.
C)
12
4
: No es una fracción debido a que su resultado es
3.
d)
72
13
: Sí es una fracción.
e)
7
2
: No es una fracción debido a que el denominador
es negativo.
f)
3
3
: No es una fracción, su resultado es exacto.
g)
5
6
: No es una fracción, el numerador no es un
número entero.
h)
11
33
i)
6
2
: No es una fracción, el resultado es exacto.
j)
9

: No es una fracción, el numerador no es entero.
k)
3
4
𝑎 = 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑏 = 𝐷𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟

Página 2 de 8
l)
7
3
: No es una fracción, el denominador no es un
entero.
∴ Son fracciones: d), h), k)
02. ¿Cuánto es
3
5
de
5
3
? y ¿
7
8
de
8
7
? Qué observas?
Solución
Calculando:
También:
Se observa en ambos casos, que al multiplicar una
fracción por su inversa el resultado es la unidad (1).
03. Se reparte entre 4 personas el dos tercio de un
batido. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
Solución
 A cada persona le corresponderá
1
6
del batido.
04. Con dos números primos se forma una fracción que
sumada con su inversa da
34
.
15
Cuál es la fracción que se
menciona?
Solución
A la inversa de una fracción también se le conoce como:
recíproco de la fracción, consiste en intercambiar
numerador y denominador, tal como se muestra en la
figura.
Observación:
Si la fracción es:
a
b
Su inversa será:
b
a
Sean los números primos: "a" y "b", planteamos el
problema así:
34
15
a b
b a
 
Desarrollando:
2 2
34
15
a b
ab


Entonces: 2 2
15 34 15 0a ab b  
Aplicando el método de factorización por aspa simple y
considerando que a y b son primos, tenemos:
𝑎 = 5 𝑦 𝑏 = 3.
La fracción que nos piden será:
5
3
.
05. La suma y la multiplicación de tres números
consecutivos determinan el numerador y denominador
respectivamente de una fracción equivalente a
196
.
7840
Cuál es el mayor de dichos números?
Solución
Sean los números consecutivos: (𝑚 − 1)(𝑚)(𝑚 + 1)
Planteando el problema tenemos:
1 1 196
(m 1)m(m 1) 7840
m m m   

 
Factorizando:
3 1
( 1) ( 1) 40
m
m m m

 
2
120 (m 1)(m 1) m 1    
 2
121 11m m   
Consideramos 𝑚 = 11, porque si se toma el valor 𝑚 =
−11 nos da la fracción con denominador "-", el cual es
imposible.
El mayor número, sería: "𝑚 + 1"; es decir:
11 + 1 = 12.
06. El papá de Alicia tiene 45 años y su mamá los
4
5
de
la edad del papá. Calcula la edad de Alicia, si es los
2
9
de
la edad de su madre.
Solución
Del enunciado:
Edad del Padre: 45 años
Edad de la Madre:

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94
( 45
5
) 36años
Edad de Alicia:
2
( 36
9
4
) 8años
La edad de Alicia es 8 años
07. Disminuyendo una misma cantidad a los dos
términos de la fracción
x
y
, se obtiene la fracción original
invertida. Cuál es aquella cantidad?
Solución
Sea la fracción
x
y
, luego del dato:
x a y
y a x



 2 2
x ax y ay  
2 2
(y x) ya x  
( )a y x ( )y x  ( )y x
a x y 
La cantidad que se agrego es: x + y.
Nivel Intermedio
08. Un vaso está lleno de leche sus siete décimas partes.
¿Se llenará el vaso si duplicamos la cantidad de leche?
Solución
Sea:
Volumen del vaso: "V"
Volumen de leche: "V leche"
Volumen del baso: “V”
Condición del problema: si duplicamos la cantidad de
leche habrá llenado el vaso?
7 7
2( ) 2
10 5
lecheV x V V 
Vemos que:
Sí se llenará el vaso cuando se duplica la cantidad
de leche.
09. El numerador y denominador de una fracción son
números formados por las mismas dos cifras, pero
dispuestas en orden inverso. Si la fracción equivale a
3
,
8
cuál es la suma de las 2 cifras mencionadas.
Solución
Sea el número de dos cifras: ,ab se plantea el problema:
3
8( ) 3( )
8
ab
ab ba
ba
  
Resolviendo: 80a + 8b = 30b + 3a
77𝑎 = 22𝑏 ⟹ 𝟕𝒂 = 𝟐𝒃;
Analizando vemos que los valores tendrían que ser: a = 2
y b = 7 porque son los únicos valores que cumplen esa
igualdad ya que "a" y "b" son números enteros positivos
de una cifra.
La suma de las cifras es: 𝑎 + 𝑏 = 𝟗
10. La suma de dos fracciones homogéneas es 6 y la suma
de los numeradores es 18, si la suma de los 4 términos es
720, cuál es el producto de estas fracciones?
Solución
Observación:
Fracciones homogéneas:
a c
b b

Planteando el problema según los datos:
i) Sean las fracciones homogéneas:
6; 6
a c
a c
b b
   
18
6 6 3
a c
b
b b

     Entonces b = 3
ii) También: 𝑎. 𝑐. 𝑏. 𝑏 = 720
𝑎. 𝑐 = 80 ⟹ 𝒂 = 𝟏𝟎 𝑦 𝒄 = 𝟖

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Nos piden:
10 8 80
3 3 9
  
  
  
11. Un número racional irreductible
p
x
q
 tiene las
siguientes propiedades:
i)
3 4
5 5
x 
ii) Si se divide el intervalo
3 4
;
5 5
 
  
en cinco partes
iguales, el número "x" está en el punto medio del tercer
intervalo.
Calcular: 𝑝 + 𝑞
Solución
Según los datos, graficamos en la recta numérica:
Se observa también que "x" está en el punto medio del
intervalo de
3 4
;
5 5
 
  
3 4 7
75 5 5
22 10
1
x x

   
Igualando:
7
;
10
p
x
q
  entonces: 7 10p y q 
Nos piden: 𝑝 + 𝑞 = 𝟏𝟕.
12. En una reunión de 80 personas los tres quintos menos
2 personas son varones. Qué fracción representa la
diferencia entre varones y mujeres respecto del total?
Solución
Planteando el problema según los datos
Total de personas: 80
3
# (80) 2
5
Varones  
⇒# varones = 46
También se conoce el # mujeres, sería: 80 - 46 = 34
Planteando la fracción que nos piden:
46 34 12 3
80 80 20
Fracción

  
La fracción pedida es
3
.
20
13. Durante los
7
9
de un día se consume los
14
27
de la
carga de una batería. En cuánto tiempo se consume la
mitad de la carga?
Solución
Sea: "x", el tiempo en que se consume la mitad de la
carga.
Entonces se plantea el problema de acuerdo al siguiente
diagrama:
Tiempo Carga
7
9
día
14
27
x
1
2
Después de colocar adecuadamente los datos vemos que
el problema se resume a la regla de tres simple:
7 1
39 2
14 4
27
x día

 
El tiempo pedido será
3
4
del día.
14. ¿Cuál es la fracción irreductible que dividida entre su
recíproco da como resultado el decimal 0,7511111...?
Solución
Sea:
a
b
la fracción que se pide, se plantea el problema
así:
0,751
a b
b a
 
Desarrollando y según la teoría vista en el problema
anterior sobre fracción generatriz, tenemos:

Página 5 de 8
2
751 75 676
900 900
a
b
 
  
 
Al momento de sacar la raíz cuadrada a la expresión
debemos de considerar sólo la expresión positiva.
26 13
30 15
a
b
 
La fracción pedida es:
13
15
Nivel Avanzado
15. Sebastián va todos los días de su casa al colegio por
el único camino que hay y regresa a su casa presuroso al
terminar la clase. Si Sebastián recorriera los
2
3
de los
3
5
de los
7
3
de la mitad del camino de ida, estaría
recorriendo 105 metros menos que si recorriera los
21
5
de los
4
7
de los
2
9
del camino usual de regreso. Cuántos
metros recorrerá Sebastián en transportarse de su casa
al colegio y viceversa, en un día que fue dos veces al
colegio?
Solución
Sea "d" la longitud del camino:
Planteando el problema y factorizando:
2 3 7 1 21
(d)
3 5 3 2
x x x 
3
4 2
(d) 105
5 7 9
x x 
Desarrollando tenemos:
7 8
105 1575
15 15
d d d   
Sebastián va dos veces al colegio, recorrerá: 4 (d); es
decir: 4(1575) = 6300 𝑚
16. Una pieza mecánica para ser procesada pasa por tres
etapas: en la primera se le añade acero, aumentando su
peso en
1
5
; en la segunda, al efectuar algunos cortes y
agujeros, se pierde
1
10
del peso que quedaba; y en la
tercera se le añade nuevamente acero, por lo que
aumenta su peso en
3
10
del peso que quedaba. Si al final
del proceso dicha pieza aumenta su peso en 202 gramos.
Calcular su peso inicial.
Solución
Sea "x" el peso inicial de la pieza mecánica, del enunciado
graficamos las etapas por donde pasa la pieza, teniendo
lo siguiente.
y en la tercera etapa se tendría:
En el dato, nos dicen que al final de las tres etapas la
pieza aumentó su peso en 202 gramos.
Entonces se plantea la siguiente ecuación.
13 9 6
202
10 10 5
x x
  
   
  
Resolviendo: x = 500
El peso inicial de la pieza es 500 gramos.
17. Calcular:
0,026 0,053 0,08 0,106 8S     
Solución
Recordar:
Ejemplo de fracción generatriz
125 1
0,125
990


115 11
0,115
900


Convirtiendo la expresión "S" a fracciones y
desarrollando:

Página 6 de 8
0,026 0,053 0,08 0,106 8S     
26 2 53 5 8 106 10
8
900 900 100 900
S
  
    
24 48 8 96
8
900 900 100 900
S     
Simplificando y dándole forma:
2 4 6 8 600
75 75 75 75 75
S     
 
2
1 2 3 4 300
75
S     
2 300 301
75 2
x
S
 
  
 
1024S  S = 1204
18. A una reunión asistieron 103 personas, de las cuales
4
15
de los hombres bailaban y la séptima parte de las
mujeres usaban falta. Cuántas mujeres no bailaban?
Solución
Del enunciado deducimos:
"
4
15
de los hombres bailaban"
 # hombres es múltiplo de 15; es decir:
0
15
 
 
 
(15𝑥)
"la séptima parte de las mujeres usaban falda"
 # mujeres =
0
7
 
 
 
(7𝑦)
Entonces se plantea la ecuación: 15𝑥 + 7𝑦 = 103
Buscando los valores para "x", "y":
Cuando "x = 1":
# Hombres sería: 15 y las mujeres serían 88 (no cumple,
porque 88 nos es
0
7
 
 
 
)
Cuando "x = 2":
# Hombres sería: 30 y las mujeres serían 73 (No cumple)
Cuando "x = 3":
Cuando "x = 4":
Cuando "x = 5":
# Hombres sería: 75
0
15
 
 
 
y las mujeres serían 28
0
7
 
 
 
... SI CUMPLE
Hemos encontrado:
# Hombres = 75
# Mujeres = 28
Ordenando los datos y graficando:
Notar que cuando se baila en pareja, el número de
hombres que bailan y el número de mujeres que bailan
deben ser siempre iguales.
El número de mujeres que no bailan es 8
19. Se deja derretir 3 pedazos de hielo, tales que el
volumen del segundo es los
3
7
del volumen del primero
y los
6
13
del volumen del tercero. Sabiendo que la
diferencia de volúmenes entre el primer y tercer pedazo
es de 50 centímetros cúbicos. Cuál es el volumen total de
los tres pedazos de hielo?
Solución
Sean: "a", "b" y "c" los volúmenes de los cubos del
enunciado
Donde:
2
3 6 14
(1)
7 13 13
b a c a c    
La diferencia de volúmenes del primer y tercer pedazo
es: 𝒂 − 𝒄 = 𝟓𝟎
Reemplazando en (1), tenemos:

Página 7 de 8
14
50 50
13
c c c   
De la misma forma: a = 700 y b = 300
VT: Volumen total
3700 300 650 1650VT cm   
20. La parte no fumable de un cigarro es
1
4
de la longitud
del cigarro, un fumador consume los
7
8
de la parte
fumable, sabiendo que en cada "pitada" consume
1
64
de
la parte fumable. Cuántas pitadas dio el fumador?
Solución
Siendo L = la longitud del cigarro, graficamos la siguiente
figura para tener referencia de lo que se menciona.
También se menciona que el fumador consume:
7 3 21
8 4 32
L
L
 
 
 
En cada pitada consume:
1 3 3
64 4 256
L L
 
 
 
Entonces, el número de pitadas será lo que consume
total entre el consumo de cada pitada, así:
Número de pintaditas
21
32
3
256
L
L

El número de pitadas es 56.
21. Un examen de Matemáticas ha sido aprobado por
6
9
de los estudiantes. Al resto de los estudiantes le toca
repetir el examen. Si el grupo está compuesto por 45
estudiantes, ¿cuántos estudiantes deben repetir dicho
examen?
Solución
Primero debemos calcular el número de estudiantes que
ganaron el examen, posteriormente, el resultado debe
ser restado de 45 con el fin de determinar la cantidad de
estudiantes que deben repetir.
6 45 6 45 270
30
9 1 9 1 9
x
x
x
  
Como el examen lo ganaron 30 estudiantes, deducimos
que son 15 aquellos que lo deben repetir tras haber
perdido.
22. Un viajero sale a las
1
7
4
de la mañana y llega a su
destino a las
3
9
4
de la noche. ¿Cuánto tiempo duró el
viaje?
Solución
La duración del viaje es la diferencia entre la hora de
llegada y la de salida, más 12 horas; así:
3 1 39 29 10
9 7
4 4 4

  
5
2
5
4 2

5 5 24 29
12 14,5
2 2 2

   
El viaje dura 14,5 horas
23. Sumar a
1
2
los
2
3
de
1
4 ;
5
restar de esta suma la
mitad de
3
5
; dividir esta diferencia por el resultado de
sumar a
1
4
los
5
4
de
1
3
, y el cociente multiplicarlo por el
resultado de sumar a
1
4
la quinta parte de
1
4
. Expresar
este último producto en fracción decimal.
Solución
Suma a
1
2
los
2
3
de
1
4 :
5
Paso 1: Convertimos el número mixto en fracción
1 20 1 21
4
5 5 5

  

Página 8 de 8
Paso 2: Calculamos los
2
3
de
21
5
2 21 42 14
3 5 15 5
x  
Paso 3: Sumamos
1
2
a
14
5
14 1 28 5 33
5 2 10 10

  
Restar de esta suma
33
10
, la mitad de
3
5
:
Paso 1: Calculamos la mitad de
3
5
:
1 3 3
2 5 10
x 
Paso 2: Restamos de
33
10
,
3
10
33 3 30
3
10 10 10
  
Dividir esta diferencia, 3, por el resultado de sumar a
1
4
los
5
4
de
1
3
Paso 1: Calculamos la
5
4
de
1
3
:
5 1 5
4 3 12
x 
Paso 2: Sumamos
1
4
y
5
4
1 5 3 5 8
4 12 12 12

  
Paso 3: Dividimos 3 entre
8
12
8 3 12 9
3
12 8 2
x
  
El cociente
9
4
, multiplicarlo por el resultado de sumar a
1
4
la quinta parte de
1
4
:
Paso 1: Calculamos la quinta parte de
1
4
:
1 1 1
5 4 20
x 
Paso 2: Sumamos
1
4
a la quinta parte de
1
4
,
1
:
20
1 1 5 1 6 3
4 20 20 10 10

   
Paso 3: multiplicamos
9
2
por
3
:
10
2 3 27
1,35
9 10 20
x  
Bibliografia:
Castro, E (editor) (2002). Didáctica de la Matemática en
la Educación Primaria. Ed. Síntesis. España.
Chamorro, M (coord) (2003). Didáctica de la
Matemática. Ed. Pearson Educación, S.A. España.
Referencia:
https://www.cienciamatematica.com/libros_gratis.html
http://www.uco.edu.co/ova/matematicas/Fraccionarios/i
ma/OI3/objeto%20informativo%203.pdf
https://problemasresueltosmatematicas.wordpress.com/fr
acciones/

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